Hoeken en afstanden > Afstanden berekenen
123456Afstanden berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De lijn `l` kun je schrijven als `l:y=text(-)1/2x+4` en teken deze lijn (b.v. met GeoGebra). Maak een lijn `m` door `A` en loodrecht op `l` . Deze lijn wordt gegeven door `m: y=2x-1` .

Het punt `S(2, 3)` is het snijpunt van `l` en `m` .  Bereken vervolgens `|AS|` : `sqrt((2-3)^2+(3-5)^2)=sqrt(5)` .

Dan is de afstand tussen `A` en `l` gelijk aan `|AS|=sqrt(5)` .

Opgave 1

De lijn `l` kun je schrijven als `l:y=text(-)2/3x+2` .
Maak een lijn `m` door `P` en loodrecht op `l` . Deze lijn wordt gegeven door `m: y=3/2x-1/2` .

Het punt `Q(15/13, 16/13)` is het snijpunt van `l` en `m` .
Bereken vervolgens `|PQ|` : `sqrt((3-15/13)^2+(4-16/13)^2)=sqrt(144/13)` .

Dan is de afstand tussen `P` en `l` gelijk aan `|PQ|=(12sqrt(13))/13~~3,33` .

Opgave 2

Maak een lijn `n` door `P` en loodrecht op `m` . Deze lijn wordt `n: y=2x+5` .

Het punt `Q(2, 9)` is het snijpunt van `m` en `n` . Bereken vervolgens `|PQ|` :

`sqrt((0-2)^2+(5-9)^2)=sqrt(20)=2sqrt(5)` .

Opgave 3

Eerst de hoogtelijn uit `A` :

De vergelijking van `BC` is `y=text(-)2/3 x + 14/3` . De vergelijking van de hoogtelijn uit `A` is `y=3/2 x` . Noem het snijpunt van `BC` met de hoogtelijn `P` . Bereken de coördinaten van `P` : `(28/13, 42/13)` . Zo is `|AP|=sqrt((28/13-0)^2+(42/13-0)^2)~~3,88` .

De hoogtelijn uit `B` :

De vergelijking van `AC` is `y=4x` . De vergelijking van de hoogtelijn uit `B` is `y=text(-)1/4 x + 3` . Noem het snijpunt van `AC` met de hoogtelijn `Q` . Bereken de coördinaten van `Q` : `(12/17, 48/17)` . Zo is `|BQ|=sqrt((12/17-4)^2+(48/17-2)^2)~~3,40` .

Opgave 4

Oefen jezelf.

Opgave 5

De lijn van `P` loodrecht op `l` noem je bijvoorbeeld `m` . Dan is `m: y = text(-)0,6x + 0,4` of `m: 5y+3x=2` . Het snijpunt `Q` van `l` met `m` is `Q(90/17, text(-)20/17)` . Zo is `|PQ|=sqrt((90/17-25)^2+(text(-)20/17-text(-)13)^2)~~22,98` .

Opgave 6
a

De afstand van `O` tot cirkel `c` is simpelweg het eerste punt waar de lijn `OM` de cirkel snijdt. Hierbij is `M` het middelpunt van de cirkel.

Noem het middelpunt van de cirkel `M(5, 4)` . Dan is de vergelijking van de lijn `OM: y=4/5 x` .

`OM` snijdt `c` in `S` en `T` . Nu zou je de coördinaten van `S` kunnen achterhalen om `|OS|` uit te rekenen, maar dat is wat omslachtig. Je kunt beter `|OM|` berekenen, dan is `|OS|=|OM|-sqrt(10)` , want de straal van `c` is `sqrt(10)` .

`|OM|=sqrt(4^2+5^2)=sqrt(41)` , dus `|OS|=sqrt(41)-sqrt(10)~~3,24` .

b

De afstand tussen het snijpunt van de lijn `m` door het middelpunt `M` van de cirkel en loodrecht op `l` , met lijn `l` en het snijpunt van `m` met de cirkel.

De lijn van `M` loodrecht op `l` noem je `m` . Dan is `m:y=x-1` . Het snijpunt `Q` van `l` met `m` is `Q(3/2, 1/2)` . Zo is `|MQ|=sqrt((5-3/2)^2+(4-1/2)^2)=sqrt(49/2)` .

Hiermee kun je de afstand tussen `l` en `c` berekenen door de straal van `c` van `|MQ|` af te trekken: `sqrt(49/2)-sqrt(10)~~1,79` .

c

Je gebruikt hier de afstand `|OS|` uit a. Hier hoef je alleen nog de straal van cirkel `k` van af te trekken. Deze straal is `sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)` . Dus de afstand tussen cirkels `c` en `k` is `sqrt(41)-sqrt(10)-sqrt(2)~~1,83` .

Opgave 7

Lijn `l` kan je herleiden tot `l: y=7/4-1/2x` . Zo zie je dat de lijnen parallel zijn. Een lijn `n` door `O` , loodrecht op `l` en `m` , heeft de vergelijking `n: y=2x` .

Zeg dat `n` en `l` en `n` en `m` elkaar snijden in `P` en `Q` , respectievelijk. Met wat rekenwerk kom je op `P(7/10, 7/5)` en `Q(12/5, 24/5)` .

De afstand tussen `l` en `m` is dus:

`|PQ|=sqrt((7/10-12/5)^2+(7/5-24/5)^2)~~3,80` .

Opgave 8

Alleen als beide lijnen evenwijdig lopen, anders is de afstand `0` , omdat ze elkaar snijden.

Opgave 9
a

Door punt `P` gaat de lijn `m: y=text(-)5/4x+11/2` , die loodrecht staat op `l` . Het snijpunt van lijn `l` en `m` is `Q(270/41, text(-)112/41)` .

