Vectoren en goniometrie

Vectoren en goniometrie > Cosinusregel

Overzicht

12345Cosinusregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Teken de hoogtelijn `PD` op `AB` .

`|AD|=20*cos(40^@) ~~15,3` en dus `|DB| ~~22,7` . Verder geldt `|PD|=20*sin(40^@)~~12,9` .

`|PB|=sqrt(|PD|^2+|DB|^2)~~26` .

De route van `A` naar `B` via `P` is ongeveer `20+26=46` m. Dit is `8` m meer dan de route rechtstreeks door het bos.

Je weet geen hoek met de tegenoverliggende zijde.

Opgave 1

Cosinusregel: `a^2 =b^2 +c^2 -2 bc cos(α)` .
Hier: `PB^2 = AP^2 + AB^2 - 2*AP*AB*cos(/_A)` .
Invullen: `PB^2 = 20^2 + 38^2 - 2*20*38*cos(40^@) ~~ 679,6` en `PB ~~ 26,1` m.

Opgave 2

` AB ^2 =6^2 +9^2 -2 *6 *9 *cos(50)`

` AB ≈6,90`

Opgave 3

Ga na, dat `a^2 = CD^2 + BD^2` .
Omdat ` BD =c- AD ` geldt: `a^2 = CD^2 +(c - AD)^2` .

Haakjes wegwerken: `a^2 = CD^2 +c^2 -2 *c* AD + AD^2` .

Verder is ` CD^2 + AD^2 =b^2` .

Gebruik ` AD =bcos(α)` en vul dat in.

Je krijgt: `a^2 =b^2 +c^2 -2 bc cos(α)` .

Je kunt (door letters verwisselen) varianten op deze stelling maken, zoals `b^2 =a^2 +c^2 -2 a*c cos(β)` en
`c^2 =a^2 +b^2 -2 ab cos(γ)` .

Opgave 4

Als je het goed hebt gedaan, krijg je een driehoek met dezelfde vorm en grootte als in het voorbeeld.

`| BC | ^2 =4^2 +6^2 -2 *4 *6 *cos(20^@)=6,89...`

Hieruit volgt: `| BC |≈2,63` .

Opgave 5

Als `α=90^@` , dan is de cosinusregel `a^2 =b^2 +c^2 -2 bc cos(90^@)=b^2 +c^2` .

Opgave 6

Noem de afstand `a` , dan is `a^2 =60^2 +50^2 -2 *50 *60 *cos(30^@)` , dit geeft `a≈30,1` km.

Opgave 7

Eerst met de sinusregel `angle B` uitrekenen: `10/(sin(60))=6/(sin(angle B))` geeft `angle B~~31,3^@` (de andere optie `\angle B~~148,7^@` kan niet).

`angle A =180^@-60^@-angle B~~88,7^@`

`|BC|^2=10^2+6^2-2*10*6*cos(88,7^@)` geeft `|BC| ~~11,5` .

Opgave 8

Cosinusregel: `a^2 =b^2 +c^2 -2 bc cos(α)` .

Dit geeft: `3^2 =4^2 +6^2 -2 *4 *6 *cos(∠A)` .

Dus: `9 =52 -48 cos(∠A)` en `cos(∠A)= (text(-)43) / (text(-)48) ≈0,8958` , zodat `∠A~~26^@` .

`∠B` kun je met de cosinusregel berekenen: `cos(/_B)=(4^2-3^2-6^2)/(text(-)2*3*6)` .
Je vindt `∠B≈36^@` .

Ja, `∠B` kun je zowel met de cosinusregel als met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: `sin(/_B)=4/3*sin(26^@)` .

In beide gevallen vind je `∠B≈36^@` .

Opgave 9

`|BC|^2=4^2+5^2-2*4*5*cos(60^@)` . Hieruit volgt `|BC| =sqrt(21)~~4,58` .

`5^2=4^2+(sqrt(21))^2-2*4*sqrt(21)*cos(angle B)` geeft `angle B ~~ 70,9^@` .

`5/(sin(\angle E))=6/(sin(60^@))` geeft `\angle E ~~ 46,2^@` en daarmee `angle F ~~ 73,8^@` . ( `/_E = 133,8^@` vervalt.)

`6/(sin(60^@))=(|DE|)/(sin(angle F))` geeft `|DE| ~~ 6,65` .

`10/(sin(70^@))=5/(sin(angle L))` geeft `/_L ~~ 28,0^@` en daarmee `angle MKL~~82,0^@` . `/_L = 152,0^@` vervalt.

`|ML|^2=5^2+10^2-2*5*10*cos(angle MKL)` geeft `|ML| ~~ 10,54` en daarmee `|MN| ~~ 2,54` .

