Hoeken en afstanden > Middelpunten
123456Middelpunten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Neem drie punten op de rand van het ronde bord. Teken twee middelloodlijnen van twee van die punten en bepaal het snijpunt daarvan. De cirkel met dat snijpunt als middelpunt en door één van de drie punten gaat door alle drie deze punten en vormt de rand van het bord.

Opgave 1
a

Op de middelloodlijnen van , en .

b

Teken de middelloodlijnen bij twee punten. Kies hiervoor bijvoorbeeld lijnstuk en lijnstuk . De middelloodlijnen van en snijden elkaar in het middelpunt van de cirkel. Gebruik de passer om de cirkel te tekenen. De passerpunt zet je op middelpunt en de andere zet je op punt , of .

c

Je hebt gezien dat op de middeloodlijn van lijnstuk ligt. Dan volgt dat de afstand van naar even groot is als de afstand van naar . Ofwel .

Zo volgt eveneens uit het feit dat op de middelloodlijn van ligt dat .

Uit bovenstaande volgt dus dat  en dus ook . En dus ligt ook op de middelloodlijn van lijnstuk . Alle drie de middelloodlijnen gaan dan door hetzelfde punt .

Opgave 2

Op het snijpunt van twee middelloodlijnen van zijden; de straal moet minstens de afstand van tot een hoekpunt zijn.

Opgave 3

Misschien kun je al kwadraat afsplitsen: geeft en dus . Anders kun je met GeoGebra werken: voer de gegeven vergelijking in en bekijk het resultaat.

Cirkel met en .

Opgave 4
a

, dus .

b

, dus .

c

, dus .

d

, dus .

e

, dus .

f

, dus .

Opgave 5
a

Kwadraat afsplitsen: geeft en .

Dit is de vergelijking van een cirkel met en .

b

Kwadraat afsplitsen: geeft

en .

Dit is de vergelijking van een cirkel met en .

c

Kwadraat afsplitsen: geeft en , zodat .

Dit is de vergelijking van een cirkel met en .

Opgave 6

geeft .

Een cirkel met straal bestaat niet.

Opgave 7

Middelloodlijn :

en . De richtingscoëfficiënt van is dan . Dus de richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan . Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk en dus door het punt . Vul dit in en je vindt En dan volgt . De vergelijking van de middelloodlijn is dan .

Middelloodlijn :

en . De richtingscoëfficiënt van is dan . Dus de richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan . Deze lijn gaat door het midden van lijnstuk en dus door het punt . Vul dit in en je vindt En dan volgt . De vergelijking van de middelloodlijn is dan .

Het opstellen van de cirkelvergelijking:

Als eerste wil je het middelpunt van de cirkel. Die vind je door de beide middelloodlijnen met elkaar te snijden: levert op en zodat je de waarden van en al in kunt vullen in de cirkelvergelijking: .

Vul nu een willekeurig punt in om de waarde van te berekenen. Kies hiervoor bijvoorbeeld . Je vindt dan . De uiteindelijke vergelijking van de cirkel wordt dan .

Opgave 8
a

Middelloodlijn :

Midden van lijnstuk is en heeft als richtingscoëfficiënt. Dus de middelloodlijn loopt verticaal. De vergelijking van de middelloodlijn is dan .

Middelloodlijn :

Midden van lijnstuk is en lijn heeft als richtingscoëfficiënt . De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan . De middelloodlijn wordt dan .

Middelloodlijn :

Midden van lijnstuk is en lijn heeft als richtingscoëfficiënt . De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dan . De middelloodlijn wordt dan .

b

Snijden middelloodlijnen met geeft als snijpunt .

Middelloodlijn gaat ook door (vul de coördinaten maar in).

Alle drie de middelloodlijnen snijden elkaar dus in hetzelfde punt.

c

Het snijpunt van de middelloodlijnen is . Dus de cirkelvergelijking is . Nu bereken je door een punt in te vullen, kies hier bijvoorbeeld het punt dan maak je het jezelf gemakkelijk: . Dus .

Je vindt dus.

d

Vul de coördinaten van , en in de cirkelvergelijking in:

Je vindt drie keer een ware bewering en dus liggen alle drie de punten op de cirkel.

Opgave 9
a

geeft en .

 Cirkel met en .

b

geeft en .

Geen cirkel.

c

geeft en .

