Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoekenAntwoorden van de opgaven
De straal naar het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. Vanwege de symmetrie zijn beide hoeken tussen straal en raaklijn even groot, dus elk `90^@` .
De r.c. van `OQ` is `3/4` , die van de raaklijn dus `text(-) 4/3` .
Vergelijking raaklijn
`y = text(-)4/3 x + b`
.
Raaklijn door
`Q(4, 3)`
geeft
`b = 8 1/3`
.
Dus de raaklijn heeft vergelijking
`y = text(-) 4/3 x + 8 1/3`
.
`x^2 +y^2 =25`
`a_(text(straal))=4/3`
Gebruik `a_(text(straal))*a_(text(raaklijn))=text(-)1` .
Dan volgt `4/3*a_(text(raaklijn))=text(-)1` en dus `a_(text(raaklijn))=text(-)3/4` .
`y=text(-)3/4x+b` door het punt `P(3,4)` .
Dus `4=text(-)3/4*3+b` en `4=text(-)2 1/4+b` zodat `b=6 1/4` .
De raaklijn is dus `y=text(-)3/4x+6 1/4` .
`x=5`
`a_(text(straal))=1/3` en dus is `a_(text(rl))=text(-)3` .
Voor de raaklijn in `P` geldt dus `y=text(-)3x+b` en deze gaat door `(3, 1)` . Vul dit punt in:
`1=text(-)3*3+b` en `1=text(-)9+b` zodat `b=10` .
De raaklijn is dus `y=text(-)3x+10` .
Eerst snijpunten uitrekenen: `x+y=7` herleiden naar `y=text(-)x+7` en dit substitueren in `x^2+y^2=25` . Dit levert `x^2+(text(-)x+7)^2=25` en na haakjes wegwerken volgt `2x^2-14x+49=25` . Oplossen geeft `x=3 vv x=4` en dus zijn de snijpunten `P(3, 4)` en `Q(4, 3)` .
Raaklijn in `P` : `a_s =4/3` en dus `a_r =text(-)3/4` . De raaklijn wordt dan `y=text(-)3/4x+b` door `(3,4)` levert `y=text(-)3/4x+6 1/4` .
Raaklijn in `Q` : `a_s =3/4` en dus `a_r=text(-)4/3` . De raaklijn wordt dan `y=text(-)4/3x+b` door `(4,3)` levert `y=text(-)3/4x+8 1/3` .
In `P` : `a_r = text(-)3/4` dus is de hellingshoek ongeveer `arctan(text(-)3/4)~~text(-)36,9^@` .
In `Q` : `a_r = text(-)4/3` dus is de hellingshoek ongeveer `arctan(text(-)4/3)~~text(-)53,1^@` .
Dus de raaklijnen maken een hoek van `53,1^@ - 36,9^@ = 16,2^@` graden met elkaar.
De richtingscoëfficiënt van de straal `OB` is `3/4` .
Dit betekent dat de raaklijn in `B` een richtingscoëfficiënt heeft van `text(-)4/3` .
De gevraagde raaklijn heeft dus de vorm `y=text(-)4/3x+b` en gaat door `B(4, 3)` . Vul dit punt in en je krijgt `3=text(-)4/3*4+b` en dus `b=8 1/3` .
De raaklijn is `y=text(-)4/3x+8 1/3` .
De raaklijn
`y=text(-)4/3 x+8 1/3`
maakt een richtingshoek
`α`
met de
`x`
-as waarvoor geldt
`tan(α)=4/3`
.
De richtingshoek is
`α≈53,13^@`
. De lijn
`y=0`
heeft een richtingscoëfficiënt van
`0`
en een richtingshoek van
`0^@`
. De hoek tussen beide lijnen is
`53,13^@`
. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel.
Voor een richtingshoek hoef je alleen de richtingscoëfficiënt van de straal te weten. Punt `B` is voldoende.
De richtingscoëfficiënt van de straal `OA` is `text(-)3/4` .
De raaklijn in `A` heeft dus een richtingscoëfficiënt van `4/3` .
