Hoeken en afstanden > Van 3D naar 2D
123456Van 3D naar 2D

Uitleg

Je ziet hier een regelmatige vierzijdige piramide waarvan alle ribben `20` cm lang zijn. De vraag is hoe groot de grootste bol is die nog juist binnen de piramide past. In het vooraanzicht zie je beter hoe die bol er uit ziet.

Om de straal te berekenen van de grootste bol die nog in deze piramide past, moet je bedenken dat deze bol precies tegen de zijvlakken van de piramide aan gaat komen. Om dat goed te kunnen zien kun je het beste even de aanzichten van piramide met bol bekijken.
Het vooraanzicht dat hier is getekend, is hetzelfde als `ΔPQT` als `P` het midden van `AD` en `Q` het midden van `BC` is. Dit noem je een doorsnede van de piramide met bol en het vlak door `T` , `P` en `Q` . Hierin is de bol een cirkel die raakt aan `PQ` , `PT` en `QT` . Er zijn dus stralen vanuit het middelpunt M te tekenen die loodrecht op deze zijden staan. Van `ΔPQT` weet je alle zijden: `PQ = 20` en `PT = QT = sqrt(300)` .

Neem je `r` voor de straal van de bol, dan kun je de gelijkvormigheid van de driehoeken `QST` en `MRT` gebruiken om `r` uit te rekenen.

Opgave 1

Bekijk het probleem in de uitleg.

a

Waarom is het handig om een geschikte doorsnede te tekenen?

b

Laat met een berekening zien, dat `PT=QT=sqrt(300)` .

c

Je weet dat `|MS|=r` . Laat zien dat `|TM|=sqrt(200)-r` .

d

Waarom zijn de driehoeken `QST` en `MRT` gelijkvormig?

e

Bereken nu `r` in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 2

Bij de vorige opgave is het werken met gelijkvormigheid niet echt noodzakelijk. Je kunt ook werken met goniometrie en bijvoorbeeld `∠Q` uitrekenen. Laat zien, hoe je zo `r` berekent op twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 3

Een ander probleem is: Hoeveel bedraagt de afstand van deze bol tot de ribben van de piramide?

a

Nu is `ΔACT` een geschikte doorsnede om de gevraagde afstand uit te rekenen. Waarom?

b

Teken zelf die driehoek op schaal en teken de cirkel die de bol voorstelt er in. (De straal heb je in de voorgaande opgaven uitgerekend.)

c

Geef in je figuur de gevraagde afstand aan.

d

Bereken de gevraagde afstand. Rond af op twee decimalen nauwkeurig.

verder | terug