Hoeken en afstanden > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`l: y = text(-)0,75x` en `c: x^2 + y^2 = 25` .

Snijden: `x^2 + (text(-)0,75x)^2 = 25` geeft `x=+-4` .

Snijpunten zijn `(4, text(-)3)` en `(text(-)4, 3)` .

b

Probeer zelf een manier te bedenken om dit te berekenen.

Voor `b=+-6,25` . (Bekijk de Uitleg om na te gaan hoe je dit kunt vaststellen.)

Opgave 1
a

Substitueer `y=text(-)0,75x+2` in `c:x^2+y^2=25` . Je vindt dan  `x^2 + (text(-)0,75 x+2 ) ^2 =25` en dit is te herleiden tot  `1 9/16 x^2 -3 x-21 =0` .

Met de abc-formule vind je `x =(text(-)text(-)3+sqrt(140,25))/(2*25/16)~~4,75 vv x=(text(-)text(-)3-sqrt(140,25))/(2*25/16)~~text(-)2,83` .

De snijpunten zijn  `(4,75 ; text(-)1,56 )` en `(text(-)2,83 ; 4,12 )` .

b

Substitueer `y=text(-)0,75x+6 1/4` in `x^2+y^2=25` .
Je vindt dan `x^2+(text(-)0,75x+6 1/4)^2=25` . Dit herleid je tot  `1 9/16 x^2 – 9 3/8 x + 14 1/16 = 0` .

Hierbij is `D=(text(-)9 3/8)^2-4*25/16*225/16=0` .

Omdat `D=0` raken de lijn en de cirkel elkaar.

c

Vervolg de berekening op het punt waar je bij b bent geëindigd.

`x=(text(-)b +- sqrt(D))/(2a)` geeft `x=((9 3/8) +- 0)/(2*25/16)=3` .

Je vindt dan het raakpunt: `(3, 4)` .

d

De vergelijking van zo'n lijn is `y=text(-)0,75x+b` . Substitueer deze in `c: x^2+y^2=25` en gebruik dat `D=0` .

Je kunt ook de bij b gevonden lijn spiegelen. Je vindt dan `b=text(-)6,25` .

Dus: `y=text(-)0,75x-6 1/4` .

Opgave 2
a

Substitueer `y=2x` in `x^2+y^2=5` . Je vindt dan `x^2+4x^2=5` . Dus `5x^2=5` en `x=+-1` .

De snijpunten zijn dan  `(text(-)1, text(-)2 )` en `(1, 2 )` .

b

Substitueer `y=2x+2,5` in `x^2+y^2=5` . Je vindt dan `x^2+(2x+2,5)^2=5` . Herleid dit tot `x^2+4x^2+10x+6,25=5` en dus `5x^2+10x+1,25=0` . Met de abc-formule vindt je dan `x=text(-)0,13` en `x=text(-)1,87` .

De snijpunten zijn dan  `(text(-)0,13 ; 2,23 )` en `(text(-)1,87 ; text(-)1,23 )` .

c

Substitueer `y=text(-)0,5x+2.5` in `x^2+y^2=5` . Je vindt dan `x^2+(text(-)0,5x+2,5)^2=5` . Herleid dit tot `x^2+0,25x^2-2,5x+6,25=5` en dus `1,25x^2-2,5x+1,25=0` . Met de abc-formule vindt je dan `D=0` dus er is een raakpunt. De `x` -coördinaat hiervan is `1` . En het raakpunt is dan `(1,2)` .

d

Substitueer `y=text(-)0,5x-2,5` in `x^2+y^2=5` . Je vindt dan `x^2+(text(-)0,5x-2,5)^2=5` . Herleid dit tot `x^2+0,25x^2+2,5x+6,25=5` en dus `1,25x^2+2,5x+1,25=0` . Met de abc-formule vindt je dan `D=0` dus er is een raakpunt. De `x` -coördinaat hiervan is `text(-)1` . En het raakpunt is dan `(text(-)1,text(-)2)` .

