Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoeken
123456Raaklijnen en hoeken

Voorbeeld 1

De lijn `l: y=3` snijdt de cirkel `c: x^2 +y^2 =25` . Bereken de hoek die `l` en `c` met elkaar maken.

> antwoord

Eerst bereken je beide snijpunten: Subsitueer hiertoe `y=3` in de cirkelvergelijking `x^2+y^2=25` . Dan vind je `x^2+3^2=25` . Uitwerken geeft `x=+-4` en dus zijn de snijpunten `A(text(-)4, 3 )` en `B(4, 3 )` . De cirkel heeft middelpunt   `O(0, 0 )` .
Nu ga je de vergelijking van de raaklijn opstellen in (bijvoorbeeld) `B` .
Omdat `OB` een richtingscoëfficiënt van `3/4` heeft, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn `text(-)4/3` .
Deze raaklijn maakt dus een richtingshoek `α` met de `x` -as met `tan(α)=4/3` .
De richtingshoek is `α≈53,13` °. De lijn `y=0` heeft een richtingscoëfficiënt van 0 en een richtingshoek van `0` °. De hoek tussen beide lijnen is `53,13` °. Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel.

Opgave 4

Gegeven is de cirkel `c: x^2+y^2=25` , de lijn `l: y=3` en de snijpunten `A(text(-)4, 3)` en `B(4, 3)` van `l` met `c` . Zie voorbeeld 1.

a

Stel een vergelijking op van de raaklijn in punt `B` aan de cirkel.

b

Bereken de hoek tussen de cirkel `c` lijn `l` .

c

Waarom heb je in het voorbeeld die vergelijking van de cirkel niet nodig?

d

Laat zien dat de hoek tussen `l` en `c` in het punt `A(text(-)4, 3 )` hetzelfde is.

Opgave 5

Gegeven is de cirkel `c:x^2+y^2=25` en de lijn `l:y=text(-)2` .

a

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan `c` aan het rechtsersnijpunt van `c` met `l` .

b

Bereken de hoek tussen `l` de cirkel `c` .

Opgave 6

Gegeven de cirkel `c: (x-1 ) ^2 + (y-2 ) ^2 =5` .

a

Bereken de snijpunten van `c` met de coördinaatassen.

b

Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen aan de cirkel `c` in de snijpunten met de assen.

c

Bereken de hoek waaronder `c` de `x` -as snijdt in graden nauwkeurig.

d

Bereken de hoek waaronder `c` de `y` -as snijdt in graden nauwkeurig.

Opgave 7

De lijn `l` met vergelijking `y=x` en de cirkel `c` middelpunt `M(3, 0 )` en door het punt `P(4, 2 )` snijden elkaar in `A` en `B` . Bereken de hoek waaronder `l` en `c` elkaar snijden in graden nauwkeurig. Rond af op één decimaal achter de komma.

verder | terug