Hoeken en afstanden > Snijden en rakenVoorbeeld 1
Gegeven is de cirkel
`c`
met middelpunt
`M(2, 0 )`
en straal
`sqrt( 10 )`
.
Van de familie van lijnen
`l: y=3 x+b`
raken er twee aan deze cirkel. Welke twee?
De cirkel
`c`
heeft vergelijking:
`(x-2 ) ^2 +y^2 =10`
.
Vul de vergelijking van lijn
`l: y=3x+b`
in de cirkelvergelijking
`c`
in, en je vindt:
`(x-2 ) ^2 + (3 x+b) ^2 =10`
.
Haakjes wegwerken levert op:
`10 x^2 -4 x+6 bx+4 +b^2 =10`
. En dus:
`10 x^2 +(6 b-4 )x+b^2 -6 =0`
.
Omdat `l` en `c` elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing. De discriminant ervan is daarom `0` . Dus `b^2-4ac=0` en vul nu de waarden van `a,b` en `c` in: `(6 b-4 ) ^2 -4 *10 *(b^2 -6 )=0` . Uitwerken geeft: `-4 b^2 -48 b+256 =0` en dus `b^2 +12 b-64 =0` . Dit levert op: `b=text(-)16 ∨ b=4` . De twee raaklijnen zijn `y=3 x-16` en `y=3 x+4` .
Er zijn twee lijnen van vorm `m: y=1/3 x+b` die aan cirkel `c: (x-2)^2+y^2=10` raken. Stel van deze twee lijnen de vergelijkingen op.
Stel vergelijkingen op van de raaklijnen met richtingscoëfficiënt `1/2` die raken aan de cirkel met vergelijking `x^2 + (y-3 ) ^2 =20` .
Gegeven is de lijn `k` met vergelijking `x+2 y=6` . Er is een cirkel met middelpunt `O` die deze lijn raakt. Stel van deze cirkel een vergelijking op.