Opgave 3

De cirkel `c` heeft vergelijking: `(x-2 ) ^2 +y^2 =10` .
Vul de vergelijking van lijn `l: y=1/3 x+b` in de cirkelvergelijking `c` in, en je vindt: `(x-2 ) ^2 + (1/3 x+b) ^2 =10` . Haakjes wegwerken levert op: `1 1/9 x^2 -4 x+2/3 bx+4 +b^2 =10` . En dus: `1 1/9 x^2 +(2/3 b-4 )x+b^2 -6 =0` .

Omdat `l` en `c` elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing. De discriminant ervan is daarom `0` . Dus: `(2/3 b-4 ) ^2 -4 *1 1/9 *(b^2 -6 )=0` . Uitwerken geeft: `text(-)4 b^2 -5 1/3 b+42 2/3 =0` en dus `b^2 +1 1/3 b-10 2/3 =0` . Dit levert op: `b=text(-)4  ∨ b=2 2/3` . De twee raaklijnen zijn `y=1/3 x-4` en `y=1/3 x+2 2/3` .

Opgave 4

Zo'n lijn moet dan van vorm `y=1/2x+b` zijn. Substitueer dit in de gegeven cirkelvergelijking en bereken de waarden van `b` .

`x^2+(1/2x+b-3)^2=20` geeft `1 1/4x^2+(b-3)x+b^2-6b-11=0` .

Gebruik nu `D=0` , dus `(b-3)^2-4*1 1/4 *(b^2-6b-11)=0` .

Uitwerken geeft dan `text(-)4b^2-36b+64=0` of `b^2+9b+16=0` zodat `b=text(-)2 vv b=8` .

De raaklijnen zijn `y=1/2 x-2` en `y=1/2 x+8` .

Opgave 5

Omdat het middelpunt van de cirkel `O` als oorsprong heeft, heeft de vergelijking van de cirkel de vorm `x^2+y^2=r^2` . Gebruik nu weer dat de lijn `x+2y=6` aan de cirkel moet raken en dus `D=0` . De lijn kun je schrijven als `x=text(-)2y+6` en dus krijg je: `(text(-)2y+6)^2+y^2=r^2` .

Het doel is nu om `r` uit te rekenen onder de voorwaarde `D=0` .

Herleid de vergelijking tot `5y^2-24y+36-r^2=0` .

`D=0` levert op: `576-720+20r^2=0` en `20r^2=144` , dus `r^2=7,2` .

En dus wordt de cirkelvergelijking `x^2+y^2=7,2` .

Opgave 6

Substitueer `y=ax+5` in `x^2+y^2=10` :

`x^2+(ax+5)^2=10` geeft `(1+a^2)x^2+10ax+15=0` .

`D=0` gebruiken levert dan op: `(10a)^2-4*(1+a^2)*15=0` , zodat `a^2=1,5` en `a=+-sqrt(1,5)` .

Opgave 7

Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt `a` die door het punt `Q` gaat: `y=ax+b` door `Q(0, 2 )` geeft `y=ax+2` .
De lijn `y=ax+2` substitueer je dan weer in de gegeven cirkelvergelijking. Dit geeft:
`(x-5 ) ^2 + (ax+2-2 ) ^2 =5` .
Uitwerken geeft `x^2-10x+25+a^2x^2=5` en `(1 +a^2 )x^2 -10x+20=0` .
Bij raken moet voor de discriminant `D` gelden: `D=0` .
Dus: `(text(-)10) ^2 -4 *(1 +a^2 )*20 =0` .
Hieruit volgt: `a=1/2  ∨ a=text(-)1/2` .
De gevraagde vergelijkingen zijn: `y=1/2 x-2` en `y=text(-)1/2 x-2` .

