Het probleem wordt dan tweedimensionaal.

Bekijk het zijvlak `BCT` met `Q` het midden van `BC` . In `Delta BQT` geldt `QT = sqrt(20^2 - 10^2) = sqrt(300)` .

Omdat `|TM| =|TS|-|MS|= sqrt((sqrt(300))^2-10^2) -r= sqrt(200)-r` .

Omdat `/_MTR=/_QTS` en `/_MRT=/_QST` , dus alle hoeken zijn gelijk.

Vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken `QST` en `MRT` is: `r/10 = (sqrt(200) - r)/(sqrt(300))` . Hieruit volgt `r ~~ 5,18` .

Je krijgt zo een tweedimensionale voorstelling van de afstand tussen de bol en de ribben.

Teken driehoek `ACT` met de juiste afmetingen met hoogtelijn `TS` er in.
Het middelpunt `M` ligt `~~5,18` cm boven `S` .

Teken een lijn door `M` en bijvoorbeeld loodrecht op `AT` .
Deze lijn snijdt de cirkel in `K` en `AT` in `L` .
Je moet dan `|KL| = |ML| - |MK| ~~ |ML| - 5,18` berekenen.

Zie de figuur bij c.

Je ziet dat driehoeken `MLT` en `AST` gelijkvormig zijn. Dus je kunt zeggen `|ML|/|MT|=|AS|/|ST|` .

Je weet dat `|AT|=20` en `|AS|=sqrt(200)` . Je weet ook dat `|MT|=sqrt(200)-r` en je hebt al eerder berekend dat `r~~5,18` .

Invullen levert  `(|ML|)/(sqrt(200)-5,18)=sqrt(200)/20` , waaruit volgt `|ML| ~~ 6,34` en `|KL| ~~ 1,16` .

Zie de figuren bij a.

Zie de figuur bij het antwoord op deelvraag b.

Je weet algauw dat `|TS|=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8` . Je ziet ook dat driehoek `SBT` gelijkvormig is met driehoek `YBL` . Zo kan je met `|BS|/|TS|=|BY|/|LY|` achterhalen dat `|LY|=3,6/4,8*2,5=1,875` . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met `|XY|=7,2-2*|LY|=3,45` .

Zie de figuur bij het antwoord op b.

Je weet al dat `|TS|=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8` . Je ziet ook dat driehoek `SRT` gelijkvormig is met driehoek `ZRN` . Zo kan je met `|RS|/|TS|=|RZ|/|NZ|` achterhalen dat `|RZ|=10/4,8*2,5~~5,21` . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met `|SZ|=10-|RZ|=4,79` .

Op de uitslag heeft driehoek `ABT` een grondvlak `|AB|` met een geschaalde breedte van `3,6` cm en hoogte van `3` cm. `|BC|` is geschaald `5` cm, enzovoorts.

Oppervlakte driehoek `ABT=1/2*7,2*4,8=17,28` .

Oppervlakte driehoek `BCT=1/2*10*6=30` .

Nou is `|TC|=sqrt(10^2+6^2)=sqrt(136)` , dus de hoogte van driehoek `CDT` is `sqrt(136-3,6^2)=sqrt(123,04)` .

De oppervlakte driehoek `CDT=1/2*sqrt(123,04)*7,2~~39,93` .

De oppervlakte van het dak is dus `17,28+2*30+39,93=117,21` m².

Je ziet algauw dat `|AC|=sqrt(10^2+10^2)=sqrt(200)=10sqrt(2)` . Met de top `T` op `x=0` liggen `A` en `B` daar `1/2|AC|` aan weerszijden van op de `x` -as, dus `A=(text(-)5sqrt(2),0)` en `C=(5sqrt(2),0)` .

`CT` heeft de vergelijking `y=text(-)(2sqrt(2))/5x+4` . De middelloodlijn van `CT` heeft richtingscoëfficiënt `(5sqrt(2))/4` , en gaat door `((5sqrt(2))/2, 2)` .

