Hoeken en afstanden > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 8Formule voor de afstand van een punt tot een lijn
Formule voor de afstand van een punt tot een lijn

De afstand van een punt tot een lijn kun je ook berekenen met behulp van een cirkel. Neem O ( 0,0 ) en l : x + 2 y = 6 .

a

Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt O en straal r .

b

l moet raken aan c . Bepaal de waarde van r met behulp van de discriminantmethode.
Je kunt de gevraagde afstand ook berekenen door te werken met gelijkvormige driehoeken. Daarbij gebruik je de snijpunten van l met de twee assen. Noem het snijpunt van l met de x -as A en dat met de y -as B . O C is het lijnstuk dat de afstand van O tot l voorstelt.

c

Bereken nu | O C | met behulp van gelijkvormigheid.
Neem nu voor l een willekeurige lijn a x + b y = c .

d

Laat zien dat: `d(O,l) = c/(sqrt(a^2 + b^2))` als `c` positief is en `d(O,l) = (text(-)c)/(sqrt(a^2 + b^2))` als `c` negatief is.

e

Gebruik deze formule om de afstand van O tot l : x + 2 y = 6 uit te rekenen.

Opgave 9Macht van een punt ten opzichte van een cirkel
Macht van een punt ten opzichte van een cirkel

Punt P ligt buiten een cirkel c . Er zijn twee lijnen door P die de cirkel raken, één van die lijnen is l , het bijbehorende raakpunt is R . Verder is `m` een lijn door P die de cirkel snijdt in A en B . Nu geldt: | P R | 2 = | P A | | P B | . Dit kun je met analytische meetkunde bewijzen door P ( 0,0 ) te kiezen en een cirkel te kiezen met middelpunt M ( 2,0 ) en straal `1` .

a

Stel een vergelijking op van een mogelijke lijn l en bereken het bijbehorende raakpunt R .

b

Neem nu de lijn m : y = a x en kies een geschikte waarde van a . Bereken de snijpunten A en B . Bereken | P R | , | P A | en | P B | en ga na dat: | P R | 2 = | P A | | P B | .

c

Onderzoek of ook voor andere a geldt: | P R | 2 = | P A | | P B | .

d

Is je bewijs nu helemaal compleet? Licht je antwoord toe.

Opgave 10Omgeschreven cirkel
Omgeschreven cirkel

De straal van de omgeschreven cirkel van een gelijkzijdige driehoek met zijden van a cm kun je in a uitdrukken. Laat zie hoe je dit kunt doen door een geschikt assenstelsel te kiezen.

Opgave 11Bissectrice
Bissectrice

De deellijn (of bissectrice) van een hoek is de lijn die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. De lijnen l : y = 0 en m : y = 2 x maken een scherpe hoek met elkaar. Punt P ( x , y ) is een punt van de deellijn van deze hoek.

a

Stel een vergelijking op van deze deellijn (benaderingen in drie decimalen nauwkeurig).

b

Toon aan dat elk punt van deze deellijn dezelfde afstand heeft tot lijn l als tot lijn m .

verder | terug