Analytische meetkunde > SnijdenAntwoorden van de opgaven
Je vindt een lengte van `sqrt(20)` cm.
`l: y = text(-)1/2 x + 4` en `m: y = 3/4 x - 3` geeft:
| `text(-)1/2 x + 4 ` | `=` | ` 3/4 x - 3` | |
| `text(-)2x + 16 ` | `=` | ` 3x - 12` | |
| `5x` | ` =` | ` 28` | |
| `x` | ` =` | ` 5,6` |
Het snijpunt wordt `(5,6; 1,2)` .
`l: y =text(-) 1/2 x + 4` invullen in de andere vergelijking geeft:
| `3x - 4(text(-)1/2 x + 4)` | ` =` | ` 12` | |
| `3x + 2x - 16 ` | `=` | ` 12` | |
| `5x ` | `=` | ` 28` | |
| `x ` | `=` | `5,6` |
Je krijgt weer `(5,6; 1,2)` .
`{(x + 2y = 8),(3x - 4y = 12):}`
geeft
`{(2x + 4y = 16),(3x - 4y = 12):}`
Nu beide vergelijkingen optellen (want dan valt
`y`
weg):
`5x = 28`
en dit geeft
`x = 5,6`
.
Weer vind je `(5,6 ; 1,2 )` .
Neem bijvoorbeeld methode II. Schrijf `m: x = text(-)4y + 10` en vul dit in de andere vergelijking in: `2(text(-)4y + 10) - 3y = 6` .
Dit geeft: `text(-)8y + 20 - 3y = 6` en dus `text(-)11y = text(-)14` zodat `y = 14/11` . Dan is `x = text(-)4 * 14/11 + 10 = 54/11` .
Het snijpunt wordt `(4 10/11 , 1 3/11)` .
De vergelijking van `l` levert meteen op `x = text(-)3` .
Dit vul je in de andere vergelijking in: `text(-)15 + 2y = 20` geeft `y = 35/2 = 17 1/2` .
Het snijpunt wordt `(text(-)3, 17 1/2)` .
Gebruik de balansmethode als je veel gereken met breuken wilt vermijden.
`{(5x-3y=15),(2x-6y=11):}` wordt `{(10x-6y=30),(2x-6y=11):}`
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: `8x = 19` geeft `x = 2 3/8` .
Deze `x` moet je nog wel in een van beide vergelijkingen invullen: `2 * 2 3/8 - 6y = 11` geeft `y = text(-)1 1/24` .
Het snijpunt wordt `(2 3/8, text(-)1 1/24 )` .
De vergelijking van `m` kun je meteen invullen in die van `l` : `2x + 3(4 - 2/3 x) = 6` geeft `12 = 6` .
Dat kan niet, dus je kunt geen `x` en ook geen snijpunt berekenen.
Je kunt de vergelijking van `l` herleiden tot `y = text(-) 2/3 x + 2` en die van `m` tot `y = text(-)2/3 x + 4` . Beide lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, en zijn dus evenwijdig, maar niet samenvallend.
Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt.
Als je methode I toepast, zie je dat beide lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben en dus evenwijdig zijn (zonder samen te vallen, omdat de vergelijkingen toch verschillend zijn).
Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt. Maar er ontstaat wel iets dat altijd waar is.
Als je methode I toepast, zie je dat beide lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben en zelfs geheel gelijke vergelijkingen hebben. Beide lijnen vallen dus samen, beide vergelijkingen beschrijven dezelfde lijn.
Er zijn daarom oneindig veel snijpunten, namelijk elk punt van de lijn voldoet aan beide vergelijkingen.
`m: y = 2x - 4` invullen in de cirkelvergelijking geeft `x^2 + (2x - 4)^2 = 25` .
Dit levert op: `5x^2 - 16x - 9 = 0` en dus is `x ~~ text(-)0,49 vv x ~~ 3,69` .
De snijpunten zijn `(text(-)0,49; text(-)4,98)` en `(3,69; 3,38)` .
