Analytische meetkunde > HoekenAntwoorden van de opgaven
`y = 2x`
Als je de richtingscoëfficiënten met elkaar vermenigvuldigt komt daar `text(-)1` uit.
De hellingshoek `alpha` van `l` volgt uit `tan(alpha) = 0,5` en is dus `26,6^@` .
De hellingshoek `beta` van `m` volgt uit `tan(beta) = 1/3` en is dus ongeveer `18,4^@` .
De hoek tussen beide lijnen is daarom ongeveer `26,6 - 18,4 = 8,2^@` .
De hellingshoek `alpha` van `l` volgt uit `tan(alpha) = 0,5` en is dus `26,6^@` .
De hellingshoek `beta` van `m` volgt uit `tan(beta) = text(-)1/3` en is dus ongeveer `text(-)18,4^@` .
De hoek tussen beide lijnen is daarom ongeveer `26,6 - text(-)18,4 = 45,0^@` .
Ja, onder de voorwaarde dat je bij een negatieve richtingscoëfficiënt ook een negatieve hellingshoek gebruikt.
De richtingscoëfficiënt van lijn
`p`
is
`0,25`
en de richtingscoëfficiënt
van lijn
`q`
is
`text(-)4`
.
Als je beide getallen vermenigvuldigt, krijg je
`0,25 * text(-)4 = text(-)1`
.
De richtingscoëfficiënt van lijn `k` is `2/5` . Een lijn die daar loodrecht op staat, moet een richtingscoëfficiënt `r` hebben waarvoor geldt: `2/5 * r = text(-)1` .
Hieruit volgt dat de richtingscoëfficiënt van die loodlijn `text(-)5/2 = text(-)2,5` moet zijn.
Teken `Delta ABC` en bepaal de richtingscoëfficiënten van `AC` , `AB` en `BC` .
De hellingshoek van `AC` volgt uit `tan(/_AC, x)=4` , dus `~~75,96^@` .
De hellingshoek van `AB` volgt uit `tan(/_AB, x)=1/2` , dus `~~26,57^@` .
De hellingshoek van `BC` volgt uit `tan(/_BC, x)=text(-) 2/3` , dus `~~ text(-)33,69^@` .
`α~~75,96^@-26,57^@~~49,4^@`
`β~~26,57^@-text(-)33,69^@~~60,26^@`
`γ~~180^@-(75,96^@-text(-)33,69^@)~~180^@-109,65^@~~70,35^@`
Maak een schets met daarin de punten `A` , `B` en `C` . De hellingsgetallen van `AB` , `BC` en `AC` zijn `text(-)1` , `text(-)3` en `3` . De bijbehorende hoeken met de `x` -as, berekend met de GR-functie `arctan` of `text(tan)^(text(-)1)` , zijn `text(-)45^@` , `text(-)71,6^@` en `71,6^@` .
De hoek tussen de lijnen door
`AB`
en
`BC`
:
`text(-)45^@ - text(-)71,6^@ ≈ 27^@`
.
De hoek tussen de lijnen door
`AB`
en
`AC`
:
`≈ 63^@`
.
De hoek tussen de lijnen
door
`BC`
en
`AC`
:
`≈ 37^@`
.
Let op: de hoek tussen `2` lijnen is `0^@` , `90^@` of een scherpe hoek.
De grootte van de hoek bij `A` (de hoek tussen `AC` en `AB` ) is niet de grootte van hoek `A` in de driehoek. Die laatste is groter dan `90^@` .
De richtingscoëfficiënt van `AC` is `(4-text(-)1)/(3-2)=5` , de richtingscoëfficiënt van `AB` is `(text(-)2-text(-)1)/(7-2)=text(-)1/5` .
`5*text(-)1/5=text(-)1` dus `AC` en `AB` staan loodrecht op elkaar.
`l: y=2,5 x` en `m: y=text(-)0,4 x+5,8`
Het product van de twee richtingscoëfficiënten is `2,5 * text(-)0,4 = text(-)1` en dus staan ze loodrecht op elkaar.
De lijn `p: y = 3/4 x - 3` heeft een richtingscoëfficiënt van `3/4` .
