De straal naar het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. Vanwege de symmetrie zijn beide hoeken tussen straal en raaklijn even groot, dus elk `90^@` .
De r.c. van `OQ` is `3/4` , die van de raaklijn dus `text(-) 4/3` .
Vergelijking raaklijn
`y = text(-)4/3 x + b`
.
Raaklijn door
`Q(4, 3)`
geeft
`b = 8 1/3`
.
Dus de raaklijn heeft vergelijking
`y = text(-) 4/3 x + 8 1/3`
.
`x^2 +y^2 =25`
`a_(text(straal))=4/3`
Gebruik `a_(text(straal))*a_(text(raaklijn))=text(-)1` .
Dan volgt `4/3*a_(text(raaklijn))=text(-)1` en dus `a_(text(raaklijn))=text(-)3/4` .
`y=text(-)3/4x+b` door het punt `P(3,4)` .
Dus `4=text(-)3/4*3+b` en `4=text(-)2 1/4+b` zodat `b=6 1/4` .
De raaklijn is dus `y=text(-)3/4x+6 1/4` .
`x=5`
`a_(text(straal))=1/3` en dus is `a_(text(rl))=text(-)3` .
Voor de raaklijn in `P` geldt dus `y=text(-)3x+b` en deze gaat door `(3, 1)` . Vul dit punt in:
`1=text(-)3*3+b` en `1=text(-)9+b` zodat `b=10` .
De raaklijn is dus `y=text(-)3x+10` .
Eerst snijpunten uitrekenen: `x+y=7` herleiden naar `y=text(-)x+7` en dit substitueren in `x^2+y^2=25` . Dit levert `x^2+(text(-)x+7)^2=25` en na haakjes wegwerken volgt `2x^2-14x+49=25` . Oplossen geeft `x=3 vv x=4` en dus zijn de snijpunten `P(3, 4)` en `Q(4, 3)` .
Raaklijn in `P` : `a_s =4/3` en dus `a_r =text(-)3/4` . De raaklijn wordt dan `y=text(-)3/4x+b` door `(3,4)` levert `y=text(-)3/4x+6 1/4` .
Raaklijn in `Q` : `a_s =3/4` en dus `a_r=text(-)4/3` . De raaklijn wordt dan `y=text(-)4/3x+b` door `(4,3)` levert `y=text(-)3/4x+8 1/3` .
In `P` : `a_r = text(-)3/4` dus is de hellingshoek ongeveer `arctan(text(-)3/4)~~text(-)36,9^@` .
In `Q` : `a_r = text(-)4/3` dus is de hellingshoek ongeveer `arctan(text(-)4/3)~~text(-)53,1^@` .
Dus de raaklijnen maken een hoek van `53,1^@ - 36,9^@ = 16,2^@` graden met elkaar.
De richtingscoëfficiënt van de straal `OB` is `3/4` .
Dit betekent dat de raaklijn in `B` een richtingscoëfficiënt heeft van `text(-)4/3` .
De gevraagde raaklijn heeft dus de vorm `y=text(-)4/3x+b` en gaat door `B(4, 3)` . Vul dit punt in en je krijgt `3=text(-)4/3*4+b` en dus `b=8 1/3` .
De raaklijn is `y=text(-)4/3x+8 1/3` .
De raaklijn
`y=text(-)4/3 x+8 1/3`
maakt een richtingshoek
`α`
met de
`x`
-as waarvoor geldt
`tan(α)=4/3`
.
De richtingshoek is
`α≈53,13^@`
. De lijn
`y=0`
heeft een richtingscoëfficiënt van
`0`
en een richtingshoek van
`0^@`
. De hoek tussen beide lijnen is
`53,13^@`
. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel.
Voor een richtingshoek hoef je alleen de richtingscoëfficiënt van de straal te weten. Punt `B` is voldoende.
De richtingscoëfficiënt van de straal `OA` is `text(-)3/4` .
De raaklijn in `A` heeft dus een richtingscoëfficiënt van `4/3` .