`|NK|^2=5^2+|MN|^2-2*5*|MN|*cos(70^@)` geeft `|NK| ~~4,77` .

`(|NK|)/(sin(angle L))=10/(sin(angle LNK))` geeft `angle LNK~~100,0^@` ( `angle LNK~~80,0^@` kan niet, aangezien de hoek stomp is).

Opgave 10

Met de cosinusregel vind je `c~~7,43` .

Met de cosinusregel of sinusregel vind je nu ook dat `α~~77,4^@` en daarmee ook dat `β~~37,6^@` .

Met de sinusregel vind je `beta~~34,5^@` en daarmee `gamma ~~80,5^@` .

Met de cosinusregel vind je nu dat `c~~8,71` .

Met de sinusregel vind je dat `b~~122,47` .

`alpha=15^@` , met de sinusregel (of cosinusregel) vind je dat `a~~44,83` .

`a^2+c^2=b^2` , dus `beta=90^@` (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Verder vind je dat `tan(alpha)=6/8` dus `alpha~~36,9^@` en `gamma~~53,1^@` .

`alpha=beta=(180^@-20^@)/2=80^@` . Met de cosinusregel (of sinusregel) vind je dat `c~~5,21` .

Opgave 11

Er zijn twee mogelijke trapezia.
`10/(sin(45^@))=12/(sin(angle BCA))` geeft `angle BCA~~58,1^@` of `angle BCA~~121,9^@` .
`angle BCD=180-45=135^@` en dus `angle ACD=135-angle BCA~~76,9^@` of `angle ACD~~13,1^@` .
`|AD|^2=4^2+10^2-2*4*10*cos(angle ACD)` geeft `|AD| ~~9,9` of `|AD| ~~6,2` .

Opgave 12

`|AC|=|BC|=10` , met de cosinusregel vind je dat `|AB|^2=10^2+10^2-2*10*10*cos(20^@)` en dus `|AB| ~~3,5` . Maar `|AB|=5` , dus de genoemde driehoek kan niet.

Opgave 13

`|EH|=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)`
`|HG|=sqrt(4^2+3^2)=5`
`|AC|=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)` en `|EG|=sqrt(|AC|^2+1^2)=sqrt(33)` .
`(sqrt(33))^2=5^2+(sqrt(20))^2-2*5*sqrt(20)*cos(angle EHG)` geeft `angle EHG~~74,4^@` .

Opgave 14

Echt een opgave voor de cosinusregel. Eerst bereken je in `Delta ABC` de grootte van `∠C` met de cosinusregel. Dan bereken je in `Delta BCP` met de cosinusregel de lengte van `BP` . Ditzelfde doe je ook in `Delta ACD` om de lengte van `DP` uit te rekenen. Van `Delta BPD` weet je nu alle drie de zijden en je kunt dan met de cosinusregel `/_ PBD` uitrekenen. Ten slotte kun je met de cosinusregel in `Delta BPQ` nu ook `PQ` berekenen: `| PQ |≈4,2` .

Opgave 15

Gebruik de cosinusregel in `Delta ACD` :
`AD^2 = 1^2 + 4^2 - 2*1*4*cos(110^@) = 19,736...` zodat `AD ~~ 4,44` dm.

Gebruik de sinusregel in `Delta ACD` om `/_ADC` te berekenen:
`(1)/(sin(/_ADC))= 4/(sin(55^@))` geeft `/_ADC ~~ 11,8^@` .

Dus `/_ACD ~~ 180^@ - 55^@ - 11,8^@ = 113,2^@` .

Doe nu opnieuw de sinusregel in `Delta ACD` :
`(AD)/(sin(/_113,2^@))= 4/(sin(55^@))` geeft `AD ~~ 4,50` dm.

Opgave 16

Bij het tweede plaatje van Figuur 2 zit de kleinste waarde van `AD` .
Dan is `AD = 4-1 = 3` dm.

Bij het vierde plaatje van Figuur 2 zit de grootste waarde van `AD` .
Dan is `AD = 4+1 = 5` dm.

Gebruik de sinusregel in `Delta ACD` om `/_ADC` te berekenen:
`(1)/(sin(/_ADC))= 4/(sin(100^@))` geeft `/_ADC ~~ 14,3^@` .

Dus `gamma = /_ACD ~~ 180^@ - 100^@ - 14,3^@ = 65,7^@` .

Doe nu opnieuw de sinusregel in `Delta ACD` :
`(AD)/(sin(65,7^@))= 4/(sin(100^@))` geeft `AD ~~ 3,70` dm.

Opgave 17

`| BC |≈12,75`

Opgave 18

`alpha~~24,1^@` , `beta~~30,8^@` en `gamma~~125,1^@` .

verder | terug