Hoeken en afstanden > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Voorbeeld 1

Gegeven is de cirkel `c` met middelpunt `M(2,0 )` en straal `sqrt( 10 )` .
Van de familie van lijnen `l:y=3 x+b` raken er twee aan deze cirkel. Welke twee?

> antwoord

De cirkel `c` heeft vergelijking: `(x-2 ) ^2 +y^2 =10` .
Vul de vergelijking van lijn `l: y=3x+b` in de cirkelvergelijking `c` in, en je vindt: `(x-2 ) ^2 + (3 x+b) ^2 =10` . Haakjes wegwerken levert op: `10 x^2 -4 x+6 bx+4 +b^2 =10` . En dus: `10 x^2 +(6 b-4 )x+b^2 -6 =0` .

Omdat `l` en `c` elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing. De discriminant ervan is daarom `0` . Dus `b^2-4ac=0` en vul nu de waarden van `a,b` en `c` in: `(6 b-4 ) ^2 -4 *10 *(b^2 -6 )=0` . Uitwerken geeft: `-4 b^2 -48 b+256 =0` en dus `b^2 +12 b-64 =0` . Dit levert op: `b=text(-)16  ∨ b=4` . De twee raaklijnen zijn `y=3 x-16` en `y=3 x+4` .

Opgave 3

Gegeven is een cirkel `c: x^2+y^2=25` en de lijn `y=2x+b` . 

a

Neem `b=2` en onderzoek met behulp van een berekening of de lijn de cirkel raakt.

b

Voor welke waarden van `b` raakt de lijn de cirkel `c` ?

Opgave 4

Er zijn twee lijnen van de familie `m:y=1/3 x+b` die aan cirkel `c: (x-2)^2+y^2=10` raken. Stel van deze twee lijnen de vergelijkingen op.

Opgave 5

Stel vergelijkingen op van de raaklijnen met richtingscoëfficiënt `1/2` die raken aan de cirkel met vergelijking `x^2 + (y-3 ) ^2 =20` .

Opgave 6

De lijnen die door het punt `P(0, 5 )` gaan hebben een vergelijking van de vorm `y=ax+5` . Twee van die lijnen raken de cirkel `c` met vergelijking `x^2 +y^2 =10` . Welke twee lijnen zijn dat?

Opgave 7

Gegeven is de lijn `k` met vergelijking `x+2 y=6` . Er is een cirkel met middelpunt `O` die deze lijn raakt. Stel van deze cirkel een vergelijking op.

verder | terug