De afstand `|PQ|` is dus: `sqrt((270/41-2)^2+(text(-)112/41-3)^2)~~7,34` .

b

Het middelpunt van cirkel `c` is `M(text(-)3, text(-)4)` , en de straal is `4` . De afstand tussen `P` en `c` is dus `|PM|-4` , ofwel `sqrt((2-text(-)3)^2+(3-text(-)4)^2)-4~~4,60` .

c

Door middelpunt `M(text(-)3,text(-)4)` gaat de lijn `n: y=text(-)5/4x-31/4` , die loodrecht staat op `l` . Het snijpunt van `l` en `n` is `R(5/41, text(-)324/41)` . Omdat de cirkel een straal `4` heeft is de afstand tussen `l` en `c` gelijk aan `|MR|-4` :

`sqrt((5/41-text(-)3)^2+(text(-)324/41-text(-)4)^2)-4~~1,00` .

Opgave 10

De lijn `y=text(-)1/4 x` gaat door `O(0, 0)` en staat loodrecht op alle drie de lijnen.

Snijpunt met `m` : `A(48/17, text(-)12/17)` en `d(O, m) = |OA| = 12/17 sqrt(17) ~~ 2,91` .

Snijpunt met `n` : `B(text(-)88/17, 22/17)` en `d(O, n) = |OB| = 22/17 sqrt(17) ~~ 5,34` .

Snijpunt met `l` : `C(text(-)20/17, 5/17)` en `d(O, l) = |OC| = 5/17 sqrt(17) ~~ 1,21` .

Nu kun je nagaan dat `|AC| = |BC|` .

Opgave 11
a

`c_1` heeft middelpunt `M_1(text(-)3, text(-)4)` en straal `5` . De afstand tussen `c_1` en `c_2` is dus:

`|M_1 M_2|-5-1 = sqrt((text(-)3-2)^2+(text(-)4-1)^2)-6~~1,07` .

b

`c_1` heeft middelpunt `M_1(text(-)3, text(-)4)` en straal `5` . De afstand tussen `c_1` en `c_2` is dus:

`|M_1 M_2|-5-1 = sqrt((text(-)3-2)^2+(text(-)4-3)^2)-6~~2,60` .

c

`c_1` en `c_2` snijden elkaar, dus de afstand tussenbeide is `0` .

Opgave 12

De hoogtelijn door `A` :

De lijn `BC` heeft de vergelijking `y=text(-)3/4x+11` . De hoogtelijn door `A` heeft dus richtingscoëfficiënt `4/3` , en is van de vorm `y=4/3x+b` . `A` invullen geeft `y=4/3x-4/3` .

De hoogtelijn door `B` :

De lijn `AC` heeft de vergelijking `y=2/11x-2/11` . De hoogtelijn door `B` heeft dus richtingscoëfficiënt `text(-)11/2` , en is van de vorm `y=text(-)11/2x+b` . `B` invullen geeft `y=text(-)11/2x+30` .

De hoogtelijn door `C` :

De lijn `AB` heeft de vergelijking `y=8/3x-8/3` . De hoogtelijn door `C` heeft dus richtingscoëfficiënt `text(-)3/8` , en is van de vorm `y=text(-)3/8x+b` . `C` invullen geeft `y=text(-)3/8x+13/2` .

Opgave 13
a

De vergelijking van lijn `QR` is `y=x-28` . De lijn die loodrecht op `QR` staat en door `P` gaat heeft de vergelijking `y=text(-)x+17` . Dit is de hoogtelijn uit `P` . De hoogtelijn snijdt het verlengde van `QR` in `S(45/2, text(-)11/2)` .

Dan is `|PS|=sqrt((12-45/2)^2+(5-text(-)11/2)^2)~~14,85` .

b

De oppervlakte van driehoek `PQR` kun je hier het best berekenen met `1/2*|PS|*|QR|` , waarbij `|PS|=sqrt(441/2)` de lengte van de hoogtelijn uit `P` is die je bij a al had berekend.

Zo is `|QR|=sqrt((35-40)^2+(7-12)^2)=sqrt(50)` , en dus `1/2*|PS|*|QR|=52,5` .

Opgave 14Hoogte berekenen vanuit oppervlakte
Hoogte berekenen vanuit oppervlakte
a

Teken driehoek `ABC` op een rooster. Door tellen (of inlijsten) zie je dat de driehoek in totaal `11` hokjes beslaat, en een oppervlakte van `11` heeft.

b

`|AB|=sqrt((1-5)^2+(0-2)^2)=sqrt(20)=2sqrt(5)`

c

Bereken de oppervlakte van driehoek `ABC` met `1/2*|AB|*|CD|` . De oppervlakte en `|AB|` zijn bij a en b al bepaald. Schrijf dit om naar:

`|CD|=11/(1/2*2sqrt(5))=(11sqrt(5))/5`

d

Teken eventueel de situatie.

De beste coördinaten voor `A` en `B` op `l` zijn `A(2, 4)` en `B(5, 10)` . Zo is de oppervlakte van driehoek `ABP` gemakkelijk te berekenen:
`1/2*|AP|*|BP|=1/2*6*3=9`

Nu is `|AB|=sqrt((2-5)^2+(4-10)^2)=sqrt(45)=3sqrt(5)` .
De lengte van de hoogtelijn uit `P` is:
`|PS|=9/(1/2*3sqrt(5))=(6sqrt(5))/5`

Opgave 15

Ongeveer `1,70` .

Opgave 16

Ongeveer `4,66` .

verder | terug