Opgave 8

Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt `a` die door het punt `R` gaat: `y=ax+b` door `R(0, 4 )` geeft `y=ax+4` .
De lijn `y=ax+4` substitueer je dan weer in de gegeven cirkelvergelijking. Dit geeft:
`(x-3 ) ^2 + (ax+4 )^2 =25` .
Uitwerken geeft `x^2-6x+9+a^2x^2+8ax+16=25` en `(1 +a^2 )x^2 +(text(-)6+8a)x=0` .
Bij raken moet voor de discriminant `D` gelden: `D=0` .
Dus: `(text(-)6+8a) ^2 -4 *(1 +a^2 )*0 =0` en `a=3/4` .
De gevraagde vergelijking is : `y=3/4 x+4` . In dit geval is er dus maar één oplossing.

Opgave 9

Geen enkele. `(0, 2 )` ligt binnen de cirkel

Opgave 10
a

Ga uit van de lijn `y=x+1` en substitueer dit in de cirkelvergelijking.

Je vindt dan `x^2+(x+1)^2=16` en dus volgt `x^2+x^2+2x+1=16` en dus ook `2x^2+2x-15=0` .

Dan geldt `D=2^2-4*2*(text(-)15)=124 gt 0` . De lijn snijdt de cirkel dus.

b

Neem als lijn `l:y=x+b` en substitueer dit in de cirkelvergelijking: `x^2+(x+b)^2=16` geeft `2x^2+2bx+b^2-16=0` .

`D=0` en dus `(2b)^2-4*2*(b^2-16)=0` , zodat `4b^2=128` en `b=+-sqrt(32)` .

c

Als `b` tussen `text(-)sqrt(32)` en `sqrt(32)` in ligt.

Opgave 11
a

Neem als lijn `l:y=x+b` en substitueer dit in de cirkelvergelijking: `x^2+(x+b)^2=25` en `x^2+x^2+2bx+b^2-25=0` .

`D=0` geeft `(2b)^2-4*2*(b^2-25)=0` en `4b^2-8b^2+200=0` , zodat `b=+-sqrt(50)` .

De gevraagde lijnen zijn `y = x + sqrt(50)` en `y = x - sqrt(50)` .

b

Substitueer `y=ax+10` in `x^2+y^2=25` .

Je vindt: `x^2+(ax+10)^2=25` en `(1+a^2)x^2+20ax+75=0` .

`D=0` levert dan op: `(20a)^2-4*(1+a^2)*75=0` en `100a^2=300` , dus `a=+-sqrt(3)` .

De raaklijnen zijn `y=sqrt(3)x+10` en `y=text(-)sqrt(3)x+10` .

c

Substitueer `y=ax-10` in `x^2+y^2=25` .

Je krijgt `x^2+(ax-10)^2=25` en `(1+a^2)x^2-20ax+75=0` .

`D=0` levert dan op: `(-20a)^2-4*(1+a^2)*75=0` en `a^2=3` zodat `a=+-sqrt(3)` .

De raaklijnen zijn dan `y=sqrt(3)x-10` en `y=text(-)sqrt(3)x-10` .

Opgave 12

Omdat het middelpunt van de cirkel `M(1, 2)` bekend is, heeft de cirkelvergelijking de vorm `(x-1)^2+(y-2)^2=r^2` .

Schrijf `x-2y=6` om naar `x=2y+6` en substitueer dit in de cirkelvergelijking:

`(2y+6-1)^2+(y-2)^2=r^2` levert op `5y^2+16y+29-r^2=0`

`D=0` geeft `16^2-4*5*(29-r^2)=0` en `r^2=16,2` .

En dus is gevraagde cirkelvergelijking  `(x-1 ) ^2 + (y-2 ) ^2 =16,2` .

Opgave 13

Het middelpunt is `(0, 0)` en dus is de gevraagde cirkelvergelijking `x^2+y^2=r^2` .

Substitueer `y=6-x` : `x^2+(6-x)^2=r^2` geeft `2x^2-12x+36-r^2=0` .

`D=0` levert op `(text(-)12^2-4*2*(36-r^2))=0` en `r^2=18` .

En dus is gevraagde cirkel `x^2+y^2=18` .

Het raakpunt bereken je zo: snijd de lijn `y=6-x` met `x^2+y^2=18` .

Je vindt dan `x^2+(6-x)^2=18` en hieruit volgt `x=3` .