De gevraagde raaklijn heeft de vorm `y=4/3x+b` en gaat door `A(text(-)4, 3)` . Vul dit punt in en je krijgt `3=4/3*text(-)4+b` en dus `b=8 1/3` .
De raaklijn is dan `y=4/3x+8 1/3` .
De raaklijn
`y=3/4 x+8 1/3`
maakt een richtingshoek
`α`
met de
`x`
-as met
`tan(α)=4/3`
.
De richtingshoek is
`α≈53,13^@`
. De lijn
`y=0`
heeft een richtingscoëfficiënt van
`0`
en een richtingshoek van
`0^@`
. De hoek tussen beide lijnen is
`53,13^@`
. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel. Deze hoek is dus gelijk aan de
hoek die je bij punt
`A`
hebt gevonden.
Dit volgt overigens ook uit de symmetrie van de cirkel. Je had niet eens hoeven rekenen!
Snijpunten `x` -as: `y=0` geeft `(x-1)^2+(-2)^2=5` en `x=2` of `x=0` .
Snijpunten `O(0, 0)` en `A(2, 0)` .
Snijpunt `y` -as: `x=0` geeft `(-1)^2+(y-2)^2=5` en `y=0` of `y=4` .
Snijpunten `O(0, 0)` en `B(0, 4)` .
Het middelpunt `M` van de cirkel is `(1, 2)` Er zijn drie snijpunten met de assen: `O(0, 0)` , `A(2, 0)` en `B(0, 4)` .
Raaklijn in `O` : `a_s=2` en dus `a_r=text(-)1/2` . De raaklijn heeft dan de vorm `y=text(-)1/2 x+b` en gaat door `(0, 0)` zodat `b=0` . De raaklijn is dus `y=text(-)1/2 x` .
Raaklijn in `A` : `a_s=text(-)2` en dus `a_r=1/2` . De raaklijn heeft dan de vorm `y=1/2 x+b` en gaat door `(2, 0)` zodat `b=text(-)1` . De raaklijn is dus `y=1/2x-1` .
Raaklijn in `B` : `a_s=text(-)2` en dus `a_r=1/2` . De raaklijn heeft dan de vorm `y=1/2 x+b` en gaat door `(0, 4)` zodat `b=4` . De raaklijn is dus `y=1/2x+4` .
Het gaat om de hoek tussen de lijn `y=0` en de raaklijnen in `O` of in `A` . Vanwege de symmetrie is deze hoek in beide gevallen even groot, namelijk `arctan(1/2)~~27^@` .
Het gaat om de hoek tussen de raaklijn in `B` en de lijn `x=0` .
De hellingshoek van de raaklijn is
`arctan(1/2)~~27^@`
.
De gevraagde hoek tussen de raaklijn en de verticale lijn is dus
`90-27=63^@`
.
De vergelijking van de cirkel `c` is `(x-3)^2+y^2=r^2` en deze gaat door het punt `P(4, 2)` . Invullen geeft `(4-3)^2+2^2=r^2` zodat `1^2+2^2=r^2` en `r^2=5` .
Dus `c` : `(x-3)^2+y^2=5` .
Dan bereken je de coördinaten van `A` en `B` door `y=x` te snijden met de cirkel:
`(x-3)^2+x^2=5`
levert
`x^2-3x+2=0`
en
`(x-1)(x-2)=0`
zodat
`x=1 vv x=2`
.
De snijpunten zijn dan
`A(1, 1)`
en
`B(2, 2)`
.
Wegens symmetrie is de hoek tussen cirkel en raaklijn in `A` dezelfde als in `B` .
Raaklijn in `A` : `a_s=text(-)1/2` en dus `a_r=2` .
Hellingshoek `arctan(2)=63,4^@` Dit is de hoek tussen de raaklijn en een horizontale lijn `y=1` .
Gevraagd is echter de hoek tussen de raaklijn en lijn `l: y=x` . Lijn `l` maakt een hoek van `45^@` met `y=1` en dus is de gevraagde hoek `63,4^@-45^@=18,4^@` .
