Analytische meetkunde > Snijden
123456Snijden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Je vindt een lengte van cm.

Opgave 1
a

en geeft:

Het snijpunt wordt .

b

invullen in de andere vergelijking geeft:

Je krijgt weer .

c

geeft

Nu beide vergelijkingen optellen (want dan valt weg):
 en dit geeft .

Weer vind je .

Opgave 2
a

Neem bijvoorbeeld methode II. Schrijf en vul dit in de andere vergelijking in: .

Dit geeft: en dus zodat . Dan is .

Het snijpunt wordt .

b

De vergelijking van levert meteen op .

Dit vul je in de andere vergelijking in: geeft .

Het snijpunt wordt .

Opgave 3

Gebruik de balansmethode als je veel gereken met breuken wilt vermijden.

wordt

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: geeft .

Deze moet je nog wel in een van beide vergelijkingen invullen: geeft .

Het snijpunt wordt .

Opgave 4

De vergelijking van kun je meteen invullen in die van : geeft .

Dat kan niet, dus je kunt geen en ook geen snijpunt berekenen.

Je kunt de vergelijking van herleiden tot en die van tot . Beide lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, en zijn dus evenwijdig, maar niet samenvallend.

Opgave 5
a

Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt.

Als je methode I toepast, zie je dat beide lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben en dus evenwijdig zijn (zonder samen te vallen, omdat de vergelijkingen toch verschillend zijn).

b

Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt. Maar er ontstaat wel iets dat altijd waar is.

Als je methode I toepast, zie je dat beide lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben en zelfs geheel gelijke vergelijkingen hebben. Beide lijnen vallen dus samen, beide vergelijkingen beschrijven dezelfde lijn.

Er zijn daarom oneindig veel snijpunten, namelijk elk punt van de lijn voldoet aan beide vergelijkingen.

Opgave 6

invullen in de cirkelvergelijking geeft .

Dit levert op: en dus is .

De snijpunten zijn en .

Opgave 7

, , of gemeenschappelijke snijpunten.

Opgave 8

Vul de vergelijking van in die van in: . Dit levert op: en met de abc-formule: .

Er is maar één snijpunt, namelijk .

Opgave 9

invullen in de vergelijking van geeft en dus , zodat . Je krijgt dus hetzelfde snijpunt.

Opgave 10

omschrijven naar

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft: en dus .

Vul deze -waarde in één van beide vergelijkingen in. Dit geeft . Je krijgt dus weer hetzelfde snijpunt: .

Opgave 11
a

invullen in de vergelijking van geeft en dus . Dit invullen geeft . Je krijgt het snijpunt .

b

invullen in de vergelijking van geeft .

Je krijgt .

Opgave 12
a

Beide lijnen hebben dan een richtingscoëfficiënt van .

b

invullen in de vergelijking van geeft: .

Je vindt: . Dit kun je herleiden tot .

Er is geen oplossing als de wegvalt, dus als .
En dus . Dat geeft . Als zijn er vele oplossingen.

Opgave 13

Maak het voorbeeld af, voer alle stappen uit. Je vindt en .

Opgave 14

Het beste kun je nu in de vergelijking van de haakjes wegwerken: .

Vervolgens pas je de balansmethode toe op het stelsel:

Je ziet dat door de beide linkerleden en de beide rechterleden van elkaar af te trekken er een lineaire uitdrukking overblijft: ofwel: .

Dit vul je in één van beide cirkelvergelijkingen in: .

Hieruit bereken je de twee -waarden van de snijpunten. De twee -waarden vind je dan weer met .

oplossen, geeft en .

Dit invullen in geeft en zodat je vindt en .

Opgave 15
a

geeft en dus , zodat .

Je krijgt de snijpunten en .

b

invullen, geeft en dus .

Het snijpunt is , ongeveer .

c

geeft , ofwel .
Dit invullen in geeft en dus .

De snijpunten zijn en .

Opgave 16
a

De -as heeft de vergelijking .
Dit geeft en dus . Het snijpunt is .

b

De -as heeft de vergelijking . Dit geeft ofwel , zodat .

De snijpunten zijn en .

c

invullen in de cirkelvergelijking: .

Hieruit volgt: en dus .

Dit geeft met de abc-formule . Deze waarden vul je in in.

De snijpunten zijn en .

Opgave 17

Schrijf de vergelijking van als en vervolgens als . Substitueer dit in de vergelijking van de cirkel . Je vindt dan . Werk de haakjes weg en bereken de discriminant van de gevonden kwadratische uitdrukking. De waarde van de discriminant is . Er is dus maar één oplossing voor .
Conclusie: en hebben precies één punt gemeen. raakt de cirkel in één punt. Ga na dat geldt: .

Opgave 18

herleid je tot .

Dit geeft ofwel . Er zijn geen oplossingen als want dan verdwijnt de variabele uit deze vergelijking.

herleid je tot geeft .

Opgave 19
a

Bij beide vergelijkingen haakjes wegwerken geeft:

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft ofwel .

Dit invullen in de vergelijking van (bijvoorbeeld) geeft en dus . Met de abc-formule levert dit op.

De snijpunten zijn daarom en .

b

Voor de -as geldt , dus , zodat . Dit levert op .

Voor de -as geldt , dus , zodat . Dit levert op en .

De snijpunten zijn: , en , .

c

gaat door en en heeft dus vergelijking .

Dit invullen in de vergelijking van geeft en dus . Dus . Je vindt en .

d

De snijpunten van en reken je op dezelfde manier uit.

De vier snijpunten zijn: en en en .

De grootste afstand is die tussen en . Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dat de afstand tussen die twee punten ongeveer is.

Opgave 20
a

b

De snijpunten met de -as () zijn en .

De snijpunten met vind je uit , dus uit zodat en .

Dit levert de snijpunten en op.

c

In geldt: , en .

Er geldt: . Dus is rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras), waardoor . Dit geldt ook voor de andere zijden, dus het is een rechthoek.

d

en zijn beide diameters van een cirkel en dus even lang.

Een vierhoek met even lange diagonalen is een rechthoek.

Opgave 21Mobiele telefonie
Mobiele telefonie

Met de -as als A1 en als mast wordt de grens van het bereik gegeven door de cirkel: . De cirkel snijden met -as: geeft en dus . De gevraagde afstand is km.

Opgave 22Gelijkzijdige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
a

De straal van is en het middelpunt . Dus .

b

De straal van is en het middelpunt .
Dus .

c

geeft en dus . Dit betekent zodat . Dan zijn de snijpunten en .

d

Neem . Dan is en .

Opgave 23
a

.

b

en .

c

en .

Opgave 24

, ; de afstand is ongeveer .

Opgave 25

verder | terug