Vectoren en goniometrie

Vectoren en goniometrie > Sinus, cosinus en tangens

Overzicht

12345Sinus, cosinus en tangens

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Je kunt ze berekenen met behulp van sinus en cosinus. In leerjaar 3 heb je daarmee leren werken.

Noordelijke component `= cos(30)*500~~433` km.

Oostelijke component `= sin(30)*500=250` km.

Die bereken je met (bijvoorbeeld) de hoek van `30^@` die de vector met de oostelijke richting maakt. Je krijgt dus een grootte van `sin(30)*500=250` . Maar hij is negatief omdat de noordelijke richting positief is gekozen, dus je geeft die (eigenlijk zuidelijke) component de waarde `text(-)250` .

Opgave 1

Bekijk het assenstelsel in de Uitleg. Als de hoek tussen `90^@` en `180^@` zit, dan zit je in het tweede kwadrant (linksboven). Met de cosinus krijg je de `x` -waarden en die zijn aan de linkerkant negatief en met de sinus krijg je de `y` -waarden en die zijn in het tweede kwadrant positief.

Er geldt `tan(α)= (sin(α))/(cos(α)) = (v_y)/(v_x)` en omdat `v_x` negatief is en `v_y` positief, is de tangens negatief.

Opgave 2

Als `α=100^@` is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180^@-100^@=80^@` , dus de `y` -component is hetzelfde als bij `α=80^@` .

Als `α=100^@` is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180^@-100^@=80^@` , dus de `x` -component is hetzelfde als bij `α=80^@` , maar dan negatief.

`253^@=180^@+73^@` , dus een vector met een richtingshoek van `253^@` is gedraaid met `180^@` ten opzichte van een vector met richtingshoek `73^@` . Dit betekent dat de `y` -component negatief is aan degene met hoek `73^@` .

`290^@=360^@-70^@` , dus een vector met een richtingshoek van `290^@` is gespiegeld in de `x` -as ten opzichte van een vector met richtingshoek `70^@` . Dit betekent dat de `x` -componenten hetzelfde zijn.

Opgave 3

`v_x =cos(40^@)≈0,77` en `v_y =sin(40^@)≈0,64`

`v_x =cos(140^@)≈text(-)0,77` en `v_y sin(140^@)≈0,64`

`v_x =cos(240^@)=text(-)0,5` en `v_y =sin(240^@)≈text(-)0,87`

`v_x =cos(340^@)~~0,94` en `v_y=sin(340^@) ≈text(-)0,34`

Opgave 4

`sin(30^@)=1/2` en `sin(60^@)= (sqrt( 3 )) /2 =1/2 sqrt( 3 )`

`cos(30^@)=1/2 sqrt( 3 )` en `cos(60^@)=1/2`

`tan(30^@)=1/ (sqrt( 3 )) =1/3 sqrt( 3 )` en `tan(60^@)= (sqrt( 3 )) /1 =sqrt( 3 )`

`sin(45^@)=1/ (sqrt( 2 ))` , `cos(45^@)=1/ (sqrt( 2 ))` en `tan(45^@)=1/1=1` ; `1/ (sqrt( 2 )) = (sqrt( 2 ))/ (sqrt( 2 )*sqrt(2)) = (sqrt( 2 ))/2 = 1/2 sqrt(2)` .

hoek	`0^@`	`30^@`	`45^@`	`60^@`	`90^@`
sinus	`0`	`0,5`	`1/2sqrt(2)`	`1/2sqrt(3)`	`1`
cosinus	`1`	`1/2sqrt(3)`	`1/2sqrt(2)`	`0,5`	`0`
tangens	`0`	`1/3sqrt(3)`	`1`	`sqrt(3)`	x

Opgave 5

Gebruik weer spiegelen t.o.v. de `x` - en de `y` -as in de eenheidscirkel.

`sin(240^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 ) ` en ` sin(300^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 )` .

`cos(240^@)=text(-)1/2 ` en ` cos(300^@)=1/2` .

`tan(240^@)=sqrt( 3 ) ` en `tan(300^@)=text(-)sqrt( 3 )` .

Opgave 6

`sin(135^@)=1/2 sqrt( 2 )`
`cos(135^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`tan(135^@)=text(-)1`

`sin(225^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`cos(225^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`tan(225^@)=1`

`sin(315^@)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`cos(315^@)=1/2 sqrt( 2 )`
`tan(315^@)=text(-) 1`

Opgave 7

`sin(150^@)=1/2`
`cos(150^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`
`tan(150^@)=text(-)1/3 sqrt( 3 )`

`sin(210^@)=text(-)1/2`
`cos(210^@)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`
`tan(210^@)=1/3 sqrt( 3 )`

`sin(330^@)=text(-)1/2` , `cos(330^@)=1/2 sqrt( 3 )` en `tan(330^@)=text(-)1/3 sqrt( 3 )` .

Opgave 8

`60^@` en `300^@` .

Ongeveer `217^@` en `323^@` .

Ongeveer `149^@` en `329^@`

Opgave 9

Noordwaardse component:
`80cos(215^@)~~text(-)65,5`
Ofwel `65,5` km naar het zuiden.

Oostwaardse component:
`80sin(215^@)~~text(-)45,9`
Ofwel `45,9` km naar het westen.

