Afgeleide functies > Transformaties en afgeleiden
12345Transformaties en afgeleiden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de uitwerking.

Opgave 1

`f_1(x)= x^3-4 x+2`

`f_1'(x)=3x^2-4=f'(x)`

`f_2(x)=2( x^3-4 x)=2x^3-8x`

`f_2'(x)=6x^2-8=2(3x^2-4)=2f'(x)`

`f_3(x)= (x+2)^3-4(x+2)=x^3+6x^2+12x+8-4x-8=x^3+6x^2+8x`

`f_3'(x)=3x^2+12x+8`

`f'(x+2)=3(x+2)^2-4=3(x^2+4x+4)-4=3x^2+12x+8 = f_3'(x)`

`f_4(x)= (2x)^3-4 (2x)=8x^3-8x`

`f_4'(x)=24x^2-8=2(12x^2-4)=2(3(2x)^2-4)=2f'(2x)`

Opgave 2
a

Maak de grafieken van `f` en `g_1 (x)=f(x)+3` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_1` ?

`g_1 '(x)=f'(x)`

`g_1 '(x)=f'(x)+3`

b

Maak de grafieken van `f` en `g_2 (x)=3 *f(x)` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_2` ?

`g_2 '(x)=f'(x)`

`g_2 '(x)=3 *(f'(x))`

c

Maak de grafieken van `f` en `g_3 (x)=f(x+3 )` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_3` ?

`g_3 '(x)=f'(x)`

`g_3 '(x)=f'(x+3 )`

d

Maak de grafieken van `f` en `g_4 (x)=f(3 *x)` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_4` ?

`g_4 '(x)=f'(3 *x)`

`g_4 '(x)=3 *(f'(3 *x))`

Opgave 3
a

`g'(x)=4*(x-7)^3=4(x-7)^3`

b

`h'(x)=3 *4 (3 x) ^3=324 x^3`

c

`j'(x)=2 *4 *3 (2 x) ^3=192 x^3`

d

`k'(x)=text(-)2 *4 *2 (6 -2 x) ^3=text(-)16 (6 -2 x) ^3`

Opgave 4
a

Eerst vermenigvuldigen met `5` ten opzichte van de `x` -as en dan transleren ten opzichte van de `y` -as met `1` en ten opzichte van de `x` -as met `4` .

b

`f'(2)=15`

Opgave 5
a

`f(x)=8^x=2^(3 x) =g(3 x)`

b

`f(x)=g(3x)` dus geldt `f'(x)=3 *g'(3 x)` .

Invullen van `x=0` in `f(x)` en `f'(x)` geeft:
`f(0)=1` en `f'(0)=3 *g'(0)≈3 *0,69 =2,07` .

De gevraagde raaklijn is `y=2,07 x+1` .

Opgave 6
a

De basisfunctie is `y=x^4` met `(text(d)y)/(text(d)x)=4x^3` .

`f'(x)=2 *6 *4 (2 x+3) ^3=48 (2 x+3)^3`

b

De basisfunctie is `y=x^5` met `(text(d)y)/(text(d)x)=5x^4` .

`g'(x)=5 (x+2)^4`

c

De basisfunctie is `s=t^3` met `(text(d)s)/(text(d)t)=3t^2` .

`s'(t)=2 *3 (2 t+4)^2=6 (2 t+4)^2`

d

De basisfunctie is `h=t^4` met `(text(d)h)/(text(d)t)=4t^3` .

`h'(t)=text(-)3 *text(-)2 *4 (6 -3 t) ^3=24 (6 -3 t)^3`

Opgave 7
a

`g'(x)=f'(x)≈0,69*2^x`

b

`h'(x)≈3*0,69*2^x=2,07*2^x`

c

`j'(x)=f'(x+4)~~0,69*2^(x+4)`

d

`k'(x)≈text(-)3*0,69*2^(text(-)3x)=text(-)2,07*2^(text(-)3x)`

Opgave 8
a

Het punt `(2 ,4 )` .

b

`f'(x)=1 ,5 (x-2 ) ^2` en de grafiek van `f'` is een dalparabool met symmetrieas `x=2` en de helling van `f` gaat daarom bij `x=2` van positief over in `0` en dan weer in positief. Ook de hellingswaarden zijn links en rechts van `x=0` gelijk.

c

Het nulpunt is `(0, 0 )` en `f'(0 )=1 ,5 * (-2 ) ^2=6` .
De gevraagde raaklijn is daarom `y=6 x` .

Opgave 9
a

Vermenigvuldig de grafiek van de `g` ten opzichte van de `y` -as met `text(-)1` en pas daarna een translatie toe van `4` ten opzichte van de `x` -as.

b

`f'(x)=text(-)1 *g'(text(-)x)`

`f'(text(-)1)≈text(-)1,38` en `f(text(-)1 )=6` .

Voor de raaklijn door het punt `(text(-)1, 6)` aan de grafiek van `f` geldt `y=text(-)1,38x+b` .

Dus: `text(-)1,38*text(-)1+b=6` en `b=4,62` . Hieruit volgt `y=text(-)1,38 x+4,62` .

De gevraagde raaklijn is `y=text(-)1,38 x+4,62` .

c

`f(x)=g(text(-)x)+4`

`f'(x)=text(-)1*g'(text(-)x)`

Om `f'(1)` te vinden heb je `g'(text(-)1)` nodig.

Opgave 10

`g'(x)=3 *f'(3 x-2)`

`g'(1) = 3 *f'(3*1-2) = 3 * f'(1) = 3*2,75 = 8,25`

Opgave 11
a

`f'(x)=3 x^2-4` en `f'(1 )=text(-)1`

b

`f(1 ,003 )≈f(1 )+0,003 *f'(1 )=text(-)3 +0,003 *text(-)1 =text(-)3,003`

c

`f(0 ,98 )≈f(1 )-0,02 *f'(1 )=text(-)3 -0,02 *text(-)1 =text(-)2,98`

Opgave 12
a

`f(2,003) = f(2)+0,003*f'(2) = 0 + 0,003*text(-)8 = text(-)0,024` .

b

Dan wordt het verschil met de werkelijke functiewaarde waarschijnlijk veel te groot.

Opgave 13
a

`f'(x)=15 (3 x+6 ) ^4`

b

`g'(x)=text(-)8 (x-1 ) ^3`

c

`K'(q)=9 (60 +3 q) ^2`

Opgave 14
a

Eerst vermenigvuldigen met `text(-)1` in de `x` -richting en dan de grafiek `5` eenheden in de positieve `y` -richting verschuiven.

b

`y=text(-)1,1 x+6` .

verder | terug