`0` , `1` , of `2` gemeenschappelijke snijpunten.
Vul de vergelijking van `k` in die van `c` in: `x^2 + (text(-)0,75x + 6,25)^2 = 25` . Dit levert op: `1,5625x^2 - 9,375x + 14,0625 = 0` en met de abc-formule: `x = 3` .
Er is maar één snijpunt, namelijk `(3, 4)` .
`m: y=text(-)1/3 x+4/3` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2x - (text(-)1/3 x + 4/3) = 2` en dus `7/3 x = 10/3` , zodat `x = 10/7` . Je krijgt dus hetzelfde snijpunt.
`{(2x - y = 2),(x + 3y = 4):}` omschrijven naar `{(2x - y = 2),(2x + 6y = 8):}`
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft: `text(-)7y = text(-)6` en dus `y = 6/7` .
Vul deze `y` -waarde in één van beide vergelijkingen in. Dit geeft `x=10/7` . Je krijgt dus weer hetzelfde snijpunt: `(10/7 , 6/7)` .
`m: x = 10 - 4y` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2(10 - 4y) - 3y = 6` en dus `y = 14/11` . Dit invullen geeft `x = 10 - 4 * 14/11 = 4 10/11` . Je krijgt het snijpunt `(4 10/11, 1 3/11)` .
`l: y = text(-)3` invullen in de vergelijking van `m` geeft `x = 5 1/5` .
Je krijgt `(5 1/5, text(-)3)` .
Beide lijnen hebben dan een richtingscoëfficiënt van `2` .
`l: x = 12 - 5y` invullen in de vergelijking van `m_p` geeft: `p(12 - 5y) - y = 4` .
Je vindt: `12p - 5py - y = 4` . Dit kun je herleiden tot `12p-(5p+1)y=4` .
Er is geen oplossing als de
`y`
wegvalt, dus als
`5p+1=0`
.
En dus
`text(-)5p = 1`
. Dat geeft
`p = text(-)1/5`
. Als
`12p = 4`
zijn er vele oplossingen.
Maak het voorbeeld af, voer alle stappen uit. Je vindt `(4,7 ; 1,7) ` en `(text(-)0,2 ; 5,0)` .
Het beste kun je nu in de vergelijking van `c_2` de haakjes wegwerken: `x^2 +y^2 -4 x-6 y=text(-)4` .
Vervolgens pas je de balansmethode toe op het stelsel:
`{(x^2 +y^2 -4 x-6 y ,= , text(-)4), (x^2 +y^2 , = , 25):}`
Je ziet dat door de beide linkerleden en de beide rechterleden van elkaar af te trekken er een lineaire uitdrukking overblijft: `text(-)4 x-6 y=text(-)29` ofwel: `x=text(-)1,5 y+7,25` .
Dit vul je in één van beide cirkelvergelijkingen in: `(text(-)1,5 y+7,25) ^2 +y^2 =25` .
Hieruit bereken je de twee `y` -waarden van de snijpunten. De twee `x` -waarden vind je dan weer met `x=text(-)1,5 y+7,25` .
`(text(-)1,5 y+7,25) ^2 +y^2 =25` oplossen, geeft `y=1,7` en `y=5` .
Dit invullen in `x=text(-)1,5 y+7,25` geeft `x=4,7` en `x=text(-)0,2` zodat je vindt `(4,7 ; 1,7 )` en `(text(-)0,2 ; 5,0 )` .
`l: y = 6 - x` geeft `(x-1)^2 + (5 - x)^2 = 10` en dus `x^2 -6x + 8 = 0` , zodat `x = 2 vv x = 4` .
Je krijgt de snijpunten `(2, 4)` en `(4, 2)` .
`k: x = 6 - 1,5y` invullen, geeft `5(6 - 1,5y) - 2y = 10` en dus `y = 40/19` .
Het snijpunt is `(54/19 , 40/19)` , ongeveer `(2,84; 2,11)` .
