Vectoren en goniometrie > Sinus, cosinus en tangens
12345Sinus, cosinus en tangens

Voorbeeld 1

Bereken exact de sinus, cosinus en tangens van hoeken van `60°` , `120°` , `240°` en `300°` . Gebruik hierbij een schets van een eenheidscirkel.

> antwoord

Bekijk de eenheidscirkel, een vector met lengte `1` en richtingshoek `α` . Als `α=60°` dan is de `x` -component van deze vector precies `1/2` (Als je spiegelt in de lijn `PQ` zie je dat `DeltaOPQ` de helft van een gelijkbenige driehoek is). Met de stelling van Pythagoras bereken je dan de lengte van de `y` - component:
`v_y =sqrt( 1^2 - (1/2) ^2 ) =sqrt( 3/4 ) =1/2 sqrt( 3 )`
Daarom is `cos(60)=1/2`
`sin(60)=1/2 sqrt( 3 )`
`tan(60)= (v_y) / (v_x) = (1/2 sqrt( 3 )) / (1/2) =sqrt( 3 )`

Voor de andere hoeken gebruik je spiegeling in de `x` - en `y` -as. Zo is:
`sin(120)=sin(60)=1/2 sqrt( 3 )`
`cos(120)=text(-)cos(60)=text(-)1/2`
`tan(120)=text(-)tan(60)=text(-)sqrt( 3 )`
En op dezelfde manier vind je sinus, cosinus en tangens van `240°` en `300°` .

Opgave 5

In het voorbeeld zie je hoe je de exacte waarden van de sinus, de cosinus en de tangens van `120` ° kunt afleiden uit die van `60` °. Bepaal nu zelf de exacte waarden van sin, cos en tan van `240` ° en `300` °.

Opgave 6

Teken in een assenstelsel een vector met lengte `1` en richtingshoek `45` °.

a

Bepaal de exacte waarden van `sin(135)` , `cos(135)` en `tan(135)` .

b

Bepaal de exacte waarden van `sin(225)` , `cos(225)` en `tan(225)` .

c

Bepaal de exacte waarden van `sin(315)` , `cos(315)` en `tan(315)` .

Opgave 7

Teken in een assenstelsel een vector met lengte `1` en richtingshoek `30` °.

a

Bepaal de exacte waarden van `sin(150)` , `cos(135)` en `tan(150)` .

b

Bepaal de exacte waarden van `sin(210)` , `cos(210)` en `tan(210)` .

c

Bepaal de exacte waarden van `sin(330)` , `cos(330)` en `tan(330)` .

Opgave 8

Gebruik, indien mogelijk, de exacte waarden van sinus, cosinus en tangens van `0` °, `30` °, `45` °, `60` ° en `90` °.

a

Bepaal alle hoeken `alpha` tussen `0` ° en `360` ° die voldoen aan `cos(α)=1/2` .

b

Bepaal in graden nauwkeurig alle hoeken `beta` tussen `0` ° en `360` ° die voldoen aan `sin(β)=text(-)0,6` .

c

Bepaal in graden nauwkeurig alle hoeken `gamma` tussen `0` ° en `360` ° die voldoen aan `tan(γ)=text(-)0,6` .

verder | terug