Opgave 10

`| AD |=6 cos(30^@)=6 *1/2 sqrt( 3 ) =3 sqrt( 3 )`
`| CD |=6sin(30^@)=6 *1/2 =3`
`| DB |=| CD |=3` ( `Delta` DBC is een gelijkbenige driehoek)

`| AB |=3sqrt( 3 ) +3`

Opgave 11

Maak een hoogtelijn `MP` op `KL` .
`|PL|=|MP|=4cos(45^@)=2sqrt(2)`
`|KP|*tan(60^@)=(2sqrt(2))` geeft `|KP|=(2sqrt(2))/(sqrt(3))=2/3sqrt(6)` .
`|KL|=2/3sqrt(6)+2sqrt(2)`
`|KM|*sin(60^@)=(2sqrt(2))` geeft `|KM|=(2sqrt(2))/(1/2sqrt(3))=4/3sqrt(6)` .

Opgave 12

Maak een hoogtelijn `RS` op `PQ` . Dan is `| PS |=6 cos(50^@)≈3,857` en `| RS |=6 sin(50)≈4,596`
`| QS | ~~(4,596)/(tan(35^@))≈6,564` en `| QR | ~~(4,596)/(sin(35^@))≈8,013` .

`| PQ |=|PS|+|QS| ~~10,42` en `| QR | ~~8,01` .

Opgave 13

`v_x =3*cos(135^@)=text(-)1,5sqrt(2)` en `v_y =3*sin(135^@)=1,5sqrt(2)`

`v_x =5*cos(210^@)=text(-)2,5sqrt(3)` en `v_y =5*sin(210^@)=text(-)2,5`

`v_x=4*cos(320^@) ≈3,06` en `v_y =4*sin(320^@)≈text(-)2,57`

`v_x =cos(270^@)=0` en `v_y =2*sin(270^@)=text(-)2`

Opgave 14

`alpha~~68^@` en `alpha~~360-68=292^@` .

`alpha~~22^@` en `alpha~~180^@-22^@=158 ^@` .

`alpha~~112^@` en `alpha~~360^@-112^@=248^@` .

`alpha~~360-22=338^@` en `alpha~~180^@+22^@=202^@` .

`cos(alpha)=cos(text(-)alpha)` en `cos(alpha)=text(-)cos(180^@-alpha)`

Opgave 15

Teken de hoogtelijn `CD` op het verlengde van `AB` .

`|DC|=5*sin(60^@)=2,5sqrt(3)` . Omdat `angle DBC=angleBCD=45^@` ( `angleCDB=90^@` ) geldt ook dat `|DB|=2,5sqrt(3)` (gelijkbenige driehoek). Verder geldt `|AD|=sqrt(5^2-(2,5sqrt(3))^2)=2,5` en dus `|AB|=2,5sqrt(3)-2,5` . Kan ook als volgt: `|AD| = 5*cos(60^@)=2,5` .
`sin(45^@)=(2,5sqrt(3))/|BC|` geeft `|BC|=(2,5sqrt(3))/(1/2sqrt(2))=2,5sqrt(6)` .
(of `|BC|=sqrt((2,5sqrt(3))^2+(2,5sqrt(3))^2)=sqrt(37,5)=sqrt(6,25*6)=2,5sqrt(6)` .)

Opgave 16

`2*7*cos(20^@)~~13,2` N

`8*cos(20^@)+6*cos(15^@)~~13,3` N

In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.

Opgave 17

`|EH|=2,5sin(65^@)~~2,267`

`|CH|=2,5cos(65^@)~~1,057`

`|EI|=1/2|AB|-|CH| ~~3-1,057=1,943`

`|GI| =sqrt(|EG|^2-|EI|^2)~~sqrt(2,5^2-1,943^2)~~1,573`

Hoogte `=3+|EH|+|GI| ~~ 3+2,267+1,573~~6,84` m.

`sin(angle HDE)=|EH|/|ED| ~~{:1,573:}/{:2,5:}= 0,6292`

`arcsin(0,6292)~~39^@` , dus de hellingshoek van de bovenste dakdelen is ongeveer `39^@` .

Opgave 18Noodlanding

Noodlanding

Noem de plaats waar de piloot van koers veranderde `V` en de plaats waar de noodlanding plaatsvond `N` .
De horizontale component van vector `vec(TV)` heeft een lengte van `420*cos(60^@)=210` en de verticale component heeft een lengte van `420*sin(60^@)=210sqrt(3)` .

De horizontale component van vector `vec(VN)` heeft een lengte van `180*sin(10^@)~~31,26` en de verticale component heeft een lengte van `180*cos(10^@)~~177,27` .

De horizontale component van vector `vec(TN)` heeft een lengte van `210+180*sin(10^@)~~210+31,26~~241,26` en de verticale component heeft een lengte van `210sqrt(3)-180*cos(10^@)~~363,73-177,27 ~~186,47` .

De verplaatsingsvector is ongeveer `((241{:,:}26),(186{:,:}47))` .

De helicopter moet dus ongeveer `186,5` km naar het noorden en `241,3` km naar het oosten.

Opgave 19

`vec(PQ) = ((12),(text(-)5))` , dus `|vec(PQ)| = 13` en de gevraagde hoek is ongeveer `337,4^@` .

Als `vec(OR) = vec(v)` , dan is `v_x = text(-)6,5` en `v_y = 6,5sqrt(3)` .

Dus `R(text(-)6,5; 6,5sqrt(3))` .

Opgave 20

ongeveer `236^@` en `304^@`

`150^@` en `210^@`

Opgave 21

`| AB |=5 sqrt( 3 ) -5` en `| BC |=5 sqrt( 2 )`

verder | terug