Hoeken en afstanden > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a
b
Opgave 1
a

`(text(-)2,83 ;4,12 )` en `(4,75 ;text(-)1,56 )`

b

Bereken de discriminant bij de vergelijking. Je vindt dan `D=0` . Dit wijst er op dat de vergelijking van lijn `m` de cirkel raakt.

c

`(3,4 )`

d

`y=text(-)3/4 x-6 1/4`

Opgave 2
a

snijpunten  `(text(-)1, text(-)2 )` en `(1, 2 )`

b

Snijpunten  `(text(-)0,13 ;2,23 )` en `(text(-)1,87 ;text(-)1,23 )`

c

raakpunt `(1, 2 )`

d

raakpunt `(text(-)1, text(-)2 )`

Opgave 3
a

De lijn raakt de cirkel niet, want `D≠0` .

b

`b=+-5sqrt(5)` .

Opgave 4

`y=1/3 x+2 2/3` en `y=1/3 x-4`

Opgave 5

`y=0,5 x-2` en `y=0,5 x+8`

Opgave 6

`a=±sqrt(1,5)`

Opgave 7

`x^2 +y^2 =7,2`

Opgave 8

`y=0,5 x+2` en `y=text(-)0,5 x+2`

Opgave 9

alleen `y=3/4x+4`

Opgave 10

Geen enkele. `(0,2 )` ligt binnen de cirkel

Opgave 11
a

De lijn `y=x+1` snijdt de cirkel `x^2+y^2=16` .

b

`b=+-4sqrt(2)` .

c

Als `b` tussen `text(-)4sqrt(2)` en `4sqrt(2)` in ligt.

Opgave 12
a

`y=x+5sqrt(2)` en `y=x-5sqrt(2)`

b

`l: y=sqrt(3)x+10` of `l: y=text(-)sqrt(3)x+10` .

c

`l:y=sqrt(3)x-10` of `l:y=text(-)sqrt(3)x-10` .

Opgave 13

`(x-1 ) ^2 + (y-2 ) ^2 =16,2`

Opgave 14

`x^2 +y^2 =18` raakpunt `(3, 3 )`

Opgave 15

`| AB | ~~9,80`

Opgave 16
a

`y≈1,51 x-9,04` en `y≈text(-)1,51 x+9,04`

b

`y=text(-)4/3 x-6 1/3` .

Opgave 17

`y=1 1/3 x-6 1/3` en `y=1 1/3 x+6 1/3` . Er zijn twee mogelijkheden.

Opgave 18
a

Ga uit van `x=1/2` . De cirkelvergelijking wordt `x^2+y^2=1` en gebruik substitutie:

`(1/2)^2+y^2=1` en dit oplossen geeft `y^2=3/4` en `y=+-sqrt(3/4)=+-1/2sqrt(3)` .

Hieruit volgt `R_1(1/2;1/2sqrt(3))` en `R_2(1/2;text(-)1/2sqrt(3))` .

Straal en raaklijn staan bij een cirkel loodrecht op elkaar; en de richtingscoefficient van `O` naar `R_1` is `sqrt(3)` zodat de richtingscoefficient van de raaklijn gelijk is aan `text(-)1/sqrt(3)=text(-)1/3sqrt(3)` . Analoog is de richtingscoefficient van de andere raaklijn gelijk aan `1/sqrt(3)=1/3sqrt(3)` .

De raaklijn in `R_1` is dan `y=-1/3sqrt(3)x+b` door `(1/2;1/2sqrt(3))` geeft `1/2sqrt(3)=text(-)1/6sqrt(3)+b` en dus `b=2/3sqrt(3)` . De raaklijn door `R_1` is dus  `y=text(-)1/3sqrt(3)x+2/3sqrt(3)` .

Analoog volgt de raaklijn door `R_2` :  `y=1/3sqrt(3)x-2/3sqrt(3)` .

Deze twee lijnen snijden levert de coördinaten op van `C(2,0)` .

b

Ga uit van `x=a` . De cirkelvergelijking wordt `x^2+y^2=1` en gebruik substitutie:

 

`a^2+y^2=1` en dit oplossen geeft `y^2=1-a^2` en `y=+-sqrt(1-a^2)` .

Hieruit volgt `R_1(a;sqrt(1-a^2))` en `R_2(a;text(-)sqrt(1-a^2))` .

Straal en raaklijn staan bij een cirkel loodrecht op elkaar; en de richtingscoefficient van `O` naar `R_1` is `sqrt(1-a^2)/a` zodat de richtingscoefficient van de raaklijn gelijk is aan `text(-)a/sqrt(1-a^2)` . Voor hetzelfde geld is de richtingscoefficient van de andere raaklijn gelijk aan `a/sqrt(1-a^2)` .

De raaklijn in `R_1` is dan `y=text(-)a/sqrt(1-a^2)x+b` door `(a; sqrt(1-a^2))` geeft   `b=1/sqrt(1-a^2)` . De raaklijn door `R_1` is dus  `y=-a/sqrt(1-a^2)x+1/sqrt(1-a^2)`

Op vergelijkbare wijze volgt de raaklijn door `R_2` :  `y=a/sqrt(1-a^2)x-1/sqrt(1-a^2)`

Deze twee lijnen snijden levert de coördinaten op van `C(1/a,0)` .

Opgave 19
a

`y=4 x+12` en `y=4 x-22`

b

`x-4 y=7` en `4 x+y=text(-)6`

Opgave 20

Afgerond `(x+5,35) ^2 +y^2 =10` en `(x-18,69)^2+y^2=10` .

verder | terug