Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoeken
123456Raaklijnen en hoeken

Voorbeeld 2

De twee cirkels `c_1` : `x^2 + y^2 =5` en `c_2` : `x^2 + y^2 =6x - 1` snijden elkaar in de punten `A` en `B` . Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.

> antwoord

Eerst bereken je de snijpunten `A(1, 2)` en `B(1, text(-)2)` .
Dan stel je de raaklijn aan `c_1` en die aan `c_2` op in één van die punten, zeg `A` .

  • Het middelpunt van `c_1` is `O(0, 0)` en `OA` heeft als richtingscoëfficiënt `2` . Dus `a_s=2` . De raaklijn aan `c_1` in `A` heeft als richtingscoëfficiënt `text(-)0,5` , dus `a_(rl)=text(-)0,5` .
    Deze raaklijn maakt een hoek van `arctan(0,5)~~26,6` ° met de `x` -as.

  • Herleid `c_2` naar `x^2+(x-3)^2=8` met behulp van kwadraatafsplitsen. Het middelpunt van `c_2` is `M(3, 0)` en `MA` heeft als richtingscoëfficiënt `text(-)1` . Dus `a_s=text(-)1` . De raaklijn aan `c_2` in `A` heeft als richtingscoëfficiënt `1` , dus `a_(rl)=1` .
    Deze raaklijn maakt een hoek van `arctan(1)=45` ° met de `x` -as.

`45° + 26,6° ~~ 72^@`

De hoek tussen de raaklijnen is hetzelfde als de hoek tussen beide stralen naar het raakpunt. De berekening had daarom wel korter gekund. 

Opgave 8

De twee cirkels `c_1 :x^2 +y^2 =10` en `c_2 :x^2 +y^2 =8 y-14` snijden elkaar in de punten `A` en `B` . Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.

Opgave 9

De cirkel `c_1` met middelpunt `M_1 (1, 2 )` en straal `sqrt(5)` en de cirkel `c_2` met middelpunt `M_2 (0, 2 )` en straal `sqrt(2)` snijden elkaar in de punten `P` en `Q` . Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.

verder | terug