Afgeleide functies > Extremen berekenen
12345Extremen berekenen

Voorbeeld 3

Gegeven is de familie van functies `f_a(x)=x^3+ax` .

Voor elke waarde van `a` heb je hier met een andere functie te maken.

Je kunt hier een paar grafieken van deze familie van functies zien door `a` te variëren.
Probeer dit eens uit met `f_5(x)=x^3+5x` en `f_(text(-)5)(x)=x^3-5x` .
Sommige functies `f_a` hebben extremen, andere niet.

Hoe hangt de `x` -coördinaat van de extremen van `f_a` af van de waarde van `a` ?

> antwoord

Je moet dus de `x` -waarden van de extremen berekenen op de bekende manier en daarna bekijken wat er gebeurt als `a` verandert:

`f_(a)'(x)=3 x^2+a`

`f'(x)=0` geeft `x=sqrt(text(-)a/3)` en `x=text(-)sqrt(text(-)a/3)`

Bekijk alle waarden van `a` .

  • Als `a>0` , zijn er geen nulpunten van de afgeleide, omdat de wortels geen reële waarden opleveren. `f_(a)(x)` heeft dan geen extremen.

  • Als `a=0` , is de afgeleide `f_0'(x)=3x^2` en dus voor elke waarde van `x` positief of `0` . `f_(a)(x)` heeft dan geen extremen.
    Opmerking: de grafiek van `f_(a)(x)` heeft nu in het punt `(0,0)` een horizontale raaklijn.

  • Als `a < 0` , is de grafiek van de afgeleide een dalparabool met twee nulpunten. `f_(a)(x)` heeft dan een maximum voor `x=text(-)sqrt(text(-) a/3)` en een minimum voor `x=sqrt(text(-)a/3)` .

Opgave 7

Bekijk het voorbeeld. Gegeven is nu de functie `f_a(x)=x^3-2ax` .

a

Neem `a=1` en bereken de `x` -coördinaten van de extremen.

b

Bepaal de afgeleide van `f_a` .

c

Voor welke waarden van `a` heeft `f_a` extremen?

Opgave 8

Gegeven is de functie `f_a(x)=ax^3-x` , met `a>0` .

a

Differentieer `f_a` .

b

Druk de waarde(n) van `x` waarvoor de raaklijn aan de grafiek van `f_a` horizontaal is uit in `a` .

c

Druk de extremen van `f_a` uit in `a` .

d

Voor welke waarde van `a` is de maximale waarde van `f_a` gelijk aan `1` ?

verder | terug