Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoekenVoorbeeld 1
De lijn `l: y=3` snijdt de cirkel `c: x^2 +y^2 =25` . Bereken de hoek die `l` en `c` met elkaar maken.
Eerst bereken je beide snijpunten: Substitueer hiertoe
`y=3`
in de cirkelvergelijking
`x^2+y^2=25`
. Dan vind je
`x^2+3^2=25`
. Uitwerken geeft
`x=+-4`
en dus zijn de snijpunten
`A(text(-)4, 3 )`
en
`B(4, 3 )`
. De cirkel heeft middelpunt
`O(0, 0 )`
.
Nu ga je de vergelijking van de raaklijn opstellen in (bijvoorbeeld)
`B`
.
Omdat
`OB`
een richtingscoëfficiënt van
`3/4`
heeft, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn
`text(-)4/3`
.
Deze raaklijn maakt dus een richtingshoek
`α`
met de
`x`
-as met
`tan(α)=4/3`
.
De richtingshoek is
`α = arctan(4/3) ≈53,13^@`
.
De lijn
`y=0`
heeft een richtingscoëfficiënt van
`0`
en een richtingshoek van
`0^@`
. De hoek tussen beide lijnen is
`53,13^@`
. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel.
Gegeven is de cirkel
`c: x^2+y^2=25`
, de lijn
`l: y=3`
en de snijpunten
`A(text(-)4, 3)`
en
`B(4, 3)`
van
`l`
met
`c`
. Zie
Stel een vergelijking op van de raaklijn in punt `B` aan de cirkel.
Bereken de hoek tussen de cirkel `c` lijn `l` .
Waarom heb je bij de berekening de vergelijking van de cirkel niet nodig?
Laat zien dat de hoek tussen `l` en `c` in het punt `A(text(-)4, 3 )` hetzelfde is.
Gegeven de cirkel `c: (x-1 ) ^2 + (y-2 ) ^2 =5` .
Bereken de snijpunten van `c` met de coördinaatassen.
Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen aan de cirkel `c` in de snijpunten met de assen.
Bereken de hoek waaronder `c` de `x` -as snijdt in graden nauwkeurig.
Bereken de hoek waaronder `c` de `y` -as snijdt in graden nauwkeurig.
De lijn `l` met vergelijking `y=x` en de cirkel `c` middelpunt `M(3, 0 )` en door het punt `P(4, 2 )` snijden elkaar in `A` en `B` . Bereken de hoek waaronder `l` en `c` elkaar snijden in graden nauwkeurig. Rond af op één decimaal achter de komma.