`{(x^2+y^2, = , 6),(x^2+y^2-2x-2y , = , 8):}`
geeft
`2x + 2y = text(-)2`
, ofwel
`y = text(-)x -1`
.
Dit invullen in
`x^2+y^2=6`
geeft
`x^2+(x + 1)^2 =6`
en dus
`x ~~ 1,16 vv x ~~ text(-)2,16`
.
De snijpunten zijn `(1,16; text(-)2,16)` en `(text(-)2,16; 1,16)` .
De
`x`
-as heeft de vergelijking
`y = 0`
.
Dit geeft
`(x - 3)^2 + 5^2 = 25`
en dus
`x = 3`
. Het snijpunt is
`(3, 0)`
.
De `y` -as heeft de vergelijking `x = 0` . Dit geeft `(-3)^2 + (y + 5)^2 = 25` ofwel `(y + 5)^2 = 16` , zodat `y = text(-)9 vv y = text(-)1` .
De snijpunten zijn `(0, text(-)1)` en `(0, text(-)9)` .
`k: y = 1 - x` invullen in de cirkelvergelijking: `(x - 3)^2 + (6 - x)^2 = 25` .
Hieruit volgt: `2x^2 - 18x + 20 = 0` en dus `x^2 - 9x + 10 = 0` .
Dit geeft met de abc-formule `x ~~ 7,70 vv x ~~ 1,30` . Deze waarden vul je in `y = 1 - x` in.
De snijpunten zijn `(1,30 ; text(-)0,30)` en `(7,70 ; text(-)6,70)` .
Schrijf de vergelijking van
`l`
als
`8y=text(-)12x+24`
en
vervolgens als
`y=text(-)1,5x+3`
. Substitueer dit in de vergelijking van
de cirkel
`c: (x-8)^2+(y-4)^2=52`
. Je vindt dan
`(x-8)^2+(text(-)1,5x- 1)^2=52`
. Werk de haakjes weg en bereken de
discriminant van de gevonden kwadratische uitdrukking. De waarde van de
discriminant is
`0`
. Er is dus maar één oplossing voor
`x`
.
Conclusie:
`l`
en
`c`
hebben precies één punt gemeen.
`l`
raakt de cirkel in één punt. Ga na dat geldt:
`x = 2`
.
`2x = y + 6` herleid je tot `y = 2x - 6` .
Dit geeft `ax + 4(2x - 6) = 10` ofwel `ax + 8x = 34` . Er zijn geen oplossingen als `a = text(-)8` want dan verdwijnt de variabele `x` uit deze vergelijking.
`4y = text(-)ax + 10` herleid je tot `y = text(-) a/4x + 2,5 text(-) a/4 = 2` geeft `a = text(-)8` .
Bij beide vergelijkingen haakjes wegwerken geeft:
`{(x^2 + y^2 - 4y = 5),(x^2 + y^2 - 4x = 5):}`
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft `text(-)4y + 4x = 0` ofwel `y = x` .
Dit invullen in de vergelijking van (bijvoorbeeld) `c_1` geeft `x^2 + (x - 2)^2 = 9` en dus `2x^2 - 4x - 5 = 0` . Met de abc-formule levert dit `x ~~ text(-)0,87 vv x ~~ 2,87` op.
De snijpunten zijn daarom `(text(-)0,87 ; text(-)0,87)` en `(2,87 ; 2,87)` .
Voor de `x` -as geldt `y = 0` , dus `x^2 + 4 = 9` , zodat `x = +- sqrt(5)` . Dit levert op `(+- sqrt(5), 0)` .
Voor de `y` -as geldt `x = 0` , dus `(y - 2)^2 = 9` , zodat `y = 5 vv y = text(-)1` . Dit levert op `(0, 5)` en `(0, text(-)1)` .
De snijpunten zijn: `(0 , 5 )` , `(0 , text(-)1 )` en `(sqrt(5) , 0 )` , `(text(-)sqrt(5) , 0 )` .
`l` gaat door `M_1(0, 2)` en `M_2(2, 0)` en heeft dus vergelijking `y = text(-)x + 2` .
