Hoeken en afstanden > MiddelpuntenAntwoorden van de opgaven
Neem drie punten op de rand van het ronde bord. Teken twee middelloodlijnen van twee van die punten en bepaal het snijpunt daarvan. De cirkel met dat snijpunt als middelpunt en door één van de drie punten gaat door alle drie deze punten en vormt de rand van het bord.
Op de middelloodlijnen van `AB` , `BC` en `AC` .
Teken de middelloodlijnen bij twee punten. Kies hiervoor bijvoorbeeld lijnstuk `AB` en lijnstuk `BC` . De middelloodlijnen van `AB` en `BC` snijden elkaar in het middelpunt `M` van de cirkel. Gebruik de passer om de cirkel te tekenen. De passerpunt zet je op middelpunt `M` en de andere zet je op punt `A` , `B` of `C` .
Je hebt gezien dat `M` op de middeloodlijn van lijnstuk `AB` ligt. Dan volgt dat de afstand van `M` naar `A` even groot is als de afstand van `M` naar `B` . Ofwel `|MA|=|MB|` .
Zo volgt eveneens uit het feit dat `M` op de middelloodlijn van `BC` ligt dat `|MB|=|MC|` .
Uit bovenstaande volgt dus dat `|MA|=|MB|=|MC|` en dus ook `|MA|=|MC|` . En dus ligt `M` ook op de middelloodlijn van lijnstuk `AC` . Alle drie de middelloodlijnen gaan dan door hetzelfde punt `M` .
Op het snijpunt `S` van twee middelloodlijnen van zijden; de straal moet minstens de afstand van `S` tot een hoekpunt zijn.
Misschien kun je al kwadraat afsplitsen: `x^2 +y^2 +6 x=0` geeft `(x+3)^2-9+y^2=0` en dus `(x+3)^2+y^2=9` . Anders kun je met GeoGebra werken: voer de gegeven vergelijking in en bekijk het resultaat.
Cirkel met `M(text(-)3, 0)` en `r=3` .
`x^2+8x+16=(x+4)^2` , dus `x^2 +8 x=( x+4) ^2 -16` .
`x^2+12x+36=(x+6)^2` , dus `x^2 +12 x=(x+6)^2-36` .
`x^2+5x+6,25=(x+2,5)^2` , dus `x^2 +5 x=(x+2,5)^2-6,25` .
`x^2-6x+9=(x-3)^2` , dus `x^2 -6 x=(x-3)^2-9` .
`x^2-8x+16=(x-4)^2` , dus `x^2 -8 x=(x-4)^2-16` .
`x^2-x+0,25=(x-0,5)^2` , dus `x^2 -x=(x-0,5)^2-0,25` .
Kwadraat afsplitsen: `x^2 +y^2 +8 x+4 y=0` geeft `(x+4)^2-16+(y+2)^2-4=0` en `(x+4)^2+(y+2)^2=20` .
Dit is de vergelijking van een cirkel met `M(text(-)4, text(-)2)` en `r=sqrt(20)` .
Kwadraat afsplitsen: `x^2 +y^2 -8 x+4 y=25` geeft `(x-4)^2-16+(y+2)^2-4=25`
en `(x-4)^2+(y+2)^2=45` .
Dit is de vergelijking van een cirkel met `M(4, text(-)2)` en `r=3sqrt(5)` .
Kwadraat afsplitsen: `2 x^2 +y^2 +8 x=x^2 +4 y` geeft `x^2+8x+y^2-4y=0` en `(x+4)^2-16+(y-2)^2-4=0` , zodat `(x+4)^2+(y-2)^2=20` .
Dit is de vergelijking van een cirkel met `M(text(-)4, 2)` en `r=sqrt(20)` .
`x^2 +y^2 -8 x+4 y=text(-)25` geeft `( x-4) ^2 + (y+2) ^2 =text(-)5` .
Een cirkel met straal `text(-)5` bestaat niet.
Middelloodlijn `AB` :
`A(0, 3)` en `B(2, 6)` . De richtingscoëfficiënt van `AB` is dan `(6-3)/(2-0)=3/2` . Dus de richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan `text(-)2/3` . Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk `AB` en dus door het punt `(1;4,5)` . Vul dit in `y=text(-)2/3x+b` en je vindt `4,5=text(-)2/3*1+b` En dan volgt `b=5 1/6` . De vergelijking van de middelloodlijn `AB` is dan `y=text(-)2/3 x+5 1/6` .
