Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoeken
123456Raaklijnen en hoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De straal naar het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. Vanwege de symmetrie zijn beide hoeken tussen straal en raaklijn even groot, dus elk `90^@` .

b

De r.c. van `OQ` is `3/4` , die van de raaklijn dus `text(-) 4/3` .

Opgave 1
a

`x^2 +y^2 =25`

b

`a_(straal)=4/3`

c

`a_(raaklijn)=text(-)3/4`

d

`y=text(-)3/4x+6 1/4` .

e

`x=5`

Opgave 2

`y=text(-)3 x+10`

Opgave 3
a

`P(3,4 )` en `y=text(-)0,75 x+6,25` .

`Q (4,3 )` en `y=text(-)4/3 x+8 1/3` .

b

Ongeveer `8` °.

Opgave 4
a

`y=text(-)4/3 x+8 1/3`

b

Deze hoek is gelijk aan  `53,13` °.

c

Voor een richtingshoek hoef je alleen de richtingscoefficient van de straal te weten. Punt `B` is voldoende.

d

Bereken eerst de richtingscoëfficient `a_(rl)` van de straal `OA` . Dit is `text(-)3/4` .

Dit betekent dat de raaklijn in `A` een richtingscoëfficient heeft van `4/3` ; want `a_(rl)*a_s=text(-)1` .

De gevraagde raaklijn heeft dus de vorm `y=4/3x+b` en gaat door `A(text(-)4,3)` . Vul dit punt in en je krijgt `3=4/3*text(-)4+b` en dus `b=8 1/3` .

De raaklijn is dan `y=4/3x+8 1/3` .

De raaklijn `y=3/4 x+8 1/3` maakt een richtingshoek `α` met de `x` -as met `tan(α)=4/3` .
De richtingshoek is `α≈53,13` °. De lijn `y=0` heeft een richtingscoëfficiënt van `0` en een richtingshoek van `0` °. De hoek tussen beide lijnen is `53,13` °. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel. Deze hoek is dus gelijk aan de hoek die je bij punt `A` hebt gevonden.

Dit volgt overigens ook uit de symmetrie van de cirkel. Je had niet eens hoeven rekenen!

Opgave 5
a

`y=1/2*sqrt(21)*x-12,5`

b

Ongeveer `66,4` °.

Opgave 6
a

`x` -as: `O(0,0 )` en `A(2,0 )` , `y` -as: `O(0,0 )` en `B(0,4 )`

b

in `O:y=text(-)0,5 x` , in `A:y=0,5 x-1` , in `B:y=0,5 x+4`

c

`27` °

d

`63` °

Opgave 7

De snijpunten met de cirkel `c` zijn `A(1, 1 )` en `B(2, 2 )` .

De hoek tussen de raaklijn en lijn `l` is ongeveer `18,4` °.

Opgave 8

`A(text(-)1,3 )` en `B(1,3 )` ongeveer `63` °.

Opgave 9

`P(text(-)1, 3 )` en `Q(text(-)1, 1 )` ; ongeveer `18` °.

Opgave 10

`60` °

Opgave 11
a

`S_1 (0, text(-)5+sqrt(2))` en `S_2 (0, text(-)5-sqrt(2))`

b

`25` °

c

`19,29` °

Opgave 12
a

Snijpunten `(0, 1)` en `(0, 7)` en de gevraagde hoek is ongeveer `56,3` °.

b

Snijpunten `(0, 1)` en `(text(-)1, 2)` ; de gevraagde hoek is ongeveer `29,7` °.

Opgave 13

Hoek tussen lijnstuk `AB` en lijn `m` is `71,5` °.

Hoek tussen lijnstuk `AC` en `BC` is `71,5` °.

Beide hoeken zijn dus even groot.

Opgave 14
a

`| QM |=sqrt(10)`

b

`| QA |=| QB |=sqrt(5)`

c

`(x-1 ) ^2 + (y-4 ) ^2 =5`

d

`A(2,2 )` en `B(3,5 )`

e

`y=0,5 x+3,5` en `y=text(-)2 x+6`

Opgave 15

`M(3, 2 )` en `r=sqrt(8)`

Opgave 16
a

`| BC |=| AC |=| AB |=4`

b

`x^2+(y-2/3sqrt(3))^2=4/3` .`

Opgave 17

`x^2 +y^2 =3,2`

Opgave 18
a

`y=text(-)2/3 x`

b

Ongeveer `33,7` °.

c

`y=1,5 x+6,5` en `y=1,5 x-6,5`

Opgave 19

`( x-2)^2 +(y-6)^2 =20` snijdt de y-as in `( 0, 2 )` en `( 0, 10 )` onder een hoek van ongeveer `63,4` °.

verder | terug