Hoeken en afstanden > Middelpunten
123456Middelpunten

Uitleg

Als je een vergelijking zoals `x^2 +y^2 +6 x=0` bij een kromme lijn ziet staan, hoe weet je dan zeker of de kromme een cirkel is? De grafiek mag dan wel op een cirkel lijken, maar is dat ook echt zo?

Vergelijkingen van cirkels hebben de altijd vorm `( x-a ) ^2 + ( y-b ) ^2 =r^2` waarin het middelpunt `M( a,b )` en de straal `r` is.  Om uit te zoeken of `x^2 +y^2 +6 x=0` een cirkel voorstelt moet je uitzoek of je deze vergelijking in de vorm `( x-a ) ^2 + ( y-b ) ^2 =r^2` kunt schrijven.

De term `y^2` is gemakkelijk om te schrijven:   `( y-0 ) ^2` . Dus `b=0` .

Maar het omschrijven van `x^2 +6 x` gaat met kwadraat afsplitsen. Je ziet nog eens in de figuur dat `x^2 +6 x= ( x+3 ) ^2 -9` . Merk op dat je de term `6 x` moet lezen als `2 *3 x` .

Dus: `x^2 +y^2 +6 x=0` kun je nu als volgt omschrijven:

`( x+3 ) ^2 -9 + ( y-0 ) ^2 =9` en dus als

`( x+3 ) ^2 + ( y-0 ) ^2 =9` .

Vergelijk dit met de algemene vorm van een cirkel namelijk `( x-a ) ^2 + ( y-b ) ^2 =r^2` Dan zie je dat geldt `a=text(-)3;b=0` en dat `r^2=9` dus `r=3` .  De gegeven vergelijking is dus van een cirkel met middelpunt `M(text(-)3, 0)` en straal `3` . De vergelijking van de cirkel is `(x-3)^2+y^2=9` .

Opgave 5

Ga na of de volgende vergelijkingen bij cirkels horen. Bepaal, als het cirkels zijn, het middelpunt en de straal van die cirkel.

a

`x^2 +y^2 +8 x+4 y=0`

b

`x^2 +y^2 -8 x+4 y=25`

c

`2 x^2 +y^2 +8 x=x^2 +4 y`

Opgave 6

Niet elke vergelijking van de vorm `x^2 +y^2 +ax+by+c=0` is de vergelijking van een cirkel. Neem bijvoorbeeld `x^2 +y^2 -8 x+4 y=text(-)25` . Laat met behulp van kwadraat afsplitsen zien, dat hier van een cirkel geen sprake is.

verder | terug