Middelloodlijn `BC` :
`B(2,6)` en `C(5,4)` . De richtingscoëfficiënt van `BC` is dan `(4-6)/(5-2)=text(-)2/3` . Dus de richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan `3/2` . Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk `BC` en dus door het punt `(3,5;5)` . Vul dit in `y=3/2x+b` en je vindt `5=3/2*3,5+b` En dan volgt `b=text(-)0,25` . De vergelijking van de middelloodlijn `AB` is dan `y=3/2x - 0,25` .
Het opstellen van de cirkelvergelijking:
Als eerste wil je het middelpunt van de cirkel. Die vind je door de beide middelloodlijnen met elkaar te snijden: `text(-)2/3x+5 1/6 = 3/2x -0,25` levert op `x=2,5` en `y=3,5` zodat je de waarden van `a` en `b` al in kunt vullen in de cirkelvergelijking: `(x-2,5)^2+(y-3,5)^2=r^2` .
Vul nu een willekeurig punt in om de waarde van `r^2` te berekenen. Kies hiervoor bijvoorbeeld `A(0, 3)` . Je vindt dan `r^2=(0-2,5)^2+(3-3,5)^2=6,5` . De uiteindelijke vergelijking van de cirkel wordt dan `(x-2,5)^2+(y-3,5)^2=6,5` .
Middelloodlijn `OA` :
Midden van lijnstuk `OA` is `(2, 0)` en `OA` heeft `0` als richtingscoëfficiënt. Dus de middelloodlijn loopt verticaal. De vergelijking van de middelloodlijn is dan `x=2` .
Middelloodlijn `AB` :
Midden van lijnstuk `AB` is `(3,5; 2,5)` en lijn `OA` heeft als richtingscoëfficiënt `(5-0)/(3-4)=text(-)5` . De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan `0,2` . De middelloodlijn wordt dan `y=0,2x+1,8` .
Middelloodlijn `OB` :
Midden van lijnstuk `OB` is `(1,5; 2,5)` en lijn `OB` heeft als richtingscoëfficiënt `(5-0)/(3-0)=5/3` . De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan `text(-)3/5` . De middelloodlijn wordt dan `y=text(-)0,6x+3,4` .
Snijden middelloodlijnen `OA` met `AB` geeft als snijpunt `(2; 2,2)` .
Middelloodlijn `OB` gaat ook door `(2; 2,2)` (vul de coördinaten maar in).
Alle drie de middelloodlijnen snijden elkaar dus in hetzelfde punt.
Het snijpunt van de middelloodlijnen is `(2; 2,2)` . Dus de cirkelvergelijking is `c:(x-2)^2+(y-2,2)^2=r^2` . Nu bereken je `r^2` door een punt in te vullen, kies hier bijvoorbeeld het punt `O(0, 0)` dan maak je het jezelf gemakkelijk: `(0-2)^2+(0-2,2)^2=r^2` . Dus `r^2=4+4,84=8,84` .
Je vindt dus `c:(x-2)^2+(y-2,2)^2=8,84` .
Vul de coördinaten van `O` , `A` en `B` in de cirkelvergelijking in:
`O(0,0): (0-2)^2+(0-2,2)^2=8,84`
`A(4,0): (4-2)^2+(0-2,2)^2=8,84`
`B(3,5): (3-2)^2+(5-2,2)^2=8,84`
Je vindt drie keer een ware bewering en dus liggen alle drie de punten op de cirkel.
`x^2 +y^2 =6 x-4 y-5` geeft `x^2-6x+y^2+4y=text(-)5` en `(x-3)^2+(y+2)^2=8` .
Cirkel met `M(3, 2)` en `r=sqrt(8)` .
`x^2 +y^2 =6 x-4 y-50` geeft `x^2-6x+y^2+4y=text(-)50` en `(x-3)^2+(y-2)^2=text(-)37` .
Geen cirkel.
`x( x+4 )=3 -y( y+2 )` geeft `x^2+4x+y^2+2y=3` en `(x+2)^2+(y+1)^2=8` .
Cirkel met `M(text(-)2, text(-)1)` en `r=sqrt(8)` .
`2 x^2 +2 y^2 -12 x+4 y=0` geeft `x^2-6x+y^2+2y=0` en `(x-3)^2+(y+1)^2=10` .
Cirkel met `M(3, text(-)1)` en `r=sqrt(10)` .
`5 -x^2 -y^2 =4 x+2 y` geeft `x^2+4x+y^2+2y=5` en `(x+2)^2+(y+1)^2=10` .
Cirkel met `M(text(-)2, text(-)1)` en `r=sqrt(10)` .
`x^2 +y^2 =4 x+2 y-5` geeft `x^2-4x+y^2-2y=text(-)5` en `(x-2)^2+(y-1)^2=0` .
Geen cirkel, want `r` moet altijd groter zijn dan `0` .
