Afgeleide functies > Extremen berekenen
12345Extremen berekenen

Voorbeeld 2

Een timmerman maakt voor een klant een houten kist met deksel. Voor die kist gebruikt hij `192` dm2 hout. De lengte van de kist moet twee keer zo groot zijn als de breedte. Bij welke afmetingen heeft de doos een maximale inhoud?

> antwoord

Je kunt bijvoorbeeld zo te werk gaan:

  • Zoek uit welke grootheid/variabele je antwoord moet bevatten.
    in dit geval: lengte, breedte en hoogte van de kist

  • Zoek uit welke variabele je moet optimaliseren.
    de inhoud

  • Geef de variabelen een naam.
    breedte `x` , hoogte `h` , lengte `l` , alle in dm

  • Vertaal de tekst naar formules, gebruik formules voor inhoud, oppervlakte, enzovoort.
    Hier geldt: `l=2x`
    De oppervlakte is `O=4x^2+6xh=192`

  • Je wilt de inhoud maximaliseren.
    De inhoud (in dm3) is: `I=2x^2h`

  • Je wilt de inhoud maximaliseren. Dus maak je daarvan een functie door beide formules te combineren.
    Uit `4x^2+6xh=192` volgt `h=(192-4x^2)/(6x)`
    De inhoud (in dm3) is dan: `I=2x^2h=2x^2*(192-4x^2)/(6x)=64x-1 1/3x^3`

  • Bekijk de grafiek van `I(x)` .

    Omdat `x>0` heeft de grafiek van `I` alleen een maximum, dat je met behulp van differentiëren kunt bepalen.
    `I'(x)=64-4x^2=0` geeft `x^2=16` en dus `x=4` .

  • Geef het antwoord.
    Dus als `x=4` is de inhoud maximaal. Dit betekent dat als de doos `8` dm lang, `4` dm breed en `5 1/3` dm hoog is, de inhoud maximaal is.

Opgave 5

Een fabrikant verpakt zijn hagelslag al jaren in doosjes met een vierkante bodem van `8` bij `8` cm. Ze hebben precies de vorm van een balk met een hoogte van `21` cm. De fabrikant vraagt zich nu af of hij de inhoud van het doosje kan vergroten door de afmetingen anders te kiezen, zonder meer karton te gebruiken. Het gaat er dus om de inhoud zo groot mogelijk te maken bij een gelijkblijvende oppervlakte. Het grondvlak blijft vierkant. Welke afmetingen moet hij kiezen?

a

Hoeveel karton heeft de fabrikant nodig voor zijn huidige doosjes?

b

Noem de zijde van het vierkante grondvlak `x` . Druk de hoogte `h` uit in `x` .

c

Druk de inhoud `I` uit in de `x` .

d

Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van `x` de inhoud maximaal is.

e

Bepaal de afmetingen van de doosjes met een maximale inhoud. Geef je antwoord in centimeters afgrond op 1 cijfer achter de komma.

Opgave 6

Om een rechthoekig sportveld ligt een sintelbaan, bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels. De totale lengte van de sintelbaan is `400` meter. De afmetingen van het veld zijn zo gekozen dat de oppervlakte van het sportveld maximaal is.

Bereken exact de afmetingen van dit sportveld.

verder | terug