Vectoren en goniometrie > Sinus, cosinus en tangens
12345Sinus, cosinus en tangens

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Je kunt ze berekenen met behulp van sinus en cosinus. In leerjaar 3 heb je daarmee leren werken.

Noordelijke component `=cos(30)*500~~433` km.

Oostelijke component `= sin(30)*500=250` km.

b

Die is `text(-)250` . Hij is negatief omdat de Noordelijke richting positief is gekozen.

Opgave 1
a

Bekijk het assenstelsel in de uitleg. Als de hoek tussen `90°` en `180°` zit, dan zit je in het tweede kwadrant (linksboven). Met de cosinus krijg je de `x` -waarden en die zijn aan de linkerkant negatief en met de sinus krijg je de `y` -waarden en die zijn in het tweede kwadrant positief.

b

Er geldt `tan(α)= {:sin(α):}/{:cos(α):} = v_y/v_x` en omdat `v_x` negatief is en `v_y` positief, is de tangens negatief.

Opgave 2
a

Als `α=100` ° is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180-100=80` °, dus de `y` -component is hetzelfde als bij `α=80` °.

b

Als `α=100` ° is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180-100=80` °, dus de `x` -component is hetzelfde als bij `α=80` °, maar dan negatief.

c

`253=180+73` , dus een vector met een richtingshoek van `253` ° is geroteerd met `180` ° ten opzichte van een vector met richtingshoek `73` °. Dit betekent dat de `y` -component negatief is aan degene met hoek `73` °.

d

`290=360-70` , dus een vector met een richtingshoek van `290 °` is gespiegeld in de `x` -as ten opzichte van een vector met richtingshoek `70 °` . Dit betekent dat de `x` -componenten hetzelfde zijn.

Opgave 3
a

`v_x ≈0,77` en `v_y ≈0,64`

b

`v_x ≈text(-)0,77` en `v_y ≈0,64`

c

`v_x =text(-)0,5` en `v_y≈text(-)0,87`

d

`v_x ~~0,94` en `v_y ≈text(-)0,34`

Opgave 4
a

`sin(30)=1/2` en `sin(60)= (sqrt( 3 )) /2 =1/2 sqrt( 3 )`

`cos(30)=1/2 sqrt( 3 )` en `cos(60)=1/2`

`tan(30)=1/ (sqrt( 3 )) =1/3 sqrt( 3 )` en `tan(60)= (sqrt( 3 )) /1 =sqrt( 3 )`

b

`sin(45)=1/ (sqrt( 2 ))` , `cos(45)=1/ (sqrt( 2 ))` en `tan(45)=1/1=1` ; `1/ (sqrt( 2 )) = (sqrt( 2 ))/ (sqrt( 2 )*sqrt(2)) = (sqrt( 2 ))/2 = 1/2 sqrt(2)` .

c
hoek `0°` `30°` `45°` `60°` `90°`
sinus `0` `0,5` `1/2sqrt(2)` `1/2sqrt(3)` `1`
cosinus `1` `1/2sqrt(3)` `1/2sqrt(2)` `0,5` `0`
tangens `0` `1/3sqrt(3)` `1` `sqrt(3)` x
Opgave 5

`sin(240)=text(-)1/2 sqrt( 3 ) ` `text(en)` ` sin(300)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`

`cos(240)=text(-)1/2 ` `text(en)` ` cos(300)=1/2`

`tan(240)=sqrt( 3 ) ` `text(en)` ` tan(300)=text(-)sqrt( 3 )`

Opgave 6
a

`sin(135)=1/2 sqrt( 2 )`
`cos(135)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`tan(135)=text(-)1`

b

`sin(225)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`cos(225)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`tan(225)=1`

c

`sin(315)=text(-)1/2 sqrt( 2 )`
`cos(315)=1/2 sqrt( 2 )`
`tan(315)=text(-) 1`

Opgave 7
a

`sin(150)=1/2`
`cos(150)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`
`tan(150)=text(-)1/3 sqrt( 3 )`

b

`sin(210)=text(-)1/2`
`cos(210)=text(-)1/2 sqrt( 3 )`
`tan(210)=1/3 sqrt( 3 )`

c

`sin(330)=text(-)1/2` , `cos(330)=1/2 sqrt( 3 )` en `tan(330)=text(-)1/3 sqrt( 3 )` .

Opgave 8
a

`60` ° en `300` °

b

Ongeveer `217` ° en `323` °

c

Ongeveer `149` ° en `329` °

Opgave 9

Ongeveer `65,5` km naar het zuiden en `45,9` km naar het westen.

Opgave 10

`| AB |=3sqrt( 3 ) +3`

Opgave 11

`| KL |=2/3sqrt(6) +2sqrt(2)` en `| KM |=4/3sqrt(6)`

Opgave 12

`| PQ | ~~10,42` en `| QR | ~~8,01`

Opgave 13
a

`v_x ≈text(-)1,27` en `v_y ≈2,72`

b

`v_x ≈text(-)0,97` en `v_y ≈text(-)0,22`

c

`v_x≈2,62` en `v_y ≈text(-)3,02`

d

`v_x≈3,60` en `v_y≈3,47`

Opgave 14
a

`v_x =text(-)1,5sqrt(2)` en `v_y =1,5sqrt(2)`

b

`v_x =text(-)2,5sqrt(3)` en `v_y =text(-)2,5`

c

`v_x ≈3,06` en `v_y ≈text(-)2,57`

d

`v_x =0` en `v_y =text(-)2`

Opgave 15
a

Ongeveer `68` ° en `292` °

b

Ongeveer `22` ° en `158` °

c

Ongeveer `112` ° en `248` °

d

Ongeveer `202` ° en `338` °

e

`cos(alpha)=cos(text(-)alpha)` en `cos(alpha)=text(-)cos(180-alpha)`

Opgave 16

`| AB |=2,5sqrt(3) -2,5` en `|BC|=2,5sqrt(6)`

Opgave 17
a

`13,2` N

b

`13,3` N

c

In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.

Opgave 18

`| AB |=5 sqrt( 3 ) -5` en `| BC |=5 sqrt( 2 )`

Opgave 19
a

Ongeveer `6,84` m.

b

Ongeveer `39` °.

Opgave 20
a

`vec(PQ) = ((12),(text(-)5))` , dus `|vec(PQ)| = 13` en de gevraagde hoek is ongeveer `337,4` °.

b

Als `vec(OR) = vec(v)` , dan is `v_x = text(-)6,5` en `v_y = 6,5sqrt(3)` .

Dus `R(text(-)6,5; 6,5sqrt(3))`

Opgave 21
a

ongeveer `236` ° en `304` °

b

`150` ° en `210` °

Opgave 22

De verplaatsingsvector is ongeveer `(({:241,26:}),({:186,47:}))` .

De helikopter moet dus ongeveer `186,5` km naar het noorden en `241,3` km naar het oosten.

verder | terug