Vergelijking van de middelloodlijn van `AB` is `x=1` .
Vergelijking van de middelloodlijn van `AC` is `y=text(-)4x+3,5` .
`y=text(-)4*1+3,5` geeft `y=text(-)0,5` .
Cirkel: `(x-1)^2+(y+0,5)^2=r^2` .
Het punt `A(2, text(-)3)` invullen geeft `(text(-)2-1)^2+(3+0,5)^2=21,25` .
Dus `(x-1)^2+(y+0,5)^2=21,5` .
Vergelijking van de middelloodlijn van `AB` is `x=2` .
Vergelijking van de middelloodlijn van `AC` is `y=text(-)4x+7` .
`y=text(-)4*2+7` geeft `y=text(-)1` .
Cirkel: `(x-2)^2+(y+1)^2=r^2` .
Het punt `A(text(-)4,6)` invullen geeft `(text(-)4-2)^2+(6+1)^2=85` .
Dus `(x-2)^2+(y+1)^2=85` .
Vergelijking van de middelloodlijn van `PQ` is `y=text(-)2x+55` .
Vergelijking van de middelloodlijn van `PR` is `y=text(-)0,5x+21,25` .
`text(-)2x+55=text(-)0,5x+21,25` geeft `text(-)1,5x=text(-)33,75` , dus `x=22,5` en `y=text(-)2*22,5+55=10` .
Cirkel: `(x-22,5)^2+(y-10)^2=r^2` .
Het punt `P(20, 5)` invullen geeft `r^2=31,25` .
Dus `c: (x-22,5)^2+(y-10)^2=31,25` .
`( x+5) ^2 + (y-10) ^2 =r^2`
Punt `O(0, 0)` invullen geeft `r^2=125` .
Dus `c:(x+5)^2 + (y-10)^2 =125` .
`x^2-y^2=3x` geeft `(x-1,5)^2-y^2=text(-)2,25` .
Dit is geen cirkel.
Snijpunt `x` -as: `y=0` invullen geeft `x^2-3=0` en `x=0 vv x=3` en dus zijn de snijpunten `(0, 0)` en `(3, 0)` .
Geen cirkel; er komt geen `y^2` in voor.
Snijpunt `x-as` : `y=0` invullen geeft `x^2=3x` en `x=0 vv x=3` en dus zijn de snijpunten `(0, 0)` en `(3, 0)` .
`x^2+y^2+2xy=16` geeft `(x+y)^2=16` .
Dus `x+y=4 vv x+y=text(-)4` en `y=text(-)x+4 vv y=text(-)x-4` .
Dit zijn dus twee lijnen!
Snijpunt `x` as: `y=0` invullen geeft `x^2=16` en `x=4 vv x=text(-)4` , dus `(4, 0)` en `(text(-)4, 0)` .
`x( x-4 )=y( 6 -y )` geeft `(x-2)^2+(y-3)^2=13` .
Dit is een cirkel met `M(2, 3)` en `r=sqrt(13)` .
Snijpunt `x` -as: `y=0` invullen geeft `x(x-4)=0` en `x=0 vv x=4` en dus zijn de snijpunten `(0, 0)` en `(4, 0)` .
`( x-y ) ^2 =2 x( 6 -y )` geeft `(x-6)^2+y^2=36` .
Dit is een cirkel met `M(6, 0)` en `r=6` .
snijpunt `x-as` : `y=0` invullen geeft `x^2=12x` en `x=0 vv x=12` en dus zijn de snijpunten `(0, 0)` en `(12, 0)` .
Kies als punten `A(text(-)6, 0)` , `B(6, 0)` en `C(0, 8)` . Je krijgt dan de bedoelde gelijkbenige driehoek. Stel nu vergelijkingen op van twee middelloodlijnen.
Middelloodlijn van `AB` is gemakkelijk door het "handig" gekozen assenstelsel: `x=0` .
Middelloodlijn van `BC` gaat door het midden `(3, 4)` en heeft als richtingscoëfficiënt `3/4` . De vergelijking van deze lijn wordt `y=3/4 x+1,75` .
Snijd nu beide middelloodlijnen: `x=0` invullen in `y=3/4 x+b` geeft `M(0; 1,75)` .
De cirkelvergelijking wordt dan `x^2+(y-1,75)^2=r^2` en voer daar bijvoorbeeld punt `B(6, 0)` in. Dit geeft `r^2=39,0625` . En dus is de straal `r` gelijk aan `sqrt(39,0625)=6,25` .
De cirkel door `A` , `B` en `C` heeft de vergelijking `( x-12,5) ^2 +y^2 =156,25` . Punt `D` voldoet niet aan die vergelijking. Dus de vier punten liggen niet op een cirkel.
