Hoeken en afstanden > Middelpunten
123456Middelpunten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Neem drie punten op de rand van het ronde bord. Teken twee middelloodlijnen van twee van die punten en bepaal het snijpunt daarvan. De cirkel met dat snijpunt als middelpunt en door één van de drie punten gaat door alle drie deze punten en vormt de rand van het bord.

Opgave 1
a

Op de middelloodlijnen van `AB` , `BC` en `AC` .

b

Construeer `M` , gebruik dit punt en één van de drie andere punten om de cirkel te tekenen.

c

Je hebt gezien dat `M` op de middeloodlijn van lijnstuk `AB` ligt. Dan volgt dat de afstand van `M` naar `A` even groot is als de afstand van `M` naar `B` . Ofwel `|MA|=|MB|` .

Zo volgt eveneens uit het feit dat `M` op de middelloodlijn van `BC` ligt dat `|MB|=|MC|` . 

Uit bovenstaande volgt dus dat  `|MA|=|MB|=|MC|` en dus ook `|MA|=|MC|` . En dus ligt `M` ook op de middelloodlijn van lijnstuk `AC` . Alle drie de middelloodlijnen gaan dan door hetzelfde punt `M` .

Opgave 2
a

Op de middelloodlijnen van `AB` , `BC` , en `AC` .

b

Construeer `M` , gebruik dit punt en één van de drie andere punten om de cirkel te tekenen.

c

Je hebt gezien dat `M` op de middeloodlijn van lijnstuk `AB` ligt. Dan volgt dat de afstand van `M` naar `A` even groot is als de afstand van `M` naar `B` . Ofwel `|MA|=|MB|` .

Zo volgt eveneens uit het feit dat `M` op de middelloodlijn van `BC` ligt dat `|MB|=|MC|` .

Uit bovenstaande volgt dus dat `|MA|=|MB|=|MC|` en dus ook `|MA|=|MC|` . En dus ligt `M` ook op de middelloodlijn van lijnstuk `AC` . Alle drie de middelloodlijnen gaan dan door hetzelfde punt `M` .

Opgave 3

Op het snijpunt `S` van twee middelloodlijnen van zijden; de straal moet minstens de afstand van `S` tot een hoekpunt zijn

Opgave 4

`x^2 +y^2 +6 x=0` is een cirkel met middelpunt `M(text(-)3,0)` en `r=3` .

Opgave 5
a

`M( text(-)4, text(-)2 )` en `r=20`

b

`M( 4, text(-)2 )` en `r=3sqrt(5)`

c

`M( text(-)4, 2 )` en `r=20`

Opgave 6

`x^2 +y^2 -8 x+4 y=text(-)25`

`( x-4) ^2 + (y+2) ^2 =text(-)5`

Een cirkel met straal `text(-)5` bestaat niet

Opgave 7

Middellloodlijn AB: `y=text(-)2/3 x+5 1/6` .

Middelloodlijn BC:  `y=3/2x - 0,25` .

Snijpunt middelloodlijnen in middelpunt `M` van de cirkel: `(2,5;35)`

Vergelijking cirkel wordt dan:  `(x-2,5)^2+(y-3,5)^2=6,5` . 

Opgave 8
a

`OA:x=2` ; `AB:y=0,2 x+1,8` ; `OB:y=text(-)0,6 x+3,4`

b

Snijden middelloodlijnen `OA` met `AB` geeft als snijpunt het coordinaat `(2;2,2)` .

Snijden middelloodlijnen `OA` met `OB` geeft als snijpunt het coordinaat `(2;2,2)` .

Snijden middelloodlijnen `OB` met `AB` geeft als snijpunt het coordinaat `(2;2,2)` .

Alle drie de middelloodlijnen snijden elkaar dus in hetzelfde punt.

 

c

`( x-2 ) ^2 + ( y-2 ) ^2 =8,84`

d

Vul de coördinaten van `O` , `A` en `B` in de cirkelvergelijking in:

`O(0,0): (0-2)^2+(0-2,2)^2=8,84`

`A(4,0): (4-2)^2+(0-2,2)^2=8,84`

`B(3,5): (3-2)^2+(5-2,2)^2=8,84`

Je vindt drie keer een ware bewering en dus liggen alle drie de punten op de cirkel.