De lijn `q` daar loodrecht op heeft een richtingscoëfficiënt van `r` waarvoor geldt `3/4 * r = text(-)1` , dus `r = text(-)4/3` .
Lijn `q` moet door `O(0, 0)` en heeft als vergelijking `y = text(-)4/3 x` .
De lijn `AB` heeft vergelijking `y = text(-)1/2x + 4` en dus een richtingscoëfficiënt van `text(-)1/2` .
Een lijn daar loodrecht op heeft een richtingscoëfficiënt van `r` waarvoor geldt `text(-)1/2 * r = text(-)1` , dus `r = 2` . `y=2x+b` door `(text(-)2,1)` geeft `1=2*text(-)2+b` en dus `b=5` .
De lijn door `C` loodrecht op `AB` heeft dus als vergelijking `y = 2x + 5` .
`l` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)3` , dus een hellingshoek `alpha` met `tan(alpha) = text(-)3` , zodat `alpha ~~ text(-)71,6^@` .
`m` heeft een richtingscoëfficiënt van `2` , dus een hellingshoek `beta` met `tan(beta) = 2` , zodat `beta ~~ 63,4^@` .
De hoek tussen beide lijnen is `alpha - beta = text(-)135^@` . Je zegt dat de hoek tussen beide lijnen `180 - 135 = 45^@` is.
`l` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)1` , dus een hellingshoek `alpha` met `tan(alpha) = text(-)1` , zodat `alpha = text(-)45^@` .
`m` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)3/4` , dus een hellingshoek `beta` met `tan(beta) = text(-)3/4` , zodat `beta ~~ text(-)36,87^@` .
De hoek tussen beide lijnen is `alpha - beta ~~ text(-)8,1^@` . Je zegt dat de hoek tussen beide lijnen `8,1^@` is.
`l` heeft een richtingscoëfficiënt van `7/3` , dus een hellingshoek `alpha` met `tan(alpha) = 7/3` , zodat `alpha = 66,8^@` .
`m` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)3/7` , dus een hellingshoek `beta` met `tan(beta) = text(-)3/7` , zodat `beta ~~ text(-)23,2^@` .
De hoek tussen beide lijnen is `alpha-beta` en dit geeft `66,8-text(-)23,2=90^@` .
`7/3*-3/7=text(-)1` dus de lijnen staan loodrecht op elkaar en dit betekent dat de hoek tussen de lijnen `90^@` is.
De vergelijking van de gegeven lijn kun je herleiden tot `y = 5/8 x - 167/40` . De lijn heeft dus een richtingscoëfficiënt van `5/8` . De richtingscoëfficiënt van elke lijn die daar loodrecht op staat, is `text(-)8/5` (want als je `5/8` en `text(-)8/5` vermenigvuldigt, krijg je `text(-)1` ).
De gevraagde lijn is
`y = text(-)8/5 x + b`
en gaat door
`P(120, 31)`
; geeft
`b = 223`
.
De vergelijking wordt
`y = text(-)1,6x + 223`
.
Lijn `AB` heeft een richtingscoëfficiënt van `(5-2)/(1-6) = text(-)0,6` en het midden van lijnstuk `AB` is `(3,5; 3,5)` .
Een lijn loodrecht op `AB` heeft een richtingscoëfficiënt van `5/3` .
De middelloodlijn van lijnstuk
`AB`
is dus
`y = 5/3 x + b`
en gaat door
`(3,5; 3,5)`
, zodat
`b = text(-)2 1/3`
.
De vergelijking is dan
`y = 5/3 x - 2 1/3`
.
Omdat de hellingshoek van deze lijn `60^@` of `text(-)60^@` moet zijn, zijn de twee mogelijke hellingsgetallen `tan(60) = sqrt(3)` en `tan(text(-)60) = text(-)sqrt(3)` .
Beide lijnen gaan door `A(3,0)` , dus de twee mogelijke vergelijkingen zijn `y = sqrt(3) x - 3sqrt(3)` en `y = text(-)sqrt(3) x + 3sqrt(3)` .
Lijn `AB` : richtingscoëfficiënt is `0,4` , dus voor de hellingshoek `alpha` geldt `tan(alpha) = 0,4` , zodat `alpha ~~ 21,8^@` .