Snijpunten van `c_1` met `c_2` :
`c_1: x^2+y^2=10` en `c_2:x^2+y^2=8y-14` combineren geeft `8y-14=10` en dus `8y=24` en `y=3` .
Dit invullen in bijvoorbeeld `c_1` levert op: `x^2+9=10` en `x=+-1` . De snijpunten zijn `A(text(-)1, 3)` en `B(1, 3)` .
Neem snijpunt `B` .
Raaklijn aan cirkel `c_1` : `a_s=3` en dus `a_r=text(-)1/3` .
Hellingshoek van deze raaklijn is `arctan(text(-)1/3)~~text(-)18,4^@` .
Raaklijn aan cirkel `c_2` : vergelijking herleiden naar `x^2+(y-4)^2=2` (met behulp van kwadraat afsplitsen).
Het middelpunt van `c_2` is dus `M(0, 4)` , zodat `a_s = text(-1)` en `a_r = 1` .
Hellingshoek van deze raaklijn is `arctan(1)=45^@` .
De gevraagde hoek is dan `45^@ - text(-)18,4^@~~63^@` .
Ga zelf na dat je dezelfde hoek krijgt als je uit was gegaan van de raaklijnen in het andere snijpunt, `A` .
Vergelijking cirkel `c_1` : `(x-1)^2+(y-2)^2=5` .
Vergelijking cirkel `c_2` : `x^2+(y-2)^2=2` .
Snijpunten: beide vergelijkingen combineren geeft `x=text(-)1` en dus zijn de snijpunten `P(text(-)1, 3)` en `Q(text(-)1, 1)` .
Ga nu uit van het snijpunt `P(text(-)1,3)` .
De raaklijn aan `c_1` in `P` : `a_s=text(-)1/2` en dus `a_r=2` .
Deze raaklijn heeft een hellingshoek van `arctan(2)~~26,6^@` .
De raaklijn aan `c_2` in `P` : `a_s=text(-)1` en dus `a_r=1` .
Deze raaklijn heeft een hellingshoek van `arctan(1)~~45^@` .
De hoek tussen beide raaklijnen (en daarmee de hoek tussen beide cirkels) is dan `45^@-26,6^@~~18^@` .
Eerst de coördinaten van het snijpunt van `c` met `l` uitrekenen: `x^2+4=16` dus `x=+-sqrt(12)` .
De snijpunten zijn dan `A(text(-)sqrt(12), 2)` en `B(sqrt(12), 2)` .
De richtingscoëfficiënt van lijnstuk `OB` is dan `2/(sqrt(12))` en die van de raaklijn dus `text(-)1/2sqrt(12)` .
Voor de gevraagde hoek `alpha` geldt van `tan(alpha) = text(-)1/2sqrt(12)` en dus is `alpha = text(-)60^@` .
Snijpunten `y` -as: `9+(y-5)^2=10` geeft `y=4 ∨ y=6` .
De snijpunten zijn dus `S_1 (0, 4)` en `S_2 (0, 6)` .
Lijnstuk `MS_1` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)1/3` . De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan `3` .
Als
`alpha`
de gevraagde hoek is, dan is
`tan(90^@ - alpha) = 3`
.
Dit geeft
`alpha ~~ 18,4^@`
.
De lijn `y=x` maakt een hoek van `45^@` met de `x` -as.
Snijpunten `y=x` met `c` uitrekenen:
`(x-3)^2+(x-5)^2=10` geeft `x=2 vv x=6` .
En de snijpunten zijn dan `A(2, 2)` en `B(6, 6)` .
De raaklijn in `A` wordt dan `y = text(-)1/3 x + 2 2/3` . Voor de hoek van die raaklijn met de `x` -as geldt `tan(alpha) = text(-)1/3` en dus `alpha ~~ text(-)18,4^@` .
De hoek de raaklijn en de lijn `y=x` is dan `45^@-text(-)18,4^@=63,4^@` .