Zo kom je op de vergelijking voor de middelloodlijn: `y=(5sqrt(2))/4x-4,25` .

`x=0` invullen in de vergelijking voor de middelloodlijn geeft `y=text(-)4,25` . Dus `M=(0; text(-)4,25)` .

De straal is de afstand `|MT|=4+4,25=8,25` .

In beide driehoeken is `/_T` hetzelfde, en er zit een rechte hoek in, dus de derde hoek is bij beiden meteen ook gelijk. Dus de driehoeken zijn gelijkvormig.

De verhouding die je bekijkt is `|TC|/|TO|=|TM|/|TS|` .

Je weet dat `|TO|=4` . Verder is:

`|TC|=sqrt((5sqrt(2))^2+4^2)=sqrt(66)`

`|TS|=1/2 |TC|=1/2 sqrt(66)`

Dus `|TM|=|TC|/|TO|*|TS|=sqrt(66)/4*1/2sqrt(66)=66/8=8,25` .

Maak een hulplijn in het verlengde van `BC` . Maak op deze hulplijn een loodlijn door `G` , en noem het snijpunt `S` . Je hebt nu twee rechthoekige driehoeken `CSG` en `BSG` .

Allereerst bekijk je driehoek `CSG` . Hierbij is `|CS|=1,5` , en dus is `|GS|=sqrt(6^2-1,5^2)=sqrt(33,75)` .

In driehoek `BSG` zie je dat `|BS|=2,5` , dus `|BG|=sqrt(2,5^2+33,75)=sqrt(40)=2sqrt(10)` .

Bekijk doorsnede `ADGF` . Hierbij is `|AF|=|BG|=2sqrt(10)` . Verder doe je hetzelfde als bij a: je maakt een hulplijn in het verlengde van `AD` , je zet hier een loodlijn op door `G` en je noemt het snijpunt `P` .

Dan is `|GP|=sqrt(40-1,5^2)=sqrt(37,75)` , en `|AG|=sqrt(37,75+2,5^2)=sqrt(44)=2sqrt(11)` .

Door gelijkvormigheid is `|BE|=|BG|=2sqrt(10)` .

Cosinusregel: `40=16+36-2*4*6*cos(/_BAE)` , ofwel `cos(/_BAE)=1/4` en `/_BAE~~75,52^@` .

In driehoek `AGC` heb je al bepaald dat `|AG|=2sqrt(11)` .
Je weet dat `|GC|=6` . Verder is `|AC|=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17)` .
Voor `/_AGC` gebruik je weer de cosinusregel:

`17=44+36-2*2sqrt(11)*6*cos(/_AGC)` , ofwel `cos(/_AGC)=63/(24sqrt(11))` , en dus `/_AGC~~37,68^@` .

De richtingscoëfficiënt van `BC` is `text(-)1/2` , en het snijpunt met de `y` -as is `(0, 4)` .
Zo is `BC` : `y=text(-)1/2x+4` .

De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is `2` , en hij gaat door het punt `(4, 2)` . De vergelijking van de middelloodlijn is dus `y=2x-6` .

Het snijpunt van de middelloodlijn met de `x` -as is `(3, 0)` , en dat is het middelpunt van de cirkel. De straal is dus `8-3=5` .

Bekijk in het `Oxy` -stelsel alleen de rechter cirkel. Trek een lijn op hoogte `y=4` . Deze lijn snijdt de cirkel in `C` , en ook in `S(6, 4)` .

Trek nu een lijn loodrecht op de `x` -as, door `S` . Het snijpunt van deze lijn met de `x` -as is `P(6, 0)` . Je ziet nu dat het gevraagde vloeroppervlak gelijk is aan `2*6*12=144` m².

Bekijk eerst de rechter cirkel. Noem de hoek die de cirkel maakt met de `y` -as `/_C` . Dan is de hoek die de twee cirkels in `C` met elkaar maken `2 * /_C` .

