Vectoren en goniometrie > CosinusregelUitleg
Bij een crosscountry-wedstrijd moeten de deelnemers van punt `A` naar punt `B` zien te komen. Er zijn twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is een route rechtstreeks door het bos van `A` naar `B` . De tweede mogelijkheid is een route via punt `P` en een geasfalteerd fietspad. De paden `AB` en `AP` maken een hoek van `40^@` met elkaar. Het pad van `A` naar `P` is `20` m, dat van `A` naar `B` is `38` m.
Nu is de sinusregel niet bruikbaar. Je kunt dit alleen oplossen door een hoogtelijn `PD` op `AB` te tekenen. Dat is nog behoorlijk wat rekenwerk. Handiger is het om de cosinusregel te gebruiken in `Delta ABP` .
In elke driehoek `ABC` geldt:
`a^2 =b^2 +c^2 -2 bc cos(α)`
In de driehoek bij de crosscountry-wedstrijd is `C=P` en dus `alpha = 40^@` , `PB = a` , `AB = c` en `AP = b` .
Even invullen en je vindt `PB = a ~~ 26,1` m.
Bekijk in de
Bekijk driehoek `ABC` . Twee zijden en de ingesloten hoek zijn gegeven.
Hoe ziet de cosinusregel bij de gegeven hoek eruit?
Bereken de derde zijde van deze driehoek.
Wil je in deze figuur `a` uitrekenen terwijl `α` , `b` en `c` bekend zijn, dan lukt dit niet met behulp van de sinusregel. Je kunt echter een verband afleiden tussen `a` , `α` , `b` en `c` .
Laat zien, dat `a^2 = CD^2 +(c - AD)^2` .
Laat zien dat `a^2 =b^2 +c^2 -2*c*AD` door haakjes weg te werken.
Laat tenslotte zien, dat `a^2 =b^2 +c^2 -2 bc cos(α)` .