Eerst vergelijkingen voor beide cirkels opstellen en de snijpunten berekenen:
`c_1: (x-2)^2+(y-4)^2=13` wordt `x^2 + y^2 = 4x + 8y - 7` .
`c_2: (x+2)^2+y^2=5` wordt `x^2 + y^2 = text(-)4x + 1` .
Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt krijg je `8x + 8y - 8 = 0` ofwel `y=text(-)x + 1` .
Dit invullen in één van beide cirkelvergelijkingen geeft `x = 0 vv x = text(-)1` .
De snijpunten zijn `A(0, 1)` en `B(text(-)1, 2)` .
Je kijkt nu bijvoorbeeld naar het snijpunt `A(0, 1)` .
De hoek tussen de raaklijnen in `A` is gelijk aan die tussen de stralen naar `A` .
`M_1 A` heeft richtingscoëfficiënt `3/2` en dus maakt de straal een hoek van `~~56,3^@` met de `x` -as.
`M_2 A` heeft richtingscoëfficiënt `1/2` den dus maakt de raaklijn een hoek van `~~26,6^@` met de `x` -as.
De hoek tussen beide cirkels is ongeveer `56,3^@-26,6^@=29,7^@` .
Raaklijn in `A` gaat door `A(text(-)2;1,5)` en heeft richtingscoëfficiënt `4/3` .
lijnstuk `AB` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)3/9` .
lijnstuk `BC` heeft een richtingscoëfficiënt van `2` .
lijnstuk `AC` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)1` .
Maak een schets en bereken daarna pas de gevraagde hoeken!
De hoek tussen `m` en `AB` is `arctan(4/3) + arctan(3/9)~~53,1^@+ 18,4^@=71,5^@` .
Hoek `C` in `△ABC` is de hoek tussen lijnstuk `AC` en lijnstuk `BC` :
Hoek tussen `BC` en lijn evenwijdig aan `x` -as: `arctan(2)~~63,4^@` .
Hoek tussen `AC` en lijn evenwijdig aan `x` -as: `arctan(1)=45^@` .
Dus `∠C=180-63,4-45=71,5^@` .
En beide hoeken zijn inderdaad even groot.
Het middelpunt `M` van de cirkel is `(4, 3)` .
Verticaal verschil tussen `Q(1, 4)` en `M(4, 3)` is dan gelijk aan `4-3=1` .
Horizontaal verschil tussen `Q(1, 4)` en `M(4, 3)` is dan gelijk aan `4-1=3` .
Dus `|QM|` is dan gelijk aan `sqrt(3^2+1^2)=sqrt(10)` .
Driehoek `QMA` is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras vind je dan de lengte van `|QA|=10-5=5` . Dus `|QA|=|QB|=sqrt(5)` .
Het middelpunt is `Q(1, 4)` en `r=sqrt(5)` dus: `(x-1 ) ^2 + (y-4 ) ^2 =5` .
`c_2` : `(x-1 ) ^2 + (y-4 ) ^2 =5` geeft `x^2 + y^2 = 2x + 8y - 12` .
`c` : `(x-4 ) ^2 + (y-3 ) ^2 =5` geeft `x^2 + y^2 = 8x + 6y - 20` .
Beide vergelijkingen combineren geeft `6x-2y-8=0` en dus `y=3x-4` . (Vergelijking van de lijn door `A` en `B` .) Substitueer dit nu in `c_2` (of `c` ):
`(x-1 ) ^2 + (3x-4-4 ) ^2 =5`
geeft
`x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0`
en
`x=2 vv x=3`
.
De snijpunten worden dan
`A(2, 2 )`
en
`B(3, 5 )`
.
Raaklijn door `Q` en `A` :
richtingscoëfficiënt: `a_r=text(-)2` en `b=6` dus `y=text(-)2 x+6` .
Raaklijn door `Q` en `B` :
richtingscoëfficiënt: `a_r=1/2` en `b=3,5` dus `y=1/2 x+3,5` .
De `x` -coördinaat ligt op de middelloodlijn van beide punten van de cirkel die gegeven zijn. Dus `x=3` .
