`x^2+y^2=12x-10` kun je ook schrijven als `(x-6)^2+y^2 =26` .
Het middelpunt en de straal zijn `M_1 ( 6, 0 )` en `r_1 =sqrt(26)` .
De snijpunten zijn `( 1, 1 )` en `( 5, 5 )` .
De afstand is `sqrt( 26 ) -sqrt( 8 )` .
De hoek is ongeveer `29,7^@` .
`Q( 32, 0 )`
De afstand is `3,53` .
Begin met
en stel daarmee de vergelijking van de cirkel door
op. Daarop moeten
en
liggen...
Je krijgt twee mogelijkheden:
of
.
Middelloodlijn van `AB` : `y = 2x - 3` .
Middelloodlijn van `AC` : `y = text(-)0,5x + 9,5` .
Beide middelloodlijnen snijden geeft middelpunt `M(5, 7)` .
Dus `c: (x-5)^2 + (x-7)^2 = 50` .
Maak een tekening.
De dwarsdoorsnede van de kegel wordt driehoek met , en .
De bol moet raken aan de lijnen en en een straal van hebben.
: en :
Lijn door en loodrecht is . Deze lijn snijden met geeft een raakpunt . Dit invullen in antwoord bij b en je vindt . De bol steekt tot `8,83` cm boven de rand van de kegel uit.
Met de gelijkvormigheid, als
`R`
het raakpunt is en
`S(0, 30)`
, dan zijn
`Delta OAS`
en
`Delta OMR`
gelijkvormig. Nu is
`|OA|= sqrt(15^2+30^2)=sqrt(1125)`
,
`|AS|=15`
,
`|OS|=30`
en
`|MR|=12`
.
Dit levert op:
`(sqrt(1125))/(15) = (m)/(12)`
, zodat
`m = 12 sqrt(5)`
.
Enzovoorts...
Cirkelboog `PQ` op cirkel `x^2 + y^2 = 36` .
Cirkelboog `OP` op cirkel `(x-6)^2 + y^2 = 36` .
Beide cirkels snijden geeft `P(3, sqrt(27))` .
Lijn `PT` gaat door `P(3, 3sqrt(3))` staat loodrecht op `OP` , dus heeft richtingscoëfficiënt `text(-)1/(sqrt(3))` . De vergelijking van deze lijn is daarom `y = text(-)1/(sqrt(3))x + 4sqrt(3)` .
Punt `T` ligt op lijn `PT` en op de lijn `y=3sqrt(3)-8` .
Dus (lijnen snijden) `T(3+8sqrt(3), 3sqrt(3)-8)` .
En `|UT| = 2*(3+8sqrt(3)) ~~ 33,7` m.
Neem `A(text(-)1/2 a, 0)` , `B(1/2 a , 0)` en `C(0, 1/2 a sqrt(3))` .
De middelloodlijn van `AB` is `x=0` .
De middelloodlijn van
`BC`
gaat door
`(1/4 a, 1/4 a sqrt(3))`
en staat loodrecht op
`BC`
.
De richtingscoëfficiënt van
`BC`
is
`text(-)sqrt(3)`
, dus die van de middelloodlijn is
`1/(sqrt(3)) = 1/3 sqrt(3)`
.
De vergelijking van de middelloodlijn is
`y = 1/3 sqrt(3)*x + 1/6 a sqrt(3)`
.
Beide middelloodlijnen snijden elkaar in `M(0, 1/6 a sqrt(3))` .
De straal is `r = 1/2 a sqrt(3) - 1/6 a sqrt(3) = 1/3 a sqrt(3)` .
Lijn `m` heeft richtingscoëfficiënt van `2` en dus een hellingshoek van `arctan(2)~~63,4^@` .
De helft van die hellingshoek is de hellingshoek van de bissectrice. Dus de richtingscoëfficiënt van de bissectrice is `tan(31,7^@)~~0,62` .
De bissectrice heeft vergelijking .
Elk punt op de bissectrice heeft coördinaten `P(p; 0,62p)` .
`d(P, l) ~~ 0,62p` .
Je moet nu aantonen dat ook `d(P, m)~~0,62p` .
Loodlijn door `P` op `m` is `y = text(-)1/2 x + 1,12p` .
Snijpunt van deze loodlijn met `m` is `S(0,448p; 0,896p)` .
`d(P, m) = |PS| = sqrt((0,552p)^2 + (0,276p)^2) ~~ 0,62p` .
-
.
De vergelijking van
`BC`
is
`y = text(-)2x + 4`
.
Een lijn door
`M`
en loodrecht op
`BC`
is
`y = 0,5x + p`
.
Beide lijnen snijden geeft snijpunt
`S(text(-)0,4p + 1,6; 0,8p + 0,8)`
.
Dus
`d(M, BC) = sqrt((text(-)0,4p + 1,6)^2 + (text(-)0,2p + 0,8)^2) = sqrt(0,2p^2 - 1,6p
+ 3,2)`
.
, dus de straal van de cirkel is `text(-)1+sqrt(5) ~~ 1,24` .
`MC=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)` .
Cirkel `x^2+y^2 = 32` .
De lengte van boog `CD` is `1/4` van de omtrek van de cirkel met middelpunt `M` en straal `sqrt(32)` . Dat is `1/4*2pi*sqrt(32)~~8,89` m.
Gebruik een rechthoekige driehoek met schuine zijde `sqrt(32)` en rechte zijden `5` en `x` , waarbij `x` de helft van `EF` is.
Hieruit volgt dat `5^2+x^2=32` , ofwel `x=sqrt(7)` , en `EF=2sqrt(7)~~5,29` m.
De lijn door de punten `E` en `M` heeft richtingscoëfficiënt `text(-)5/sqrt(7)` dus de raaklijn door `E` heeft richtingscoëfficiënt `sqrt(7)/5` . De gevraagde hoek `alpha` voldoet aan `sqrt(7)/5=tan(alpha)` , dus `alpha~~27,89^@` .
(naar: herexamen wiskunde B1,2 in 2000)
Zie het antwoord bij c.
Zie het antwoord bij c.
Je ziet dat het middelpunt van de cirkel `Q(2, 5)` is. De straal is `sqrt(2^2+3^2)=sqrt(13)` .
De vergelijking van de cirkel is `(x-2)^2+(y-5)^2=13` .
Zie de figuur bij c. Bepaal de afstand tussen punt `S` en de `y` -as.
`QS^2+RS^2=QR^2` , ofwel `QS=sqrt(12)` . De gevraagde afstand is dus `sqrt(12)-2~~1,46` . Dat correspondeert met `14,6` cm.
(naar: herexamen wiskunde B1,2 in 2002)