Hoeken en afstanden > Raaklijnen en hoeken
123456Raaklijnen en hoeken

Uitleg

In de figuur zie je dat de raaklijn in `P` aan de cirkel loodrecht staat op de straal `OP` . De raaklijn aan een cirkel staat altijd loodrecht op de straal naar het raakpunt `P` . Dit is een eigenschap van een raaklijn aan de cirkel.

Met behulp van symmetrie is dat snel duidelijk te maken. De hele figuur van cirkel en raaklijn is namelijk spiegelsymmetrisch t.o.v. de lijn door het middelpunt `O` van de cirkel en het raakpunt `P` . Dit betekent dat de twee hoeken bij `P` waarvan de raaklijn het éne been en de straal `OP` het andere been is even groot moeten zijn. Maar ze zijn ook samen `180` °. Dus zijn ze elk `90` °.

Dit kun je gebruiken om een vergelijking op te stellen van een raaklijn als het raakpunt bekend is. De richtingscoëfficiënt `a_(straal)` van de straal naar het raakpunt kun je immers berekenen vanuit de coördinaten van middelpunt en raakpunt. Dus `a_(straal)` volgt uit de gegevens.
Omdat raaklijn en straal loodrecht op elkaar staan geldt: `a_(straal)*a_(raaklijn) =text(-)1` .
Hiermee bepaal je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, `a_(raaklijn)` . Omdat de coördinaten van het raakpunt `P` gegeven zijn kun je nu een vergelijking van de raaklijn opstellen.

Opgave 1

Gegeven is een cirkel met middelpunt `O(0,0)` en het punt `P(3,4)` . Zie ook de figuur in de uitleg.

a

Wat is de vergelijking van cirkel `c` ?

b

Welke richtingscoëfficiënt heeft lijn `OP` nu?

c

Welke richtingscoëfficiënt heeft de raaklijn in `P` aan cirkel `c` nu?

d

Welke vergelijking heeft die raaklijn?

e

Welke vergelijking heeft de raaklijn in `P(5,0 )` aan de cirkel?

Opgave 2

Op de cirkel `c` met vergelijking `x^2 +y^2 =10` ligt het punt `P(3, 1 )` . Stel een vergelijking op van de raaklijn door `P` aan cirkel `c` .

Opgave 3

De lijn `l:x+y=7` snijdt de cirkel `c:x^2 +y^2 =25` in twee punten `P` en `Q` .

a

Bereken deze punten en stel in beide punten de vergelijking op van de raaklijn aan de cirkel door dat punt.

b

Bereken in beide gevallen de hoek tussen de raaklijn en `l` , in gehele graden nauwkeurig.

verder | terug