De gevraagde raaklijn heeft de vorm `y=4/3x+b` en gaat door `A(text(-)4, 3)` . Vul dit punt in en je krijgt `3=4/3*text(-)4+b` en dus `b=8 1/3` .
De raaklijn is dan `y=4/3x+8 1/3` .
De raaklijn
`y=3/4 x+8 1/3`
maakt een richtingshoek
`α`
met de
`x`
-as met
`tan(α)=4/3`
.
De richtingshoek is
`α≈53,13^@`
. De lijn
`y=0`
heeft een richtingscoëfficiënt van
`0`
en een richtingshoek van
`0^@`
. De hoek tussen beide lijnen is
`53,13^@`
. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel. Deze hoek is dus gelijk aan de
hoek die je bij punt
`A`
hebt gevonden.
Dit volgt overigens ook uit de symmetrie van de cirkel. Je had niet eens hoeven rekenen!
Snijpunten `x` -as: `y=0` geeft `(x-1)^2+(-2)^2=5` en `x=2` of `x=0` .
Snijpunten `O(0, 0)` en `A(2, 0)` .
Snijpunt `y` -as: `x=0` geeft `(-1)^2+(y-2)^2=5` en `y=0` of `y=4` .
Snijpunten `O(0, 0)` en `B(0, 4)` .
Het middelpunt `M` van de cirkel is `(1, 2)` Er zijn drie snijpunten met de assen: `O(0, 0)` , `A(2, 0)` en `B(0, 4)` .
Raaklijn in `O` : `a_s=2` en dus `a_r=text(-)1/2` . De raaklijn heeft dan de vorm `y=text(-)1/2 x+b` en gaat door `(0, 0)` zodat `b=0` . De raaklijn is dus `y=text(-)1/2 x` .
Raaklijn in `A` : `a_s=text(-)2` en dus `a_r=1/2` . De raaklijn heeft dan de vorm `y=1/2 x+b` en gaat door `(2, 0)` zodat `b=text(-)1` . De raaklijn is dus `y=1/2x-1` .
Raaklijn in `B` : `a_s=text(-)2` en dus `a_r=1/2` . De raaklijn heeft dan de vorm `y=1/2 x+b` en gaat door `(0, 4)` zodat `b=4` . De raaklijn is dus `y=1/2x+4` .
Het gaat om de hoek tussen de lijn `y=0` en de raaklijnen in `O` of in `A` . Vanwege de symmetrie is deze hoek in beide gevallen even groot, namelijk `arctan(1/2)~~27^@` .
Het gaat om de hoek tussen de raaklijn in `B` en de lijn `x=0` .
De hellingshoek van de raaklijn is
`arctan(1/2)~~27^@`
.
De gevraagde hoek tussen de raaklijn en de verticale lijn is dus
`90-27=63^@`
.
De vergelijking van de cirkel `c` is `(x-3)^2+y^2=r^2` en deze gaat door het punt `P(4, 2)` . Invullen geeft `(4-3)^2+2^2=r^2` zodat `1^2+2^2=r^2` en `r^2=5` .
Dus `c` : `(x-3)^2+y^2=5` .
Dan bereken je de coördinaten van `A` en `B` door `y=x` te snijden met de cirkel:
`(x-3)^2+x^2=5`
levert
`x^2-3x+2=0`
en
`(x-1)(x-2)=0`
zodat
`x=1 vv x=2`
.
De snijpunten zijn dan
`A(1, 1)`
en
`B(2, 2)`
.
Wegens symmetrie is de hoek tussen cirkel en raaklijn in `A` dezelfde als in `B` .
Raaklijn in `A` : `a_s=text(-)1/2` en dus `a_r=2` .
Hellingshoek `arctan(2)=63,4^@` Dit is de hoek tussen de raaklijn en een horizontale lijn `y=1` .
Gevraagd is echter de hoek tussen de raaklijn en lijn `l: y=x` . Lijn `l` maakt een hoek van `45^@` met `y=1` en dus is de gevraagde hoek `63,4^@-45^@=18,4^@` .