Dit invullen in de vergelijking van `c_1` geeft `x^2 + (-x)^2 = 9` en dus `x^2 = 4,5` . Dus `x = +- sqrt(4,5) ~~ +- 2,12` . Je vindt `(2,12 ; text(-)0,12)` en `(text(-)2,12; 4,12)` .
De snijpunten van `l` en `c_2` reken je op dezelfde manier uit.
De vier snijpunten zijn: `(2,12 ; text(-)0,12)` en `(text(-)2,12; 4,12)` en `(text(-)0,12 ; 2,12)` en `(4,12; text(-)2,12)` .
De grootste afstand is die tussen `(text(-)2,12 ; 4,12)` en `(4,12; text(-)2,12)` . Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dat de afstand tussen die twee punten ongeveer `8,8` is.
`x^2 +y^2 =1`
De snijpunten met de `x` -as ( `y = 0` ) zijn `A(1, 0)` en `C(-1, 0)` .
De snijpunten met `y = ax` vind je uit `x^2 + (ax)^2 = 1` , dus uit `(1 + a^2)x^2 = 1` zodat `x^2 = 1/(1 + a^2)` en `x = +- 1/(sqrt(1 + a^2))` .
Dit levert de snijpunten `B(1/(sqrt(1 + a^2)), a/(sqrt(1 + a^2)))` en `D(text(-)1/(sqrt(1 + a^2)), (text(-)a)/(sqrt(1 + a^2)))` op.
In `△ABC` geldt: `| AB |^2= (1/sqrt(1+a^2) -1 ) ^2 + (a/sqrt(1+a^2)) ^2` , `| BC |^2= (1/sqrt(1+a^2) +1 ) ^2 + (a/sqrt(1+a^2)) ^2` en `| AC |^2=2^2 = 4` .
Er geldt: `| AB | ^2 + | BC | ^2 =(2+2a^2)/(1+a^2)+2=(2(1+a^2))/(1+a^2)+2=4 = | AC | ^2` . Dus `Delta ABC` is rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras), waardoor `AB⊥BC` . Dit geldt ook voor de andere zijden, dus het is een rechthoek.
`AC` en `BD` zijn beide diameters van een cirkel en dus even lang.
Een vierhoek met even lange diagonalen is een rechthoek.
Met de `x` -as als A1 en `M(0 , 15 )` als mast wordt de grens van het bereik gegeven door de cirkel: `x^2 + (y-15) ^2 =900` . De cirkel snijden met `x` -as: `y = 0` geeft `x^2 + 225 = 900` en dus `x = +-sqrt(675)` . De gevraagde afstand is `2 * sqrt(675) ~~ 52,0` km.
De straal van `c_1` is `2a` en het middelpunt `A(text(-)a, 0)` . Dus `c_1 : (x+a) ^2 +y^2 =4 a^2` .
De straal van
`c_2`
is
`2a`
en het middelpunt
`B(a, 0)`
.
Dus
`c_2 : (x-a) ^2 +y^2 =4 a^2`
.
`{(x^2 + y^2 + 2ax = 3a^2),(x^2 + y^2 - 2ax = 3a^2):}`
geeft `4ax = 0` en dus `x = 0` . Dit betekent `a^2 + y^2 = 4a^2` zodat `y = +-sqrt(3a^2) = +- a sqrt(3)` . Dan zijn de snijpunten `(0, a sqrt(3))` en `(0, text(-)a sqrt(3))` .
Neem `C(0, a sqrt(3))` . Dan is `|AC| = sqrt(4a^2) = 2a` en `|BC| = sqrt(4a^2) = 2a` .
`(text(-)4, 4)` .
`(4 , 2 )` en `(12 , 0 )` .
`(2, text(-)6)` en `(2 , 0 )` .
`(text(-)1,03 ; 3,62)` , `(5,73 ; text(-)0,44)` ; de afstand is ongeveer `7,9` .
`p=text(-) 2/7`