`c_1`
heeft
`M_1 ( 0, 2 )`
en
`r_1 =2`
.
`c_2`
heeft
`M_2 ( 2, 1 )`
en
`r_2 =5`
.
Dus
`c_1`
ligt binnen
`c_2`
.
Stel vergelijking op van een cirkel `c_1` met `r=5` met `A` als middelpunt:
`c_1: (x-2,5)^2+(y-5)^2=25` .
Stel vergelijking op van een cirkel `c_2` met `r=5` met `B` als middelpunt:
`c_2: (x-5,5)^2+(y-1)^2=25` .
Snijd nu `c_1` en `c_2` met elkaar voor mogelijke middelpunten van `c` :
Dit geeft de punten `M_1(7,46; 5,6)` en `M_2(0,54; 0,4)` .
Er zijn dus twee mogelijke oplossingen:
`c_1:(x-7,46)^2+(y-5,6)^2=25`
`c_2:(x-0,54)^2+(y-0,4)^2=25` .
Splits het kwadraat af van de gegeven cirkelvergelijking om de coördinaten van `M` te vinden:
`x^2+y^2-2x+4y=0` geeft `(x-1)^2+(y+2)^2=5` .
Dus `M(1,text(-)2)` .
De middelloodlijn moet dus gaan door `O(0, 0)` en `M(1, text(-)2)` .
Lijnstuk `OM` heeft als richtingscoëfficiënt `text(-)2` en dus heeft de middelloodlijn een richtingscoëfficiënt van `1/2` .
Het midden van `OM` is het punt `(1/2 , text(-)1)` . En de vergelijking van de middelloodlijn wordt dan `y=1/2 x-1,25` , ofwel `x-2y=2,5` .
Snijd de gevonden vergelijking van de middelloodlijn `m: x-2y=2,5` met de gegeven cirkelvergelijking `x^2+y^2-2x+4y=0` om de coördinaten van `P` en `Q` uit te rekenen.
Schrijf `m` als: `x=2y+2,5` en substitueer dit in `c` :
`(2y+2,5)^2+y^2-2(2y+2,5)+4y=0` en los dit op.
Dit levert op `y=text(-)1,87` en `y=text(-)0,13` . Zodat
`P( text(-)1,23 ;text(-)1,87 )` en `Q( 2,23 ;text(-)0,13 )` .
Voor de lengte van het lijnstuk `PQ` geldt dan met de stelling van Pythagoras `PQ~~3,87` .
`P` ligt op de middelloodlijn van `OM` en dus geldt `|OP|=|PM|` .
`Q` ligt op de middelloodlijn van `OM` en dus geldt `|OQ|=|MQ|` .
Ook is `OM` een middelloodlijn van `PQ` en dus geldt `|OP|=|PM|=|OQ|=|MQ|` .
Alle vier de zijden zijn dan even lang en dus is `MQOP` een ruit.
Je kunt ook de lengte van elke zijde uitrekenen: `2,24` .
Snijpunten `x` -as: `y=0` geeft `4x^2=36` en dus `x^2=9` en `x=+-3` . Dus `(text(-)3, 0)` en `(3, 0)` .
Snijpunten `y` -as: `x=0` geeft `9y^2=36` en dus `y^2=4` en dit geeft `y=+-2` . Dus `(0, text(-)2)` en `(0, 2)` .
Uit de tekst haal je dat `B(3, 0)` . De grootste cirkel die nog precies in de ellips past heeft als middelpunt `M(0, 0)` en straal `2` . Dus de coördinaten van `A` zijn `(2, 0)` .
Het middelpunt van `c_2` is dan `(2,5; 0)` .
De vergelijking wordt dan `(x-2,5)^2+y^2=r^2` door `B(3, 0)` levert `r^2=sqrt(2)` .
De vergelijking van `c_2` wordt dan `( x-2,5 ) ^2 +y^2 =0,25` .
Ga na, of `c_2` en `k` andere snijpunten hebben dan alleen punt `B` .
`c_2:` `( x-2,5 ) ^2 +y^2 =0,25` en `k:` `4 x^2 +9 y^2 =36` .
`c_2:` `y^2 = 0,25 - ( x-2,5 ) ^2` invullen in `k` :
`4x^2 + 9(0,25 - (x-2,5)^2) = 36` geeft alleen `x=4` , dus alleen `B` ligt op beide krommen.
`( x-5 ) ^2 + ( y-4 ) ^2 =25`
`( x-4 ) ^2 +y^2 =40`
`M( text(-)2 ; 2,5 )` berekenen door kwadraat afsplitsen, `M` ligt op `l` laten zien.