Analytische meetkunde > SnijdenVoorbeeld 1
Bekijk de figuur. Je ziet de twee rechten
`l: 2 x-y=2`
en
`m: x+3 y=4`
.
Bereken het snijpunt.
`m`
is een rechte uit de familie
`m_p`
:
`x+py=4`
. Door parameter
`p`
te variëren kun je ervoor zorgen dat
`l`
en
`m_p`
geen snijpunt hebben.
Voor welke waarde van
`p`
is dit het geval?
Schrijf de vergelijking van
`l`
als
`y=2 x-2`
. Vul dit in de vergelijking van
`m`
in:
`x+3 (2 x-2 )=4`
. Dit geeft
`x=10/7`
en
`y=2 *10/7 -2 =6/7`
.
Het snijpunt is
`( 10/7 , 6/7 )`
.
Nu wil je
`p`
berekenen als
`l`
en
`m_p`
geen snijpunt hebben. Weer schrijf je de vergelijking van
`l`
als
`y=2 x-2`
.
Vul dit in de vergelijking van
`m_p`
in:
`x+p(2 x-2 )=4`
.
Dit geeft:
`(1 +2 p)x=4 +2 p`
.
Deze laatste vergelijking heeft geen oplossingen als
`1 +2 p=0`
.
Dus alleen voor
`p=text(-)0,5`
hebben
`l`
en
`m_p`
geen snijpunt.
Een andere methode is de volgende: schrijf beide vergelijkingen van de lijnen in de
vorm
`y=...`
, je krijgt
`l:y=2x-2`
en
`m_p: y=text(-)1/px+4/p`
.
De lijnen snijden elkaar niet als ze evenwijdig lopen, de richtingscoëfficiënten moeten
dus hetzelfde zijn. Er moet dan gelden
`2=text(-)1/p`
en dit geeft
`p=text(-)0,5`
.
In
Bereken het snijpunt van
`l`
en
`m`
in
Bereken het snijpunt van `l` en `m` in de volgende gevallen.
`l: 2 x-3 y=6` en `m: x+4 y=10`
`l: 4 y=text(-)12` en `m: 5 x+2 y=20`
Kijk nog eens naar
Laat zien dat de waarde van `p` waarvoor beide lijnen evenwijdig zijn, inderdaad betekent dat beide lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben.
Gegeven zijn de lijnen `l: x+5 y=12` en `m_p: px-y=4` . Voor welke waarde van `p` hebben deze lijnen geen snijpunt?