Nu is `/_C` gelijk aan de hoek die lijn `CM_2` maakt met de `x` -as, want de raaklijn door `C` staat loodrecht op `CM_2` . Dus `tan(/_C)=4/3` , en `/_C~~53,13^@` .

De hoek die de twee cirkels met elkaar maken in `C` is dus `106,26^@` .

Dit los je op door driehoek `EGH` te bekijken en de cosinusregel te gebruiken.

In vierhoeken `ADHE` en `CDHG` kun je `|EH|` en `|HG|` bepalen: `|EH|=|HG|=sqrt(4^2+3^2)=5` . Verder is `|EG|=|AC|=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)` .

Nu is `32=25+25-2*5*5*cos(/_EHG)` , ofwel `cos(/_EHG)=18/50` en dus is `/_EHG~~68,90^@` .

Schets driehoek `EGH` , met de hoogtelijn door `G` . Noem het snijpunt van `EH` en de hoogtelijn `S` . Uit het antwoord bij a weet je `/_H~~68,90^@` , en `|HG|=5` .

`sin(/_H)=|GS|/|HG|` geeft `|GS|=5*sin(/_H)~~4,66` .

Middelpunt `M(0, 9)` en de straal is `3` . Dus de vergelijking is `x^2+(y-9)^2=9` .

Maak een schets van de situatie. `B` is op een hoogte van `8` dm boven de grond. Trek een lijn loodrecht op `MD` door `B` , en noem het snijpunt `S` . Dan is `|MS|=1` , en `|BS|=sqrt(9^2-1^2)~~8,94` dm.

Maak een schets van de situatie. De afstand van `B` tot `PD` is zo groot mogelijk als `BM` loodrecht op `PD` staat. Trek een lijn loodrecht op het verlengde van `AP` door `B` . Noem het snijpunt `R` .

Dan is `|BR|=9` , en `|AR|=sqrt(18^2-9^2)=9sqrt(3)` . Je ziet dan dat `|PA|=9sqrt(3)-9~~6,59` dm.

Maak een schets van de situatie (foto 4) waarin `AC` een rechte lijn is. Trek ook een loodrechte lijn op de muur door het punt `A` . Het snijpunt van deze lijn met de muur noem je `S` . Je weet dat `|BS|=280-250=30` cm en `|CS|=120` cm.

Er geldt `|AS|=sqrt(100^2-30^2)=sqrt(9100)` en daarmee is `|AC|=sqrt(9100+120^2)~~153,30` cm.

Noem de hoek van de cirkelboog die `A` aflegt `alpha` . Dan is `cos(180^@-alpha)=30/100` , dus `alpha~~107,46^@` .

De lengte van de cirkelboog is dan `(pi*alpha*|AB|)/180~~187,55` cm.

Maak een schets van de situatie. Trek een loodrechte lijn op de muur door `A` . Noem het snijpunt van deze lijn met de muur `P` . Dan is `|BP|=20` cm en `|AP|=sqrt(100^2-20^2)~~97,98` cm.

Maak een schets van de situatie. Trek een loodlijn op `AB` door `C` , en noem het snijpunt `Q` . Dan is `|CQ|=a` , en in driehoek `BCQ` is  `sin(beta)=a/90` , en dus is `a=90sin(beta)` .

`a=90sin(beta)` , dus `sin(beta)=45/90=1/2` , en `beta=30^@` .

Noem de afstand van punt `A` tot de muur `b` . Dan is `sin(beta)=b/|AB|` , en dus `b=100*1/2=50` cm.

Het midden van `EF` is punt `S` . `Delta PSQ` is rechthoekig met rechthoekszijden `|PS| = 3` en `|SG|=sqrt(3^2+6^2)=sqrt(45)` . Dus `|PG| = sqrt(3^2+45)~~7,3` .

