Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoeken
123456Raaklijnen en hoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De straal naar het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. Vanwege de symmetrie zijn beide hoeken tussen straal en raaklijn even groot, dus elk .

b

De r.c. van is , die van de raaklijn dus .

Vergelijking raaklijn .
Raaklijn door geeft .
Dus de raaklijn heeft vergelijking .

Opgave 1
a

b

c

Gebruik .

Dan volgt en dus .

d

door het punt .

Dus en zodat .

De raaklijn is dus .

e

Opgave 2

en dus is .

Voor de raaklijn in geldt dus en deze gaat door . Vul dit punt in:

en zodat .

De raaklijn is dus .

Opgave 3
a

Eerst snijpunten uitrekenen: herleiden naar en dit substitueren in . Dit levert en na haakjes wegwerken volgt . Oplossen geeft en dus zijn de snijpunten en .

Raaklijn in : en dus . De raaklijn wordt dan door levert .

Raaklijn in : en dus . De raaklijn wordt dan door levert .

b

In : dus is de hellingshoek ongeveer .

In : dus is de hellingshoek ongeveer .

Dus de raaklijnen maken een hoek van graden met elkaar.

Opgave 4
a

De richtingscoëfficiënt van de straal is .

Dit betekent dat de raaklijn in een richtingscoëfficient heeft van .

De gevraagde raaklijn heeft dus de vorm en gaat door . Vul dit punt in en je krijgt en dus .

De raaklijn is .

b

De raaklijn maakt een richtingshoek met de -as waarvoor geldt .
De richtingshoek is . De lijn heeft een richtingscoëfficiënt van en een richtingshoek van . De hoek tussen beide lijnen is . Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel.

c

Voor een richtingshoek hoef je alleen de richtingscoëfficiënt van de straal te weten. Punt is voldoende.

d

De richtingscoëfficient van de straal is .

De raaklijn in heeft dus een richtingscoëfficient van .

De gevraagde raaklijn heeft de vorm en gaat door . Vul dit punt in en je krijgt en dus .

De raaklijn is dan .

De raaklijn maakt een richtingshoek met de -as met .
De richtingshoek is . De lijn heeft een richtingscoëfficiënt van en een richtingshoek van . De hoek tussen beide lijnen is . Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel. Deze hoek is dus gelijk aan de hoek die je bij punt hebt gevonden.

Dit volgt overigens ook uit de symmetrie van de cirkel. Je had niet eens hoeven rekenen!

Opgave 5
a

Snijpunten -as: geeft en of .

Snijpunten en .

Snijpunt -as: geeft en of .

Snijpunten en .

b

Het middelpunt van de cirkel is Er zijn drie snijpunten met de assen: , en .

Raaklijn in : en dus . De raaklijn heeft dan de vorm en gaat door zodat . De raaklijn is dus .

Raaklijn in : en dus . De raaklijn heeft dan de vorm en gaat door zodat . De raaklijn is dus .

Raaklijn in : en dus . De raaklijn heeft dan de vorm en gaat door zodat . De raaklijn is dus .

c

Het gaat om de hoek tussen de lijn en de raaklijnen in of in . Vanwege de symmetrie is deze hoek in beide gevallen even groot, namelijk .

d

Het gaat om de hoek tussen de raaklijn in en de lijn .

De hellingshoek van de raaklijn is .
De gevraagde hoek tussen de raaklijn en de verticale lijn is dus .

Opgave 6

De vergelijking van de cirkel is en deze gaat door het punt . Invullen geeft zodat en .

Dus : .

Dan bereken je de coördinaten van en door te snijden met de cirkel:

levert en zodat .
De snijpunten zijn dan en .

Wegens symmetrie is de hoek tussen cirkel en raaklijn in dezelfde als in .

Raaklijn in : en dus

Hellingshoek Dit is de hoek tussen de raaklijn en een horizontale lijn .

Gevraagd is echter de hoek tussen de raaklijn en lijn . Lijn maakt een hoek van met en dus is de gevraagde hoek .

Opgave 7

Snijpunten van met :

en combineren geeft en dus en .

Dit invullen in bijvoorbeeld levert op: en . De snijpunten zijn en .

Neem snijpunt .

Raaklijn aan cirkel : en dus .

Hellingshoek van deze raaklijn is .

Raaklijn aan cirkel : vergelijking herleiden naar (met behulp van kwadraat afsplitsen).

Het middelpunt van is dus , zodat en .

Hellingshoek van deze raaklijn is .

De gevraagde hoek is dan .

Ga zelf na dat je dezelfde hoek krijgt als je uit was gegaan van de raaklijnen in het andere snijpunt, .

Opgave 8

Vergelijking cirkel : .

Vergelijking cirkel : .

Snijpunten: beide vergelijkingen combineren geeft en dus zijn de snijpunten en .

Ga nu uit van het snijpunt .

De raaklijn aan in : en dus .

Deze raaklijn heeft een hellingshoek van .

De raaklijn aan in : en dus .

Deze raaklijn heeft een hellingshoek van .

De hoek tussen beide raaklijnen (en daarme de hoek tussen beide cirkels) is dan .

Opgave 9

Eerst de coördinaten van het snijpunt van met uitrekenen: dus .

De snijpunten zijn dan en .