Cirkel met en .

d

geeft en .

Cirkel met en .

e

geeft en .

Cirkel met en .

f

geeft en .

Geen cirkel, want moet altijd groter zijn dan .

Opgave 10
a

Vergelijking van de middelloodlijn van is .

Vergelijking van de middelloodlijn van is .

geeft .

Cirkel: .

Het punt invullen geeft .

Dus .

b

Vergelijking van de middelloodlijn van is .

Vergelijking van de middelloodlijn van is .

geeft .

Cirkel: .

Het punt invullen geeft .

Dus .

Opgave 11
a

Vergelijking van de middelloodlijn van is .

Vergelijking van de middelloodlijn van is .

geeft , dus en .

Cirkel: .

Het punt invullen geeft .

Dus .

b

Punt invullen geeft .

Dus .

Opgave 12
a
b

geeft .

Dit is geen cirkel.

Snijpunt -as: invullen geeft en en dus zijn de snijpunten en .

c

Geen cirkel; er komt geen in voor.

Snijpunt : invullen geeft en en dus zijn de snijpunten en .

d

geeft .

Dus en .

Dit zijn dus twee lijnen!

Snijpunt as: invullen geeft en , dus en .

e

geeft .

Dit is een cirkel met en .

Snijpunt -as: invullen geeft en en dus zijn de snijpunten en .

f

geeft .

Dit is een cirkel met en .

snijpunt : invullen geeft en en dus zijn de snijpunten en .

Opgave 13

Kies als punten , en . Je krijgt dan de bedoelde gelijkbenige driehoek. Stel nu vergelijkingen op van twee middelloodlijnen.

Middelloodlijn van is gemakkelijk door het "handig" gekozen assenstelsel: .

Middelloodlijn van gaat door het midden en heeft als richtingscoëfficiënt . De vergelijking van deze lijn wordt .

Snijd nu beide middelloodlijnen: invullen in geeft .

De cirkelvergelijking wordt dan en voer daar bijvoorbeeld punt in. Dit geeft . En dus is de straal gelijk aan .

Opgave 14

De cirkel door , en heeft de vergelijking . Punt voldoet niet aan die vergelijking. Dus de vier punten liggen niet op een cirkel.

Opgave 15

heeft en .
heeft en .
Dus ligt binnen .

Opgave 16

Stel vergelijking op van een cirkel met met als middelpunt:

.

Stel vergelijking op van een cirkel met met als middelpunt:

.

Snijd nu en met elkaar voor mogelijke middelpunten van :

Dit geeft het punt en .

Er zijn dus twee mogelijke oplossingen:

.

Opgave 17
a

Splits het kwadraat af van de gegeven cirkelvergelijking om de coördinaten van te vinden:

geeft .

Dus .

De middelloodlijn moet dus gaan door en .

Lijnstuk heeft als richtingscoëfficiënt en dus heeft de middelloodlijn een richtingscoëfficiënt van .

Het midden van is het punt . En de vergelijking van de middelloodlijn wordt dan , ofwel .

b

Snijd de gevonden vergelijking van de middelloodlijn met de gegeven cirkelvergelijking om de coördinaten van en uit te rekenen.

Schrijf als: en substitueer dit in :

en los dit op.

Dit levert op en . Zodat

en .

Voor de lengte van het lijnstuk geldt dan met de stelling van Pythagoras .

c

ligt op de middelloodlijn van en dus geldt .

ligt op de middelloodlijn van en dus geldt .

Ook is een middelloodlijn van en dus geldt .

Alle vier de zijden zijn dan even lang en dus is een ruit.

Je kunt ook de lengte van elke zijde uitrekenen: .

Opgave 18Ellips
Ellips
a

Snijpunten -as: geeft en dus en . Dus en .

Snijpunten -as: geeft en dus en dit geeft . Dus en .

b

Uit de tekst haal je dat . De grootste cirkel die nog precies in de ellips past heeft als middelpunt en straal . Dus de coördinaten van zijn .

Het middelpunt van is dan .

De vergelijking wordt dan door levert .

De vergelijking van wordt dan .

c

Ga na, of en andere snijpunten hebben dan alleen punt .

en .

invullen in :

geeft alleen , dus alleen ligt op beide krommen.

Opgave 19
a

b

Opgave 20

berekenen door kwadraat afsplitsen, ligt op laten zien.

verder | terug