Hoeken en afstanden > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Voorbeeld 2

Het punt `P(0, text(-)2 )` ligt buiten cirkel `c` : `(x-4 ) ^2 +y^2 =10` .
Er zijn twee lijnen door `P` te tekenen die de cirkel `c` raken.
Stel van die twee raaklijnen de vergelijkingen op.

> antwoord

Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt `a` die door het punt `P` gaat: `y=ax+b` door `P(0, text(-)2 )` geeft `y=ax-2` .
De lijn `y=ax-2` substitueer je dan weer in de gegeven cirkelvergelijking. Dit geeft:
`(x-4 ) ^2 + (ax-2 ) ^2 =10` .
Uitwerken geeft `x^2-8x+16+a^2x^2-4ax+4=10` en dit werk je uit tot: `(1 +a^2 )x^2 +(-4 a-8 )x+10 =0` .
Bij raken moet voor de discriminant `D` gelden: `D=0` .
Dus: `(text(-)4 a-8 ) ^2 -4 *(1 +a^2 )*10 =0` .
Hieruit volgt: `a=3 ∨ a=text(-)1/3` .
De gevraagde vergelijkingen zijn: `y=3 x-2` en `y=text(-)1/3 x-2` .

Opgave 8

Het punt `Q(0,2 )` ligt buiten de cirkel `c: (x-5 ) ^2 + (y-2 ) ^2 =5` . Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan de cirkel `c` die door `Q` gaan.

Opgave 9

Gegeven het punt `R(0,4 )` en de cirkel `c: (x-3 ) ^2 +y^2 =25` . Stel de vergelijkingen op van alle lijnen die door `R` gaan en de cirkel `c` raken.

Opgave 10

Hoeveel lijnen door `A(0,2 )` raken de cirkel met middelpunt `M(1,2 )` en straal `3` ?

verder | terug