Hoeken en afstanden > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Uitleg

Als er een cirkel `c` met straal `5` en middelpunt `O` en de lijn `l:y=text(-)0,75 x+2` gegeven zijn, dan bereken je hun snijpunten door in `x^2 +y^2 =25` voor `y` de uitdrukking `text(-)0,75 x+2` in te vullen (te substitueren).
Je vindt dan : `x^2 + (text(-)0,75 x+2 ) ^2 =25` .
Deze vergelijking schrijf je als `1 9/16 x^2 -3 x-21 =0` .

Zo'n vergelijking los je op met de abc-formule. Je vindt twee oplossingen voor `x` omdat de discriminant positief is. Je vindt dan `x=text(-)2,83` en `x=4,75` . En de snijpunten die je zoekt worden dan `(text(-)2,83;4,12)` en `(4,75;text(-)1,56)` .

Wil je de snijpunten van `m` : `y = text(-)0,75x + 6,25` en cirkel `c` berekenen, dan gebeurt er iets bijzonders. Na invullen vind je `x^2 + (text(-)0,75x + 6,25)^2 = 25` .
Dit kun je herleiden tot `1 9/16 x^2 – 9 3/8 x + 14 1/16 = 0` .
Als je dit op dezelfde manier gaat oplossen dan zijn er geen twee `x` -waarden, maar slechts één. Dat komt omdat hier de discriminant `0` is.  Er is blijkbaar maar één oplossing en de twee snijpunten vallen dan als het ware samen, de lijn `m` en de cirkel `c` raken elkaar. Lijn `m` is een raaklijn aan cirkel `c` . Er is één raakpunt.

Wanneer de discriminant kleiner dan `0` is bestaan er geen reële oplossingen: dat betekent dat de lijn en de cirkel elkaar missen.

Opgave 1

Gegeven is een cirkel `c` met middelpunt `O` en `r=5` . Gegeven is ook de lijn `l:text(-)0,75x+2` .

a

Bereken de snijpunten van `l:y=text(-)3/4 x+2` en de gegeven cirkel in twee decimalen nauwkeurig.

b

Toon aan dat `m:y=text(-)3/4 x+6 1/4` raakt aan de cirkel `c:x^2 +y^2 =25` .

c

Bereken het raakpunt.

d

Er is nog een lijn met dezelfde richtingscoëfficiënt die aan cirkel c raakt. Welke vergelijking heeft die lijn?

Opgave 2

Gegeven is de cirkel met vergelijking `x^2 +y^2 =5` . Welke van deze lijnen raakt cirkel `c` ? Bereken telkens de snijpunten of het raakpunt van lijn en cirkel.

a

`y=2 x`

b

`y=2 x+2,5`

c

`y=text(-)0,5 x+2,5`

d

`y=text(-)0,5 x-2,5`

verder | terug