Het raakpunt wordt `(3, 3)` .

Opgave 14
Opgave 15Afstand tussen twee raakpunten
Afstand tussen twee raakpunten

De vergelijking van de cirkel `c` is `(x-25)^2+y^2=25` .

Raaklijnen vanuit `O` hebben de vorm `y=ax` . Substitueer dit in de cirkelvergelijking en je vindt

`(x-25)^2+(ax)^2=25` en `(1+a^2)x^2-50x+600=0` .

`D=0` dus `2500-4*(1+a^2)*600=0` en `a^2=5/120` en `a=+-sqrt(5/120)` .

En dus zijn de raaklijnen `y=sqrt(5/120)x` en `y=text(-)sqrt(5/120)x` .

Snijden met de gegeven cirkel geeft de snijpunten `A(24; 4,90)` en `B(24; text(-)4,90)` .

Dus beide punten liggen op de lijn `x=24` en de afstand `|AB| ~~ 9,80` .

Opgave 16Snijpunt van raaklijnen
Snijpunt van raaklijnen
a

Ga uit van `x=1/2` . De cirkelvergelijking wordt `x^2+y^2=1` .

`(1/2)^2+y^2=1` oplossen geeft `y^2=3/4` en `y=+-sqrt(3/4)=+-1/2 sqrt(3)` .

Hieruit volgt `R_1(1/2 ; 1/2 sqrt(3))` en `R_2(1/2 ; text(-)1/2 sqrt(3))` .

Straal en raaklijn staan bij een cirkel loodrecht op elkaar en de richtingscoëfficiënt van de lijn `OR_1` is `sqrt(3)` , zodat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan `text(-)1/sqrt(3) = text(-)1/3 sqrt(3)` . Analoog is de richtingscoëfficiënt van de andere raaklijn gelijk aan `1/sqrt(3) = 1/3 sqrt(3)` .

De raaklijn in `R_1` is dan `y=text(-)1/3 sqrt(3)x+b` door `(1/2 ; 1/2 sqrt(3))` en dit geeft `b=2/3sqrt(3)` . De raaklijn door `R_1` is  `y=text(-)1/3 sqrt(3)x+2/3 sqrt(3)` .

Analoog volgt de raaklijn door `R_2` : `y=1/3 sqrt(3)x - 2/3 sqrt(3)` .

Deze twee lijnen snijden levert op `C(2, 0)` .

b

Ga uit van `x=a` . De cirkelvergelijking wordt `x^2+y^2=1` .

`a^2+y^2=1` oplossen geeft `y^2=1-a^2` en `y=+-sqrt(1-a^2)` .

Hieruit volgt `R_1(a, sqrt(1-a^2))` en `R_2(a, text(-)sqrt(1-a^2))` .

Straal en raaklijn staan bij een cirkel loodrecht op elkaar; en de richtingscoëfficiënt van `O` naar `R_1` is `(sqrt(1-a^2))/a` zodat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan `text(-)a/(sqrt(1-a^2))` . En zo is de richtingscoëfficiënt van de andere raaklijn gelijk aan `a/(sqrt(1-a^2))` .

De raaklijn in `R_1` is dan `y=text(-)a/(sqrt(1-a^2))x+b` door `(a, sqrt(1-a^2))` en dit geeft `b=1/sqrt(1-a^2)` . De raaklijn door `R_1` is dus `y=text(-)a/(sqrt(1-a^2))x+1/(sqrt(1-a^2))` .

Op vergelijkbare wijze volgt de raaklijn door `R_2` : `y=a/(sqrt(1-a^2))x-1/(sqrt(1-a^2))` .

Deze twee lijnen snijden levert op `C(1/a , 0)` .

Opgave 17
a

`y=4 x+12` en `y=4 x-22`

b

`y = 1/4 x + 2 1/4` en `y = text(-)4x - 2` .

Opgave 18

Afgerond `(x+5,35) ^2 +y^2 =10` en `(x-18,69)^2+y^2=10` .

verder | terug