Vectoren en goniometrie > Sinus, cosinus en tangensVoorbeeld 1
Bereken exact de sinus, cosinus en tangens van hoeken van `60^@` , `120^@` , `240^@` en `300^@` . Gebruik eventueel de applet.
Bekijk de eenheidscirkel, een vector met lengte
`1`
en richtingshoek
`α`
. Als
`α=60^@`
dan is de
`x`
-component van deze vector precies
`1/2`
(als je spiegelt in de lijn
`PQ`
zie je dat
`DeltaOPQ`
de helft van een gelijkbenige driehoek is). Met de stelling van Pythagoras bereken
je dan de lengte van de
`y`
-component:
`v_y =sqrt( 1^2 - (1/2) ^2 ) =sqrt( 3/4 ) =1/2 sqrt( 3 )`
Daarom is
`cos(60^@)=1/2`
`sin(60^@)=1/2 sqrt( 3 )`
`tan(60^@)= (v_y) / (v_x) = (1/2 sqrt( 3 )) / (1/2) =sqrt( 3 )`
Voor de andere hoeken gebruik je spiegeling in de
`x`
- en
`y`
-as. Zo is:
`sin(120^@)=sin(60^@)=1/2 sqrt( 3 )`
`cos(120^@)=text(-)cos(60^@)=text(-)1/2`
`tan(120^@)=text(-)tan(60^@)=text(-)sqrt( 3 )`
En op dezelfde manier vind je sinus, cosinus en tangens van `240^@` en `300^@` .
In
Teken in een assenstelsel een vector met lengte `1` en richtingshoek `45^@` .
Bepaal de exacte waarden van `sin(135)` , `cos(135)` en `tan(135)` .
Bepaal de exacte waarden van `sin(225)` , `cos(225)` en `tan(225)` .
Bepaal de exacte waarden van `sin(315)` , `cos(315)` en `tan(315)` .
Teken in een assenstelsel een vector met lengte `1` en richtingshoek `30^@` .
Bepaal de exacte waarden van `sin(150^@)` , `cos(135^@)` en `tan(150^@)` .
Bepaal de exacte waarden van `sin(210^@)` , `cos(210^@)` en `tan(210^@)` .
Bepaal de exacte waarden van `sin(330^@)` , `cos(330^@)` en `tan(330^@)` .
Gebruik, indien mogelijk, de exacte waarden van sinus, cosinus en tangens van `0^@` , `30^@` , `45^@` , `60^@` en `90^@` .
Bepaal alle hoeken `alpha` tussen `0^@` en `360^@` die voldoen aan `cos(α)=1/2` .
Bepaal in graden nauwkeurig alle hoeken `beta` tussen `0^@` en `360^@` die voldoen aan `sin(β)=text(-)0,6` .
Bepaal in graden nauwkeurig alle hoeken `gamma` tussen `0^@` en `360^@` die voldoen aan `tan(γ)=text(-)0,6` .