Hoeken en afstanden > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 12 x 10 en c 2 met middelpunt M 2 ( 4,2 ) en straal `sqrt(10)` .

a

Bereken het middelpunt en de straal van c 1 .

b

Bereken de snijpunten van c 1 en c 2 .

c

Bereken de afstand van M 2 tot cirkel c 1 .

d

Bereken de hoek waaronder beide cirkels elkaar snijden in graden nauwkeurig.

e

Door A ( 0,4 ) gaan twee lijnen die c 2 raken. Stel van elk van deze twee lijnen een vergelijking op.

f

De raaklijn aan c 1 in het punt P ( 7,5 ) snijdt de x -as in Q . Bereken de coördinaten van Q .

g

Bereken de afstand van lijn P Q tot punt M 2 .

Opgave 2

Cirkel c snijdt van de lijn y = 4 een lijnstuk met lengte `4` af, gaat door P ( 5,2 ) en heeft een middelpunt M op de x -as. Stel een vergelijking op van c .

Opgave 3

Een bol met straal `12` cm ligt in een vaas waarvan de open binnenkant een zuivere kegelvorm van hoogte `30` cm en diameter `30` cm heeft. De vraag is: Steekt de bol boven de bovenrand van de vaas uit? En zo ja hoeveel? Je lost dit probleem op door gebruik te maken van analytische meetkunde.

a

Teken een dwarsdoorsnede van kegel en bol in een cartesisch assenstelsel. Neem voor de top van de kegel O ( 0,0 ) en laat de hoogte van de kegel samenvallen met de y -as.

b

Kies voor het middelpunt van de bol M ( 0, m ) en stel een bijpassende vergelijking voor de bol op.

c

Welke twee raaklijnen aan de bol kun je nu gebruiken om het probleem op te lossen?

d

Bepaal door berekening m en bereken hoever de bol boven de kegel uit steekt of hoeveel de rand van de kegel boven de bol zit.

e

Hoe had je dit probleem zonder analytische meetkunde kunnen oplossen?

Opgave 4

Gegeven is de cirkel c : x 2 + y 2 = 2 x + 3 en de lijn l : y = a x . De snijpunten van l en c zijn A en B .

a

Neem a = 2 . Toon aan dat | O A | | O B | = 3 .

b

Bewijs dat voor elke a geldt: | O A | | O B | = 3 .

Opgave 5

In Nederland zie je op bedrijventerreinen vrij grote overeenkomsten in de dakvormen van fabriekshallen, opslagloodsen en werkplaatsen. Een werkplaats met een veel voorkomende dakvorm is te zien in de bovenste figuur.
De vloer van deze werkplaats heeft de vorm van een rechthoek.
Het dak heeft een gebogen vorm: in het vooraanzicht is boog C D een kwart deel van de cirkel waarvan het middelpunt M het midden van A B is. De breedte A B is 8 meter. De hoogte A D = B C is 4 meter.

a

Breng in het voorvlak van de werkplaats een cartesisch assenstelsel aan waarvan de oorsprong met punt M en de x -as met lijn A B samen valt. Stel nu een vergelijking op van de cirkel waar boog C D een deel van is.

b

Bereken de lengte van boog C D in gehele centimeters nauwkeurig.

Ter versteviging van de dakconstructie is op een aantal plaatsen op 5 meter hoogte een stalen dwarsbalk aangebracht. In de onderste figuur zie je een vooraanzicht van de werkplaats met daarin zo'n dwarsbalk E F .

c

Bereken de lengte van E F in gehele centimeters nauwkeurig.

d

Bereken de hoek die E F met de cirkelboog maakt in de punten E en F .

bron: herexamen wiskunde B1,2 in 2000

Opgave 6

In een folder van een tuincentrum staat de hiernaast afgebeelde foto van een broeibak. De broeibak heeft een glazen deksel in de vorm van een gelijkbenig trapezium. Op de foto is te zien dat de deksel open staat. Hieronder is een model van deze broeibak getekend. De glazen deksel FGLK is hierbij gesloten.
Vlak E F G H is evenwijdig aan het grondvlak A B C D . K L ligt 30  cm boven E F G H . Je ziet ook het bovenaanzicht van de gesloten broeibak. A D is evenwijdig aan B C . A B is even lang als D C . Alle afmetingen zijn gegeven in cm. De dikte van het hout en van het glas worden verwaarloosd.

a

Teken een dwarsdoorsnede van de broeibak op schaal 1 : 10 die loodrecht op het vlak B C G F staat en door het midden M van B C gaat.

Als de deksel van deze broeibak wordt geopend of gesloten beschrijft het midden P van F G een deel van een cirkel.

b

Teken deze baan van punt P in je dwarsdoorsnede.

c

Breng in deze dwarsdoorsnede een cartesisch assenstelsel aan waarvan M de oorsprong is en de x -as in vlak A B C D ligt. Stel ten opzichte van dit assenstelsel een vergelijking op van de cirkel waarvan de boog die de baan van P beschrijft een deel is.

d

Hoe ver steekt het punt P aan de voorkant uit als het zich op 80  cm boven het grondvlak A B C D van de broeibak bevindt?

e

Bereken de grootte van G L H .

bron: herexamen wiskunde B1,2 in 2002

Opgave 7

Al heel lang worden in bouwwerken boogconstructies gebruikt om grote ruimten te overspannen. Hier zie je enkele soorten bogen, waaronder de spitsboog. Een spitsboog is opgebouwd uit twee cirkelbogen. Hierbij ligt het middelpunt van de ene cirkelboog op een uiteinde van de andere cirkelboog.

Hier is de vorm van een spitsboog O P Q in een cartesisch assenstelsel getekend. O is het middelpunt van cirkelboog P Q en Q is het middelpunt van cirkelboog O P .

a

Stel vergelijkingen op van de cirkels waarvan O P en P Q bogen zijn.

b

Bereken de hoogte van punt P . Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.

Een toegangspoort tot een kasteel heeft aan de bovenkant de vorm van een spitsboog en heeft in een vooraanzicht de vorm die je hieronder ziet afgebeeld. Hetzelfde cartesische assenstelsel geldt ook voor deze figuur. De top P van de spitsboog bevindt zich 8 meter boven de grond. In dit punt P zitten twee bewakingscamera’s, eentje om het gebied links van de poort in de gaten te houden en eentje om het gebied rechts van de poort in de gaten te houden. Deze laatste camera neemt niets waar van het gebied onder de raaklijn P T .

c

Stel een vergelijking op van lijn P T .

d

Ook de andere camera neemt niets waar onder de raaklijn in P aan cirkelboog O P . Deze raaklijn snijdt het verlengde van T S in punt U . Bereken de lengte van het lijnstuk U T . Geef je antwoord in meters op één decimaal nauwkeurig.

verder | terug