Hoeken en afstanden > Middelpunten
123456Middelpunten

Uitleg

Wil je een cirkel tekenen met je passer, dan moet je weten wel punt het middelpunt is en hoe groot de straal is. Hoe vind je die als je alleen een paar punten `A,B,C` van hebt dit op de cirkel liggen?

Noem het middelpunt van de cirkel die je wil tekenen even `M` . Bedenk dan dat `M` even ver van alle punten op de cirkelboog ligt. Noem nu twee punten `A` en `B` die op de cirkelboog liggen, dan ligt `M` ergens op de middelloodlijn van `AB` . Want alle punten op deze middelloodlijn liggen even ver van `A` als van `B` . Het middelpunt van de cirkel ligt dus op de middelloodlijn van `AB` .

Ga na, dat dit ook opgaat als je `A` en `B` verplaatst. Gebruik hiervoor de applet.

Neem je drie punten `A,B,C`  dan zijn er drie middelloodlijnen te maken die allemaal door het middelpunt van de cirkel gaan. Het middelpunt van de cirkel die je wil tekenen is dan het snijpunt van twee middelloodlijnen.

In de applet zie je de middelloodlijn van van `AB` en van `BC` getekend. `M` is het snijpunt van beide middelloodlijnen. `M` ligt ook op de middelloodlijn van `AC` .

In GeoGebra kun je dit gemakkelijk zelf construeren. Het programma geeft dan de vergelijking van de bijbehorende cirkel. Maar soms heeft die een vorm als `x^2 +y^2 +6 x=0` . Hoe weet je dan het middelpunt van de cirkel? GeoGebra kan dit snel omzetten, maar hoe doe je dit handmatig?

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg hoe je een cirkel construeert door drie gegeven punten.

a

Verplaats de punten `A` , `B` , en `C` . Op welke lijnen ligt het middelpunt van de cirkel steeds?

b

Construeer nu een cirkel door deze die punten.

c

Verklaar waarom de drie middelloodlijnen door één punt, `M` gaan en dat dit punt tevens het middelpunt van de cirkel is.

Opgave 2

Teken drie willekeurige punten, maar niet op één lijn. Noem ze `A, B` en `C` . Deze punten liggen op een cirkel met middelpunt `M` .

a

Op welke lijnen ligt het middelpunt `M` van de cirkel steeds?

b

Teken nu de cirkel door die drie punten.

c

Verklaar waarom de drie middelloodlijnen door één punt, `M` gaan en dat dit punt tevens het middelpunt van de cirkel is.

Opgave 3

Hier zie je een driehoekig grasveld. In tijden van droogte sproei je water over het gras. Je hebt een vaste sproeier die een cirkelvormig gebied kan besproeien. Waar plaats je de sproeier en hoe groot moet de straal van het gebied dat hij kan bestrijken minstens zijn?

Opgave 4

Er zijn computerprogramma’s die bij (een deel) van een geconstrueerde kromme lijn een vergelijking kunnen geven. Stel je vindt `x^2 +y^2 +6 x=0` . Is dit dan een vergelijking van een cirkel? Licht je antwoord toe.

verder | terug