Hoeken en afstanden > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

en .

Snijden: geeft .

Snijpunten zijn en .

b

Probeer zelf een manier te bedenken om dit te berekenen.

Voor . (Bekijk de Uitleg om na te gaan hoe je dit kunt vaststellen.)

Opgave 1
a

Substitueer in . Je vindt dan  en dit is te herleiden tot .

Met de abc-formule vind je .

De snijpunten zijn  en .

b

Substitueer in .
Je vindt dan . Dit herleid je tot .

Hierbij is .

Omdat raken de lijn en de cirkel elkaar.

c

Vervolg de berekening op het punt waar je bij b bent geëindigd.

geeft .

Je vindt dan het raakpunt: .

d

De vergelijking van zo'n lijn is . Substitueer deze in en gebruik dat .

Je kunt ook de bij b gevonden lijn spiegelen. Je vindt dan .

Dus: .

Opgave 2
a

Substitueer in . Je vindt dan . Dus en .

De snijpunten zijn dan  en .

b

Substitueer in . Je vindt dan . Herleid dit tot en dus . Met de abc-formule vindt je dan en .

De snijpunten zijn dan  en .

c

Substitueer in . Je vindt dan . Herleid dit tot en dus . Met de abc-formule vindt je dan dus er is een raakpunt. De -coördinaat hiervan is . En het raakpunt is dan .

d

Substitueer in . Je vindt dan . Herleid dit tot en dus . Met de abc-formule vindt je dan dus er is een raakpunt. De -coördinaat hiervan is . En het raakpunt is dan .

Opgave 3

De cirkel heeft vergelijking: .
Vul de vergelijking van lijn in de cirkelvergelijking in, en je vindt: . Haakjes wegwerken levert op: . En dus: .

Omdat en elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing. De discriminant ervan is daarom . Dus: . Uitwerken geeft: en dus . Dit levert op: . De twee raaklijnen zijn en .

Opgave 4

Zo'n lijn moet dan van vorm zijn. Substitueer dit in de gegeven cirkelvergelijking en bereken de waarden van .

geeft .

Gebruik nu , dus .

Uitwerken geeft dan of zodat .

De raaklijnen zijn en .

Opgave 5

Omdat het middelpunt van de cirkel als oorsprong heeft, heeft de vergelijking van de cirkel de vorm . Gebruik nu weer dat de lijn aan de cirkel moet raken en dus . De lijn kun je schrijven als en dus krijg je: .

Het doel is nu om uit te rekenen onder de voorwaarde .

Herleid de vergelijking tot .

levert op: en , dus .

En dus wordt de cirkelvergelijking .

Opgave 6

Substitueer in :

geeft .

gebruiken levert dan op: , zodat en .

Opgave 7

Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt die door het punt gaat: door geeft .
De lijn substitueer je dan weer in de gegeven cirkelvergelijking. Dit geeft:
.
Uitwerken geeft en .
Bij raken moet voor de discriminant gelden: .
Dus: .
Hieruit volgt: .
De gevraagde vergelijkingen zijn: en .

Opgave 8

Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt die door het punt gaat: door geeft .
De lijn substitueer je dan weer in de gegeven cirkelvergelijking. Dit geeft:
.
Uitwerken geeft en .
Bij raken moet voor de discriminant gelden: .
Dus: en .
De gevraagde vergelijking is : . In dit geval is er dus maar één oplossing.

Opgave 9

Geen enkele. ligt binnen de cirkel

Opgave 10
a

Ga uit van de lijn en substitueer dit in de cirkelvergelijking.

Je vindt dan en dus volgt en dus ook .

Dan geldt . De lijn snijdt de cirkel dus.

b

Neem als lijn en substitueer dit in de cirkelvergelijking: geeft .

en dus , zodat en .

c

Als tussen en in ligt.

Opgave 11
a

Neem als lijn en substitueer dit in de cirkelvergelijking: en .

geeft en , zodat .

De gevraagde lijnen zijn en .

b

Substitueer in .

Je vindt: en .

levert dan op: en , dus .

De raaklijnen zijn en .

c

Substitueer in .

Je krijgt en .

levert dan op: en zodat .

De raaklijnen zijn dan en .

Opgave 12

Omdat het middelpunt van de cirkel bekend is, heeft de cirkelvergelijking de vorm .

Schrijf om naar en substitueer dit in de cirkelvergelijking:

levert op

geeft en .

En dus is gevraagde cirkelvergelijking .

Opgave 13

Het middelpunt is en dus is de gevraagde cirkelvergelijking .

Substitueer : geeft .

levert op en .

En dus is gevraagde cirkel .

Het raakpunt bereken je zo: snijd de lijn met .

Je vindt dan en hieruit volgt .

Het raakpunt wordt .

Opgave 14
Opgave 15Afstand tussen twee raakpunten
Afstand tussen twee raakpunten

De vergelijking van de cirkel is .

Raaklijnen vanuit hebben de vorm . Substitueer dit in de cirkelvergelijking en je vindt

en .

dus en en .

En dus zijn de raaklijnen en .

Snijden met de gegeven cirkel geeft de snijpunten en .

Dus beide punten liggen op de lijn en de afstand .

Opgave 16Snijpunt van raaklijnen
Snijpunt van raaklijnen
a

Ga uit van . De cirkelvergelijking wordt .

oplossen geeft en .

Hieruit volgt en .

Straal en raaklijn staan bij een cirkel loodrecht op elkaar en de richtingscoëfficiënt van de lijn is , zodat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan . Analoog is de richtingscoëfficiënt van de andere raaklijn gelijk aan .

De raaklijn in is dan door en dit geeft . De raaklijn door is .

Analoog volgt de raaklijn door : .

Deze twee lijnen snijden levert op .

b

Ga uit van . De cirkelvergelijking wordt .

oplossen geeft en .

Hieruit volgt en .

Straal en raaklijn staan bij een cirkel loodrecht op elkaar; en de richtingscoëfficiënt van naar is zodat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan . En zo is de richtingscoëfficiënt van de andere raaklijn gelijk aan .

De raaklijn in is dan door en dit geeft . De raaklijn door is dus .

Op vergelijkbare wijze volgt de raaklijn door : .

Deze twee lijnen snijden levert op .

Opgave 17
a

en

b

en .

Opgave 18

Afgerond en .

verder | terug