Je kunt ze berekenen met behulp van sinus en cosinus. In leerjaar 3 heb je daarmee leren werken.
Noordelijke component `= cos(30)*500~~433` km.
Oostelijke component `= sin(30)*500=250` km.
Die bereken je met (bijvoorbeeld) de hoek van `30^@` die de vector met de oostelijke richting maakt. Je krijgt dus een grootte van `sin(30)*500=250` . Maar hij is negatief omdat de noordelijke richting positief is gekozen, dus je geeft die (eigenlijk zuidelijke) component de waarde `text(-)250` .
Bekijk het assenstelsel in de
Er geldt `tan(α)= (sin(α))/(cos(α)) = (v_y)/(v_x)` en omdat `v_x` negatief is en `v_y` positief, is de tangens negatief.
Als `α=100^@` is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180^@-100^@=80^@` , dus de `y` -component is hetzelfde als bij `α=80^@` .
Als `α=100^@` is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180^@-100^@=80^@` , dus de `x` -component is hetzelfde als bij `α=80^@` , maar dan negatief.
`253^@=180^@+73^@` , dus een vector met een richtingshoek van `253^@` is gedraaid met `180^@` ten opzichte van een vector met richtingshoek `73^@` . Dit betekent dat de `y` -component negatief is aan degene met hoek `73^@` .
`290^@=360^@-70^@` , dus een vector met een richtingshoek van `290^@` is gespiegeld in de `x` -as ten opzichte van een vector met richtingshoek `70^@` . Dit betekent dat de `x` -componenten hetzelfde zijn.
`v_x =cos(40^@)≈0,77` en `v_y =sin(40^@)≈0,64`
`v_x =cos(140^@)≈text(-)0,77` en `v_y sin(140^@)≈0,64`
`v_x =cos(240^@)=text(-)0,5` en `v_y =sin(240^@)≈text(-)0,87`
`v_x =cos(340^@)~~0,94` en `v_y=sin(340^@) ≈text(-)0,34`
`sin(30^@)=1/2` en `sin(60^@)= (sqrt( 3 )) /2 =1/2 sqrt( 3 )`
`cos(30^@)=1/2 sqrt( 3 )` en `cos(60^@)=1/2`
`tan(30^@)=1/ (sqrt( 3 )) =1/3 sqrt( 3 )` en `tan(60^@)= (sqrt( 3 )) /1 =sqrt( 3 )`
`sin(45^@)=1/ (sqrt( 2 ))` , `cos(45^@)=1/ (sqrt( 2 ))` en `tan(45^@)=1/1=1` ; `1/ (sqrt( 2 )) = (sqrt( 2 ))/ (sqrt( 2 )*sqrt(2)) = (sqrt( 2 ))/2 = 1/2 sqrt(2)` .
hoek | `0^@` | `30^@` | `45^@` | `60^@` | `90^@` |
sinus | `0` | `0,5` | `1/2sqrt(2)` | `1/2sqrt(3)` | `1` |
cosinus | `1` | `1/2sqrt(3)` | `1/2sqrt(2)` | `0,5` | `0` |
tangens | `0` | `1/3sqrt(3)` | `1` | `sqrt(3)` | x |
Gebruik weer spiegelen t.o.v. de `x` - en de `y` -as in de eenheidscirkel.
`sin(240^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 ) ` en ` sin(300^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 )` .
`cos(240^@)=text(-)1/2 ` en ` cos(300^@)=1/2` .
`tan(240^@)=sqrt( 3 ) ` en `tan(300^@)=text(-)sqrt( 3 )` .
`sin(135^@)=1/2 sqrt( 2 )`
`cos(135^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`tan(135^@)=text(-)1`
`sin(225^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`cos(225^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`tan(225^@)=1`
`sin(315^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`cos(315^@)=1/2 sqrt( 2 )`
`tan(315^@)=text(-) 1`
`sin(150^@)=1/2`
`cos(150^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`
`tan(150^@)=text(-)1/3 sqrt( 3 )`
`sin(210^@)=text(-)1/2`
`cos(210^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`
`tan(210^@)=1/3 sqrt( 3 )`
`sin(330^@)=text(-)1/2` , `cos(330^@)=1/2 sqrt( 3 )` en `tan(330^@)=text(-)1/3 sqrt( 3 )` .
`60^@` en `300^@` .
Ongeveer `217^@` en `323^@` .
Ongeveer `149^@` en `329^@`
Noordwaardse component:
`80cos(215^@)~~text(-)65,5`
Ofwel
`65,5`
km naar het zuiden.
Oostwaardse component:
`80sin(215^@)~~text(-)45,9`
Ofwel
`45,9`
km naar het westen.
`| AD |=6 cos(30^@)=6 *1/2 sqrt( 3 ) =3 sqrt( 3 )`
`| CD |=6sin(30^@)=6 *1/2 =3`
`| DB |=| CD |=3`
(
`Delta`
DBC is een gelijkbenige driehoek)
`| AB |=3sqrt( 3 ) +3`
Maak een hoogtelijn
`MP`
op
`KL`
.
