Afgeleide functies > Extremen berekenen
12345Extremen berekenen

Uitleg

In een maximum van een grafiek gaat de grafiek over van stijgen naar dalen. De helling gaat dus over van positief naar negatief. De grafiek van de afgeleide geeft de helling van de grafiek van de functie weer. Dus de grafiek van de afgeleide gaat daar ook over van positief naar negatief. Dat kun je gebruiken om de waarde van bijvoorbeeld het maximum te vinden. Hier zie je hoe dat kan.

Je ziet hier de grafiek (in het rood) van de functie `f(x)=x^4-2 x^2+4` . De andere grafiek is de hellingsgrafiek van `f` , dus de grafiek van de afgeleide `f'` . Als je goed kijkt, zie je dat:

  • de grafiek van `f` een minimum heeft als de afgeleide overgaat van negatief naar positief (dit is het geval voor `x=text(-)1` en voor `x=1` );

  • de grafiek van `f` een maximum heeft als de afgeleide overgaat van positief naar negatief (dit is het geval voor `x=0` ).

Je zoekt dus naar de waarden van `x` waar de afgeleide overgaat van positief in negatief of andersom. Dat moet dus bij een nulpunt van de afgeleide zijn.

Als de afgeleide `0` is, heeft de grafiek van de functie een horizontale raaklijn.

Extremen berekenen doe je dus zo:

  • Bereken voor welke `x` -waarden de afgeleide `0` is.

  • Controleer of de afgeleide daar van positief naar negatief of andersom gaat.

  • Bereken de extreme waarde door de gevonden waarden voor `x` in te vullen in de functie zelf.

Opgave 1

Gegeven is de functie `f(x)=x^3-3 x` .

a

Bepaal de afgeleide van `f` .

b

Bereken de nulpunten van de afgeleide. Bekijk met behulp van het tekenschema van `f'(x)` of er bij deze nulpunten van `f'(x)` extreme waarden optreden (minima of maxima) voor de grafiek van `f` .

c

In de grafiek kun je zien welke extremen de functie `f` heeft: welke maxima en welke minima. De bijbehorende `x` -waarden heb je bij a gevonden. De extremen zelf (de functiewaarden) moet je nog uitrekenen.

Bereken de extremen van `f` .

Opgave 2

Bekijk de grafiek van de functie `f(x)=x^3` .

a

Bereken de waarden van `x` waarin `f'(x)=0` en maak een tekenschema.

b

Heeft de functie een extreme waarde voor `x=0` ?

verder | terug