Opgave 9
a

Cirkel met `M( text(-)3,2 )` en `r=sqrt(8)` .

b

`(x-3)^2+(y-2)^2=text(-)37` . Geen cirkel dus.

c

Cirkel met `M( text(-)2, text(-)1 )` en `r=sqrt(8).`

d

Cirkel met `M( 3, text(-)1 )` en `r=sqrt(40).`

e

Cirkel met `M( text(-)2, text(-)1 )` en `r=sqrt(10).`

f

`(x-2)^2+(y-1)^2=0`

 Geen cirkel, want `r` moet altijd groter zijn dan `0` .

Opgave 10
a

`(x-1 ) ^2 + (y+0,5 ) ^2 =21,25`

b

`(x-2 )^2 + (y+1 )^2 =85`

Opgave 11
a

`c:( x-22.5) ^2 + (y-10) ^2 =31,25`

b

`c:( x+5) ^2 + (y-10) ^2 =125`

Opgave 12
a

cirkel met `M( 1,5 ;0 )` en `r=1,5`

Snijpunten `(0,0)` en `(3,0)` .

b

geen cirkel (hyperbool)

Snijpunten `(0,0)` en `(3,0)` .

c

geen cirkel (parabool)

Snijpunten `(0,0)` en `(3,0)` .

d

geen cirkel (twee lijnen)

Snijpunten `(text(-)4,0)` en `(4,0)` .

e

cirkel met `M( 2 ;3 )` en `r=sqrt( 13 )`

Snijpunten `(0,0)` en `(4,0)` .

f

cirkel met `M( 6 ;0 )` en `r=6`

Snijpunten `(0,0)` en `(12,0)` .

Opgave 13

De cirkelvergelijking van de cirkel door `A(text(-)6,0)` , `B(6,0)` en `C(0,8)` wordt `x^2+(y-1,75)^2=39,0625` . Dus `r^2=39,0625` en `r=6,25` .

Opgave 14

De cirkel door `A` , `B` en `C` heeft de vergelijking `( x-12,5) ^2 +y^2 =156,25` . Punt `D` voldoet niet aan die vergelijking. Dus de vier punten liggen niet op een cirkel..

Opgave 15

`c_1` heeft `M_1 ( 0,2 )` en `r_1 =2` . `c_2` heeft `M_2 ( 2,1 )` en `r_2 =5` . Dus `c_1` ligt binnen `c_2` .

Opgave 16

Er zijn twee mogelijke oplossingen:

 

`c_1:(x-7,46)^2+(y-5,6)^2=25`

`c_2:(x-0,54)^2+(y-0,4)^2=25` .

Opgave 17
a

`x-2 y=2,5`

b

`P( text(-)1,23 ;text(-)1,87 )` en `Q( 2,23 ;text(-)0,13 )` .

`PQ~~3,87`

c

`P` ligt op de middelloodlijn van `OM` en dus geldt `|OP|=|PM|` .

`Q` ligt op de middelloodlijn van `OM` en dus gelft `|OQ|=|MQ|`

Ook is `OM` een middelloodlijn van `PQ` en dus geldt  `|OP|=|PM|=|OQ|=|MQ|`

Alle vier de zijden zijn dan even lang en dus is `MQOP` een ruit.

Je kunt ook de lengte van elk lijnstuk uitrekenen: `2,24` .

Opgave 18
a

`( ±3,0 )` en `( 0, ±2 )`

b

`( x-2,5 ) ^2 +y^2 =0.25`

c

Vul de coördinaten van `B` in de vergelijling van `k` en `c_2` in. Beide leveren een ware bewering op. `B` ligt dus op beide krommen en dus ligt `c_2` binnen `k` , want het middelpunt van `c_2` ligt ook binnen `k` .

Opgave 19
a

`( x-5 ) ^2 + ( y-4 ) ^2 =25`

b

`( x-4 ) ^2 +y^2 =40`

Opgave 20

`M( text(-)2 ;2,5 )` ligt op `l` .

verder | terug