`|PL|=|MP|=4cos(45^@)=2sqrt(2)`
`|KP|*tan(60^@)=(2sqrt(2))`
geeft
`|KP|=(2sqrt(2))/(sqrt(3))=2/3sqrt(6)`
.
`|KL|=2/3sqrt(6)+2sqrt(2)`
`|KM|*sin(60^@)=(2sqrt(2))`
geeft
`|KM|=(2sqrt(2))/(1/2sqrt(3))=4/3sqrt(6)`
.
Maak een hoogtelijn
`RS`
op
`PQ`
. Dan is
`| PS |=6 cos(50^@)≈3,857`
en
`| RS |=6 sin(50)≈4,596`
`| QS | ~~(4,596)/(tan(35^@))≈6,564`
en
`| QR | ~~(4,596)/(sin(35^@))≈8,013`
.
`| PQ |=|PS|+|QS| ~~10,42` en `| QR | ~~8,01` .
`v_x =3*cos(135^@)=text(-)1,5sqrt(2)` en `v_y =3*sin(135^@)=1,5sqrt(2)`
`v_x =5*cos(210^@)=text(-)2,5sqrt(3)` en `v_y =5*sin(210^@)=text(-)2,5`
`v_x=4*cos(320^@) ≈3,06` en `v_y =4*sin(320^@)≈text(-)2,57`
`v_x =cos(270^@)=0` en `v_y =2*sin(270^@)=text(-)2`
`alpha~~68^@` en `alpha~~360-68=292^@` .
`alpha~~22^@` en `alpha~~180^@-22^@=158 ^@` .
`alpha~~112^@` en `alpha~~360^@-112^@=248^@` .
`alpha~~360-22=338^@` en `alpha~~180^@+22^@=202^@` .
`cos(alpha)=cos(text(-)alpha)` en `cos(alpha)=text(-)cos(180^@-alpha)`
Teken de hoogtelijn `CD` op het verlengde van `AB` .
`|DC|=5*sin(60^@)=2,5sqrt(3)`
. Omdat
`angle DBC=angleBCD=45^@`
(
`angleCDB=90^@`
) geldt ook dat
`|DB|=2,5sqrt(3)`
(gelijkbenige
driehoek). Verder geldt
`|AD|=sqrt(5^2-(2,5sqrt(3))^2)=2,5`
en dus
`|AB|=2,5sqrt(3)-2,5`
. Kan ook als volgt:
`|AD| = 5*cos(60^@)=2,5`
.
`sin(45^@)=(2,5sqrt(3))/|BC|`
geeft
`|BC|=(2,5sqrt(3))/(1/2sqrt(2))=2,5sqrt(6)`
.
(of
`|BC|=sqrt((2,5sqrt(3))^2+(2,5sqrt(3))^2)=sqrt(37,5)=sqrt(6,25*6)=2,5sqrt(6)`
.)
`2*7*cos(20^@)~~13,2` N
`8*cos(20^@)+6*cos(15^@)~~13,3` N
In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.
`|EH|=2,5sin(65^@)~~2,267`
`|CH|=2,5cos(65^@)~~1,057`
`|EI|=1/2|AB|-|CH| ~~3-1,057=1,943`
`|GI| =sqrt(|EG|^2-|EI|^2)~~sqrt(2,5^2-1,943^2)~~1,573`
Hoogte `=3+|EH|+|GI| ~~ 3+2,267+1,573~~6,84` m.
`sin(angle HDE)=|EH|/|ED| ~~{:1,573:}/{:2,5:}= 0,6292`
`arcsin(0,6292)~~39^@` , dus de hellingshoek van de bovenste dakdelen is ongeveer `39^@` .
Noem de plaats waar de piloot van koers veranderde
`V`
en de plaats waar de noodlanding plaatsvond
`N`
.
De horizontale component van vector
`vec(TV)`
heeft een lengte van
`420*cos(60^@)=210`
en de verticale component heeft een lengte van
`420*sin(60^@)=210sqrt(3)`
.
De horizontale component van vector `vec(VN)` heeft een lengte van `180*sin(10^@)~~31,26` en de verticale component heeft een lengte van `180*cos(10^@)~~177,27` .
De horizontale component van vector `vec(TN)` heeft een lengte van `210+180*sin(10^@)~~210+31,26~~241,26` en de verticale component heeft een lengte van `210sqrt(3)-180*cos(10^@)~~363,73-177,27 ~~186,47` .
De verplaatsingsvector is ongeveer `((241{:,:}26),(186{:,:}47))` .
De helicopter moet dus ongeveer `186,5` km naar het noorden en `241,3` km naar het oosten.
`vec(PQ) = ((12),(text(-)5))` , dus `|vec(PQ)| = 13` en de gevraagde hoek is ongeveer `337,4^@` .
Als `vec(OR) = vec(v)` , dan is `v_x = text(-)6,5` en `v_y = 6,5sqrt(3)` .
Dus `R(text(-)6,5; 6,5sqrt(3))` .
ongeveer `236^@` en `304^@`
`150^@` en `210^@`
`| AB |=5 sqrt( 3 ) -5` en `| BC |=5 sqrt( 2 )`