Hoeken en afstanden > Snijden en rakenVoorbeeld 2
Het punt
`P(0, text(-)2 )`
ligt buiten cirkel
`c`
:
`(x-4 ) ^2 +y^2 =10`
.
Er zijn twee lijnen door
`P`
te tekenen die de cirkel
`c`
raken.
Stel van die twee raaklijnen de vergelijkingen op.
Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt
`a`
die door het punt
`P`
gaat:
`y=ax+b`
door
`P(0, text(-)2 )`
geeft
`y=ax-2`
.
De lijn
`y=ax-2`
substitueer je dan weer in de gegeven cirkelvergelijking. Dit geeft:
`(x-4 ) ^2 + (ax-2 ) ^2 =10`
.
Uitwerken geeft
`x^2-8x+16+a^2x^2-4ax+4=10`
en dit werk je uit tot:
`(1 +a^2 )x^2 +(text(-)4 a-8 )x+10 =0`
.
Bij raken moet voor de discriminant
`D`
gelden:
`D=0`
.
Dus:
`(text(-)4 a-8 ) ^2 -4 *(1 +a^2 )*10 =0`
.
Hieruit volgt:
`a=3 ∨ a=text(-)1/3`
.
De gevraagde vergelijkingen zijn:
`y=3 x-2`
en
`y=text(-)1/3 x-2`
.
De lijnen die door het punt `P(0, 5 )` gaan hebben een vergelijking van de vorm `y=ax+5` . Twee van die lijnen raken de cirkel `c` met vergelijking `x^2 +y^2 =10` . Welke twee lijnen zijn dat?
Het punt `Q(0, 2 )` ligt buiten de cirkel `c: (x-5 ) ^2 + (y-2 ) ^2 =5` . Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan de cirkel `c` die door `Q` gaan.
Gegeven het punt `R(0, 4 )` en de cirkel `c: (x-3 ) ^2 +y^2 =25` . Stel de vergelijkingen op van alle lijnen die door `R` gaan en de cirkel `c` raken.
Hoeveel lijnen door `A(0, 2 )` raken de cirkel met middelpunt `M(1, 2 )` en straal `3` ?