Lijn `AC` : richtingscoëfficiënt is `1,5` , dus voor de hellingshoek `beta` geldt `tan(beta) = 1,5` , zodat `beta ~~ 56,3^@` .
Lijn `BC` : richtingscoëfficiënt is `text(-)1/3` , dus voor de hellingshoek `gamma` geldt `tan(gamma) = text(-)1/3` , zodat `gamma ~~ text(-)18,4^@` .
Dan is `/_ A = beta - alpha ~~ 35^@` , `/_ B = alpha - gamma ~~ 40^@` en `/_ C = 180 - (beta - gamma) ~~ 105^@` .
De richtingscoëfficiënt van `AB` is `2/5` , dus die van elke loodlijn daarop is `text(-)5/2 = text(-)2,5` .
`y = text(-)2,5x + b` door `C` geeft `b = 10` , dus de gevraagde vergelijking wordt `y = text(-)2,5x + 10` .
Los op `0,4x + 2 = text(-)2,5x + 10` en je vindt `x = 80/29` .
Het snijpunt is `D(2 22/29, 3 3/29)≈D(2,76 ; 3,10 )` .
`|AB| = sqrt((5-0)^2+(4-2)^2) = sqrt(29)`
`|CD| = sqrt((2 - 2 22/29)^2 + (5 - 3 3/29)^2) = 11/29 sqrt(29)`
De gevraagde oppervlakte is `1/2 * sqrt(29) * 11/29 sqrt(29) = 5,5` .
`15 -5 -3 -1,5=5,5`
`l`
heeft als richtingscoëfficiënt
`text(-)0,4`
, dus
`m`
heeft als richtingscoëfficiënt
`2,5`
.
De vergelijking van
`m`
door
`O(0, 0)`
is
`y = 2,5x`
.
Los op:
`text(-)0,4x + 2 = 2,5x`
.
Je vindt
`x = 20/29`
. Dus
`S(20/29 ; 50/29)`
.
`|OS| = sqrt((20/29)^2 + (50/29)^2) = 10/29 sqrt(29)`
De snijpunten van `l` met de assen zijn `A(5, 0)` en `B(0, 2)` en `|AB| = sqrt(29)` .
Teken `Delta OAB` met daarin hoogtelijn `OS` . Dan geldt `Delta OAB ∼ Delta SOA` .
Er geldt dus: `|OS|/|OB| = |OA| / |AB|` en dus `|OS|/2 = 5 / sqrt(29)` .
Vanwege deze gelijkvormigheid is `|OS| = 10/29 sqrt(29)` .
Het middelpunt van `c` is het midden `M` van lijnstuk `PR` , dus is `M = (7, 9)` . De straal van de cirkel is `|PM| = sqrt((7 - 1)^2 - (9 - 1)^2) = sqrt(100) = 10` . De vergelijking van `c` is dus `(x - 7)^2 + (y - 9)^2 = 100` .
`x_S = 1` geeft `(text(-)6)^2 + (y_S - 9)^2 = 100` en dus `y_S = 1 vv y_S = 17` . Dus `S(1, 17)` . De richtingscoëfficiënt van lijn `PR` is `4/3` , dus die van `l` is `text(-)3/4` . Lijn `l` is een lijn met richtingscoëfficiënt `text(-)3/4` door `S(1,17)` en heeft daarom als vergelijking `y = text(-)3/4 x + 17 3/4` .
`Q` is het snijpunt van lijn `l` met cirkel `c` .
`y=text(-)3/4x+17 3/4`
substitueren in de vergelijking van de cirkel geeft
`(x-7)^2+(text(-)3/4x+8 3/4)^2=100`
.
Haakjes wegwerken en herleiden geeft
`1 9/16x^2-27 1/8+25 9/16=0`
en dit geeft
`x=16,36 vv x =1`
.
Je moet de eerste
`x`
hebben:
`x=16,36`
geeft
`y=5,48`
. Dus
`Q(16,36; 5,48)`
.
(bron: pilotexamen wiskunde havo B in 2011, tweede tijdvak)
Ongeveer `49^@` .
Het product van deze twee richtingscoëfficiënten is `text(-)1` , dus ja, de lijnen staan loodrecht op elkaar.
`y=text(-)3 x+80` en `|PQ| = sqrt(3240)` .