Verder snijden beide raaklijnen aan de cirkel de `x` -as onder een hoek van `45^@` . Dus de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen zijn dan `a_1=text(-)1` en `a_2=1` .
Raaklijn 1: ` y=x+b` door `(5, 0)` geeft als raaklijn `y=x-5` .
Raaklijn 2: `y=text(-)x+b` door `(1, 0)` geeft als raaklijn `y=text(-)x+1` .
Het middelpunt vind je nu door de loodlijnen op deze raakpunten met elkaar te snijden.
Loodlijn op raaklijn 1 heeft richtingscoëfficiënt `text(-)1` en gaat door `(5, 0)` , dus vergelijking `y=text(-)x + 5` .
Loodlijn op raaklijn 2 heeft richtingscoëfficiënt `1` en gaat door `(1, 0)` , dus vergelijking `y=x-1` .
Snijd beide loodlijnen voor het middelpunt `M` van de cirkel:
`x-1=text(-)x-5` geeft `x=3` .
Het middelpunt `M` wordt dan `(3, 2)` .
Om de straal te berekenen gebruik je dit middelpunt en een van beide andere punten, bijvoorbeeld `(1,0)` . Dan geldt `r=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)` .
Bereken de lengten van de drie zijden van de driehoek met behulp van de stelling van Pythagoras:
`|AC|=sqrt((2sqrt(3))^2+2^2)= 4`
`|BC|=sqrt((2sqrt(3))^2+2^2)= 4`
`|AB|=2-text(-)2=4`
Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de drie middelloodlijnen van de zijden van de driehoek.
Middelloodlijn lijnstuk `AB: x=0` .
Middelloodlijn lijnstuk `BC: y=1/3sqrt(3)*x+2/3sqrt(3)` .
Het middelpunt van de cirkel vind je dan door `x=0` te substitueren in ` y=1/3 sqrt(3)*x+2/3 sqrt(3)` .
Je krijgt dan `y=2/3sqrt(3)` . Het middelpunt `M` is dan `(0, 2/3 sqrt(3))` .
Je zoekt de vergelijking van de ingeschreven cirkel `c` . Dus je moet een punt hebben waar `c` door heen gaat. Een van deze punten is `E` , het snijpunt van de middelloodlijn van `BC` met lijnstuk `BC` . Dit snijpunt is `E(1, sqrt(3))` .
De vergelijking van de cirkel die je zoekt is dan `x^2+(y - 2/3 sqrt(3))^2=r^2` .
De cirkel gaat door `E(1, sqrt(3))` en dus vind je `r^2=4/3` .
De vergelijking van de cirkel wordt dan `x^2+(y-2/3 sqrt(3))^2=4/3` .
Breng de situatie eerst in beeld. Je ziet dan in dat het middelpunt van de cirkel die je zoekt gewoon de oorsprong `O(0, 0)` is. De cirkelvergelijking die je zoekt heeft dus de vorm `x^2+y^2=r^2` .
Wat je nog nodig hebt is een punt op de cirkel. Dit is, bijvoorbeeld, het snijpunt `F` van de loodlijn door `O` op lijnstuk `BC` .
Stel eerst een vergelijking op van de lijn voor `B` en `C` : `y=text(-)2x+4` .
De loodlijn door `O(0, 0)` op `BC` is dan `y=1/2 x` .
Het snijpunt `F` vind je door de vergelijking `text(-)2x+4=1/2x` op te lossen.
Je vindt `F(1,6; 0,8)` .
De straal vind je dan met behulp van de stelling van Pythagoras: `r^2=1,6^2+0,8^2=3,2` .
De vergelijking van de ingeschreven cirkel is dan `x^2+y^2=3,2` .
`y=text(-)2/3 x`
Ongeveer `33,7^@` .
`y=1,5 x+6,5` en `y=1,5 x-6,5`
`( x-2)^2 +(y-6)^2 =20` snijdt de y-as in `( 0, 2 )` en `( 0, 10 )` onder een hoek van ongeveer `63,4^@` .