Je bekijkt de vierhoek `BGQP` . Deze vierhoek is een gelijkbenig trapezium. Verder is:

`|BG|=sqrt(6^2+6^2)=6sqrt(2)` en `|PQ|=|PB|=|QG|=sqrt(3^2+3^2)=3sqrt(2)` .

Trek een loodlijn op `BG` door `P` . Noem het snijpunt `S` . Dan is `|BS|=(3sqrt(2))/2` . In driehoek `PBS` is `sin(/_BPS)=|BS|/|PB|=1/2` , dus `/_BPS=30^@` .

En dus `/_BPQ=30+90=120^@` .

`P(0, 3)` en `Q(6, 3)` . Het midden van `CD` is `T(6, 0)` .

Teken een lijn door `T` en loodrecht op `PQ` , het snijpunt is `U` .

`TU` is het gevraagde lijnstuk.

Zie de figuur in het antwoord bij c.
`PQ` : `y = x + 3` en `TU` : `y = text(-)x + 6` .
Snijpunt `U` is `(1,5; 4,5)` .
De gevraagde lengte is `|TU|=sqrt(4,5^2+4,5^2)~~6,4` .

Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van `PQ` en `QR` . De middelloodlijn van `PQ` heeft de vergelijking `y=text(-)x+6` . De middelloodlijn van `QR` heeft de vergelijking `x=4,5` . Middelpunt `M` heeft dus de coördinaten `(4,5; 1,5)` .

De straal van de cirkel is `|PM|=sqrt(1,5^2+4,5^2)=sqrt(22,5)` .

De vergelijking van de cirkel is dus `(x-4,5)^2+(y-1,5)^2=22,5` .

Bekijk driehoek `PQM` . Hierin is `|PQ|=3sqrt(2)` , en `|PM|=|QM|=sqrt(22,5)` .

Cosinusregel `|PQ|^2=|PM|^2+|QM|^2-2*|PM|*|QM|*cos(/_M)` geeft `cos(/_M)=27/45=3/5` .

Zo vind je `/_M~~53,13^@` en de cirkelbooglengte tussen `P` en `Q` is dus `(pi*53,13*sqrt(22,5))/180~~4,40` .

Zie de figuur. De afstand tussen `DE` en vierhoek `AGHB` is `sqrt(16^2-5^2)~~15,2` cm.

Zie de figuur. Voor de hoek `/_CDK` geldt `10^2=16^2+16^2-2*16*16*cos(/_CDK)` , ofwel `cos(/_CDK)=412/512` . Zo vind je `/_CDK~~36,42^@` .

Eén zo'n doos kan dus `360/36,42~~9,88` keer rond om een volle cirkel te maken. Om de hele kaas in te pakken heb je dus minstens `10` dozen nodig.

Om de afstand van `D` naar lijn `CK` te bepalen, moet je eerst de cosinusregel gebruiken om `|CK|` te achterhalen:

`|CK|^2=13^2+13^2-2*13*13*cos(36,42^@)` , dus `|CK|=8,125` .

Zo vind je dat de afstand van `D` naar `CK` is `sqrt(13^2-4,0625^2)~~12,35` .

`BHKC` is een gelijkbenig trapezium. Het mooie daaraan is dat als je één hoek weet, je meteen ook alle andere hoeken weet.

In dit trapezium zijn `|BH|=10` , `|CK|=8,125` , en `|BC|=|HK|=3sqrt(2)` . Trek een lijn vanuit `C` loodrecht op `BH` , en noem het snijpunt `S` . Dan is `|BS|=0,9375` , en `cos(/_B)=0,9375/(3sqrt(2))` , dus `/_B~~77^@` . Hiermee is ook `/_H=77^@` , en daarbij `/_C=/_K=180^@-77^@=103^@` .

Afgerond `57` cm.

`x^2+y^2=6800`

Afgerond `144` cm.

Ongeveer `75^@` .

`|TU|=4sqrt(2)`

`/_AMF=109,5^@`

`2sqrt(6)`

Ongeveer `9,36` .