Snijpunten van `c_1` met `c_2` :
`c_1: x^2+y^2=10` en `c_2:x^2+y^2=8y-14` combineren geeft `8y-14=10` en dus `8y=24` en `y=3` .
Dit invullen in bijvoorbeeld `c_1` levert op: `x^2+9=10` en `x=+-1` . De snijpunten zijn `A(text(-)1, 3)` en `B(1, 3)` .
Neem snijpunt `B` .
Raaklijn aan cirkel `c_1` : `a_s=3` en dus `a_r=text(-)1/3` .
Hellingshoek van deze raaklijn is `arctan(text(-)1/3)~~text(-)18,4^@` .
Raaklijn aan cirkel `c_2` : vergelijking herleiden naar `x^2+(y-4)^2=2` (met behulp van kwadraat afsplitsen).
Het middelpunt van `c_2` is dus `M(0, 4)` , zodat `a_s = text(-1)` en `a_r = 1` .
Hellingshoek van deze raaklijn is `arctan(1)=45^@` .
De gevraagde hoek is dan `45^@ - text(-)18,4^@~~63^@` .
Ga zelf na dat je dezelfde hoek krijgt als je uit was gegaan van de raaklijnen in het andere snijpunt, `A` .
Vergelijking cirkel `c_1` : `(x-1)^2+(y-2)^2=5` .
Vergelijking cirkel `c_2` : `x^2+(y-2)^2=2` .
Snijpunten: beide vergelijkingen combineren geeft `x=text(-)1` en dus zijn de snijpunten `P(text(-)1, 3)` en `Q(text(-)1, 1)` .
Ga nu uit van het snijpunt `P(text(-)1,3)` .
De raaklijn aan `c_1` in `P` : `a_s=text(-)1/2` en dus `a_r=2` .
Deze raaklijn heeft een hellingshoek van `arctan(2)~~26,6^@` .
De raaklijn aan `c_2` in `P` : `a_s=text(-)1` en dus `a_r=1` .
Deze raaklijn heeft een hellingshoek van `arctan(1)~~45^@` .
De hoek tussen beide raaklijnen (en daarmee de hoek tussen beide cirkels) is dan `45^@-26,6^@~~18^@` .
Eerst de coördinaten van het snijpunt van `c` met `l` uitrekenen: `x^2+4=16` dus `x=+-sqrt(12)` .
De snijpunten zijn dan `A(text(-)sqrt(12), 2)` en `B(sqrt(12), 2)` .
De richtingscoëfficiënt van lijnstuk `OB` is dan `2/(sqrt(12))` en die van de raaklijn dus `text(-)1/2sqrt(12)` .
Voor de gevraagde hoek `alpha` geldt van `tan(alpha) = text(-)1/2sqrt(12)` en dus is `alpha = text(-)60^@` .
Snijpunten `y` -as: `9+(y-5)^2=10` geeft `y=4 ∨ y=6` .
De snijpunten zijn dus `S_1 (0, 4)` en `S_2 (0, 6)` .
Lijnstuk `MS_1` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)1/3` . De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dan `3` .
Als
`alpha`
de gevraagde hoek is, dan is
`tan(90^@ - alpha) = 3`
.
Dit geeft
`alpha ~~ 18,4^@`
.
De lijn `y=x` maakt een hoek van `45^@` met de `x` -as.
Snijpunten `y=x` met `c` uitrekenen:
`(x-3)^2+(x-5)^2=10` geeft `x=2 vv x=6` .
En de snijpunten zijn dan `A(2, 2)` en `B(6, 6)` .
De raaklijn in `A` wordt dan `y = text(-)1/3 x + 2 2/3` . Voor de hoek van die raaklijn met de `x` -as geldt `tan(alpha) = text(-)1/3` en dus `alpha ~~ text(-)18,4^@` .
De hoek de raaklijn en de lijn `y=x` is dan `45^@-text(-)18,4^@=63,4^@` .
