Vectoren en goniometrie > Sinusregel
12345Sinusregel

Verwerken

Opgave 11

Gegeven is `Delta ABC` met `angle A=25` °, `angle B=55` ° en `|AB|=5` .
Bereken `|AC|` en `|BC|` in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 12

Gegeven is `Delta KLM` met `angle K=40` °, `|KM|=6` en `|LM|=8` .
Bereken `angle L` en `angle M` in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 13

Laat met een berekening zien dat een driehoek `ABC` met `| AB |=12` , `| AC |=8` en `∠B=45` ° onmogelijk is.

Opgave 14

Bereken (waar mogelijk exact) de zijde waar het vraagteken bij staat.

a
b
c
Opgave 15

Je wilt de lengte bepalen van lijnstuk `AB` , maar tussen de punten `A` en `B` ligt een meertje. Je gaat nu als volgt te werk:

  • Je loopt vanuit punt `A` `200` m in een richting die een hoek van `60` ° maakt met `AB` . Zo houd je droge voeten.

  • Je bent op een punt dat je `P` noemt en meet de hoek tussen `AP` en `PB` . Die is `80` °.

  • Vervolgens bereken je de lengte van `AB` .

Laat met een tekening zien hoe dit in zijn werk gaat en bereken de lengte van  `AB` .

Opgave 16

Om de positie van een bepaald punt `P` in kaart te brengen, werkten landmeters vroeger met de sinusregel. Daartoe werden de afstanden tot `P` vanuit bekende punten berekend. Door omcirkelen vanuit die bekende punten kon `P` op de kaart worden aangegeven. Deze procedure heette "voorwaartse insnijding" . Deze methode werkt alleen in de "lagere geodesie," de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd.
Stel dat `A` en `B` de bekende punten zijn. Ze liggen `125,3` m uit elkaar. Je wilt de positie van `P` bepalen. Je meet de hoeken `BAP` en `ABP` : `∠BAP=68,3` ° en `∠ABP=77,4` °.

Bereken nu de lengtes van `AP` en `BP` .

Opgave 17

Iemand wil de hoogte van een toren weten. Hij gaat een stuk van de toren vandaan staan en meet de hoek tussen de horizontale richting en de richting naar de spits van de toren (punt `A` ). Deze hoek `C` is `32` °. Dan loopt hij `50` m verder van de toren vandaan en meet de hoek naar de top opnieuw; de nieuwe hoek `D` is nu `15` °.

a

Maak een schets van deze situatie met de gegevens die bekend zijn. Ga er daarbij vanuit dat beide hoeken op `1,80` m boven de grond zijn gemeten.

b

Bereken de hoogte van de toren in meter nauwkeurig. (Opmerking: er is een oplossing van dit probleem waarbij je de sinusregel gebruikt, maar er is wel een oplossing te bedenken waarbij dit niet hoeft. Kun je beide oplossingen vinden?)

De Nederlandse meetkundige Sybrandt Hansz. Cardinael (1578–1647) bedacht een manier om de hoogte van een toren te bepalen. Je hebt er zelfs geen hoeken voor nodig. Hier zie je hoe hij te werk ging. De toren is `AB` en er ligt een spiegel op de grond in `C` . Je zet bij `D` een verticale stok `DE` zo, dat de top `A` van de toren in de spiegel gezien kan worden vanuit `E` . Vervolgens bepaal je de plaats van punt `F` zo, dat vanuit `F` de top `A` juist boven de stok `DE` in het verlengde van `FE` gezien kan worden. Als je de lengtes van `CD` , `DE` en `DF` kent, kun je de hoogte van de toren `AB` berekenen.

c

Bereken de hoogte van de toren als `| CD |=8` , `| DE | = 6` en `| DF |=9` .

verder | terug