De richtingscoëfficient van lijnstuk is dan en die van de raaklijn dus .

Voor de gevraagde hoek geldt van  en dus is .

Opgave 10
a

Snijpunten -as: geeft .

De snijpunten zijn dus en .

Lijnstuk heeft een richtingscoëfficiënt van . De de richtingscoëficiënt van de raaklijn is dan .

Als de gevraagde hoek is, dan is .
Dit geeft .

b

De lijn maakt een hoek van met de -as.

Snijpunten met uitrekenen:

geeft .

En de snijpunten zijn dan en .

De raaklijn in wordt dan . Voor de hoek van die raaklijn met de -as geldt en dus .

De hoek de raaklijn en de lijn is dan .

Opgave 11

Eerst vergelijkingen voor beide cirkels opstellen en de snijpunten berekenen:

wordt .

wordt .

Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt krijg je ofwel .

Dit invullen in één van beide cirkelvergelijkingen geeft .

De snijpunten zijn en .

Je kijkt nu bijvoorbeeld naar het snijpunt .

De hoek tussen de raaklijnen in is gelijk aan die tussen de stralen naar .

heeft richtingcoëfficiënt en dus maakt de straal een hoek van met de -as.

heeft richtingscoëfficiënt den dus maakt de raaklijn een hoek van met de -as.

De hoek tussen beide cirkels is ongeveer .

Opgave 12

Raaklijn in gaat door en heeft richtingscoëfficiënt

lijnstuk heeft een richtingscoëfficient van .

lijnstuk  heeft een richtingscoëfficient van .

lijnstuk  heeft een richtingscoëfficient van .

Maak een schets en bereken daarna pas de gevraagde hoeken!

De hoek tussen en is .

Hoek in is de hoek tussen lijnstuk en lijnstuk :

Hoek tussen en lijn evenwijdig aan -as: .

Hoek tussen en lijn evenwijdig aan -as: .

Dus .

En beide hoeken zijn inderdaad even groot. 

Opgave 13
a

Het middelpunt van de cirkel is .

Verticaal verschil tussen en is dan gelijk aan .

Horizontaal verschil tussen  en is dan gelijk aan .

Dus is dan gelijk aan .

b

Driehoek is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras vind je dan de lengte van . Dus .

c

Het middelpunt is en dus: .

d

geeft .

: geeft .

Beide vergelijkingen combineren geeft en dus . (Vergelijking van de lijn door en .) Substitueer dit nu in (of ):

geeft en .
De snijpunten worden dan  en .

e

Raaklijn door en :

richtingscoëfficiënt: en dus .

Raaklijn door en :

richtingscoëfficiënt: en dus .

Opgave 14

De -coördinaat ligt op de middelloodlijn van beide punten van de cirkel die gegeven zijn. Dus .

Verder snijden beide raaklijnen aan de cirkel de -as onder een hoek van . Dus de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen zijn dan en .

Raaklijn 1: door geeft als raaklijn .

Raaklijn 2: door geeft als raaklijn .

Het middelpunt vind je nu door de loodlijnen op deze raakpunten met elkaar te snijden.

Loodlijn op raaklijn 1 heeft richtingscoëfficiënt en gaat door , dus vergelijking .

Loodlijn op raaklijn 2 heeft richtingscoëfficiënt en gaat door , dus vergelijking .

Snijd beide loodlijnen voor het middelpunt van de cirkel:

geeft .

Het middelpunt wordt dan .

Om de straal te berekenen gebruik je dit middelpunt en een van beide andere punten, bijvoorbeeld . Dan geldt .

Opgave 15Ingeschreven cirkel (1)
Ingeschreven cirkel (1)
a

Bereken de lengten van de drie zijden van de driehoek met behulp van de stelling van Pythagoras:

b

Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de drie middelloodlijnen van de zijden van de driehoek.

Middelloodlijn lijnstuk .

Middelloodljn lijnstuk .

Het middelpunt van de cirkel vind je dan door te substitueren in .

Je krijgt dan . Het middelpunt is dan .

Je zoekt de vergelijking van de ingeschreven cirkel . Dus je moet een punt hebben waar door heen gaat. Een van deze punten is , het snijpunt van de middelloodlijn van met lijnstuk . Dit snijpunt is .

De vergelijking van de cirkel die je zoekt is dan .

De cirkel gaat door en dus vind je .

De vergelijking van de cirkel wordt dan .

Opgave 16Ingeschreven cirkel (2)
Ingeschreven cirkel (2)

Breng de situatie eerst in beeld. Je ziet dan in dat het middelpunt van de cirkel die je zoekt gewoon de oorsprong is. De cirkelvergelijking die je zoekt heeft dus de vorm .

Wat je nog nodig hebt is een punt op de cirkel. Dit is, bijvoorbeeld, het snijpunt van de loodlijn door op lijnstuk .

Stel eerst een vergelijking op van de lijn voor en : .

De loodlijn door op is dan .

Het snijpunt vind je door de vergelijking op te lossen.

Je vindt .

De straal vind je dan met behulp van de stelling van Pythagoras: .

De vergelijking van de ingeschreven cirkel is dan

Opgave 17
a

b

Ongeveer .

c

en

Opgave 18

snijdt de y-as in en onder een hoek van ongeveer .

verder | terug