Eerst vergelijkingen voor beide cirkels opstellen en de snijpunten berekenen:
`c_1: (x-2)^2+(y-4)^2=13` wordt `x^2 + y^2 = 4x + 8y - 7` .
`c_2: (x+2)^2+y^2=5` wordt `x^2 + y^2 = text(-)4x + 1` .
Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt krijg je `8x + 8y - 8 = 0` ofwel `y=text(-)x + 1` .
Dit invullen in één van beide cirkelvergelijkingen geeft `x = 0 vv x = text(-)1` .
De snijpunten zijn `A(0, 1)` en `B(text(-)1, 2)` .
Je kijkt nu bijvoorbeeld naar het snijpunt `A(0, 1)` .
De hoek tussen de raaklijnen in `A` is gelijk aan die tussen de stralen naar `A` .
`M_1 A` heeft richtingscoëfficiënt `3/2` en dus maakt de straal een hoek van `~~56,3^@` met de `x` -as.
`M_2 A` heeft richtingscoëfficiënt `1/2` den dus maakt de raaklijn een hoek van `~~26,6^@` met de `x` -as.
De hoek tussen beide cirkels is ongeveer `56,3^@-26,6^@=29,7^@` .
Raaklijn in `A` gaat door `A(text(-)2;1,5)` en heeft richtingscoëfficiënt `4/3` .
lijnstuk `AB` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)3/9` .
lijnstuk `BC` heeft een richtingscoëfficiënt van `2` .
lijnstuk `AC` heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)1` .
Maak een schets en bereken daarna pas de gevraagde hoeken!
De hoek tussen `m` en `AB` is `arctan(4/3) + arctan(3/9)~~53,1^@+ 18,4^@=71,5^@` .
Hoek `C` in `△ABC` is de hoek tussen lijnstuk `AC` en lijnstuk `BC` :
Hoek tussen `BC` en lijn evenwijdig aan `x` -as: `arctan(2)~~63,4^@` .
Hoek tussen `AC` en lijn evenwijdig aan `x` -as: `arctan(1)=45^@` .
Dus `∠C=180-63,4-45=71,5^@` .
En beide hoeken zijn inderdaad even groot.
Het middelpunt `M` van de cirkel is `(4, 3)` .
Verticaal verschil tussen `Q(1, 4)` en `M(4, 3)` is dan gelijk aan `4-3=1` .
Horizontaal verschil tussen `Q(1, 4)` en `M(4, 3)` is dan gelijk aan `4-1=3` .
Dus `|QM|` is dan gelijk aan `sqrt(3^2+1^2)=sqrt(10)` .
Driehoek `QMA` is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras vind je dan de lengte van `|QA|=10-5=5` . Dus `|QA|=|QB|=sqrt(5)` .
Het middelpunt is `Q(1, 4)` en `r=sqrt(5)` dus: `(x-1 ) ^2 + (y-4 ) ^2 =5` .
`c_2` : `(x-1 ) ^2 + (y-4 ) ^2 =5` geeft `x^2 + y^2 = 2x + 8y - 12` .
`c` : `(x-4 ) ^2 + (y-3 ) ^2 =5` geeft `x^2 + y^2 = 8x + 6y - 20` .
Beide vergelijkingen combineren geeft `6x-2y-8=0` en dus `y=3x-4` . (Vergelijking van de lijn door `A` en `B` .) Substitueer dit nu in `c_2` (of `c` ):
`(x-1 ) ^2 + (3x-4-4 ) ^2 =5`
geeft
`x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0`
en
`x=2 vv x=3`
.
De snijpunten worden dan
`A(2, 2 )`
en
`B(3, 5 )`
.
Raaklijn door `Q` en `A` :
richtingscoëfficiënt: `a_r=text(-)2` en `b=6` dus `y=text(-)2 x+6` .
Raaklijn door `Q` en `B` :
richtingscoëfficiënt: `a_r=1/2` en `b=3,5` dus `y=1/2 x+3,5` .
De `x` -coördinaat ligt op de middelloodlijn van beide punten van de cirkel die gegeven zijn. Dus `x=3` .
Verder snijden beide raaklijnen aan de cirkel de `x` -as onder een hoek van `45^@` . Dus de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen zijn dan `a_1=text(-)1` en `a_2=1` .
Raaklijn 1: ` y=x+b` door `(5, 0)` geeft als raaklijn `y=x-5` .
Raaklijn 2: `y=text(-)x+b` door `(1, 0)` geeft als raaklijn `y=text(-)x+1` .
Het middelpunt vind je nu door de loodlijnen op deze raakpunten met elkaar te snijden.
Loodlijn op raaklijn 1 heeft richtingscoëfficiënt `text(-)1` en gaat door `(5, 0)` , dus vergelijking `y=text(-)x + 5` .
Loodlijn op raaklijn 2 heeft richtingscoëfficiënt `1` en gaat door `(1, 0)` , dus vergelijking `y=x-1` .
Snijd beide loodlijnen voor het middelpunt `M` van de cirkel:
`x-1=text(-)x-5` geeft `x=3` .
Het middelpunt `M` wordt dan `(3, 2)` .
Om de straal te berekenen gebruik je dit middelpunt en een van beide andere punten, bijvoorbeeld `(1,0)` . Dan geldt `r=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)` .
Bereken de lengten van de drie zijden van de driehoek met behulp van de stelling van Pythagoras:
`|AC|=sqrt((2sqrt(3))^2+2^2)= 4`
`|BC|=sqrt((2sqrt(3))^2+2^2)= 4`
`|AB|=2-text(-)2=4`
Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de drie middelloodlijnen van de zijden van de driehoek.
Middelloodlijn lijnstuk `AB: x=0` .
Middelloodlijn lijnstuk `BC: y=1/3sqrt(3)*x+2/3sqrt(3)` .
Het middelpunt van de cirkel vind je dan door `x=0` te substitueren in ` y=1/3 sqrt(3)*x+2/3 sqrt(3)` .
Je krijgt dan `y=2/3sqrt(3)` . Het middelpunt `M` is dan `(0, 2/3 sqrt(3))` .
Je zoekt de vergelijking van de ingeschreven cirkel `c` . Dus je moet een punt hebben waar `c` door heen gaat. Een van deze punten is `E` , het snijpunt van de middelloodlijn van `BC` met lijnstuk `BC` . Dit snijpunt is `E(1, sqrt(3))` .
De vergelijking van de cirkel die je zoekt is dan `x^2+(y - 2/3 sqrt(3))^2=r^2` .
De cirkel gaat door `E(1, sqrt(3))` en dus vind je `r^2=4/3` .
De vergelijking van de cirkel wordt dan `x^2+(y-2/3 sqrt(3))^2=4/3` .
Breng de situatie eerst in beeld. Je ziet dan in dat het middelpunt van de cirkel die je zoekt gewoon de oorsprong `O(0, 0)` is. De cirkelvergelijking die je zoekt heeft dus de vorm `x^2+y^2=r^2` .
Wat je nog nodig hebt is een punt op de cirkel. Dit is, bijvoorbeeld, het snijpunt `F` van de loodlijn door `O` op lijnstuk `BC` .
Stel eerst een vergelijking op van de lijn voor `B` en `C` : `y=text(-)2x+4` .
De loodlijn door `O(0, 0)` op `BC` is dan `y=1/2 x` .
Het snijpunt `F` vind je door de vergelijking `text(-)2x+4=1/2x` op te lossen.
Je vindt `F(1,6; 0,8)` .
De straal vind je dan met behulp van de stelling van Pythagoras: `r^2=1,6^2+0,8^2=3,2` .
De vergelijking van de ingeschreven cirkel is dan `x^2+y^2=3,2` .
`y=text(-)2/3 x`
Ongeveer `33,7^@` .
`y=1,5 x+6,5` en `y=1,5 x-6,5`
`( x-2)^2 +(y-6)^2 =20` snijdt de y-as in `( 0, 2 )` en `( 0, 10 )` onder een hoek van ongeveer `63,4^@` .