Bekijk de grafiek van de functie `f(x)= x^3-4 x` (rood) samen met de afgeleide `f'(x)=3 x^2-4` (blauw).
Onderzoek wat er met de afgeleide gebeurt als je op de gegeven functie een verschuiving of een vermenigvuldiging toepast. Ga met de applet de volgende stappen na.
Als je de grafiek van
`f`
met
`2`
ten opzichte van de
`x`
-as transleert, ontstaat de grafiek van
`f_1 (x)=f(x)+2`
. Omdat de grafiek omhoogschuift, veranderen de
`x`
-waarden van de punten niet en de hellingen ook niet. De afgeleide van
`f(x)+2`
is dus dezelfde als die van
`f`
.
Kortweg: als
`f_1 (x)=f(x)+2`
dan is
`f_1 '(x)=f'(x)`
.
Als je de grafiek van
`f`
met
`2`
vermenigvuldigt ten opzichte van de
`x`
-as, worden alle functiewaarden
`2`
keer zo groot en krijg je
`f_2 (x)=2 *f(x)`
. Alle hellingsgetallen worden ook
`2`
keer zo groot.
Kortweg: als
`f_2 (x)=2 *f(x)`
dan is
`f_2 '(x)=2 *f'(x)`
.
Als je de grafiek van
`f`
met
`text(-)2`
ten opzichte van de
`y`
-as transleert, ontstaat de grafiek van
`f_3 (x)=f(x+2 )`
. Omdat de grafiek naar links verschuift, veranderen de hellingen niet, maar de punten
worden wel
`2`
naar links geschoven. De afgeleide wordt dus
`f'(x+2)`
.
Kortweg: als
`f_3 (x)=f(x+2 )`
dan is
`f_3 '(x)=f'(x+2 )`
.
Als je de grafiek van
`f`
met
`1/2`
vermenigvuldigt ten opzichte van de
`y`
-as, krijg je de grafiek van
`f_4 (x)=f(2 x)`
. De hellingswaarden worden niet alleen
`2`
keer zo groot, maar ze horen bij
`x`
-waarden die de helft kleiner zijn.
Kortweg: als
`f_4 (x)=f(2 x)`
dan is
`f_4 '(x)=2 *f'(2 x)`
.
Voer de transformaties die in de
Toon aan dat je op dezelfde resultaten komt wanneer je de functies van `f_1` , `f_2` , `f_3` en `f_4` uitschrijft en vervolgens differentieert.
Bekijk de grafiek van de functie `f(x)=0,25 x^4-4 x^2` samen met de grafiek van de afgeleide.
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_1 (x)=f(x)+3`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_1`
?
`g_1 '(x)=f'(x)`
`g_1 '(x)=f'(x)+3`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_2 (x)=3 *f(x)`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_2`
?
`g_2 '(x)=f'(x)`
`g_2 '(x)=3 *(f'(x))`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_3 (x)=f(x+3 )`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_3`
?
`g_3 '(x)=f'(x)`
`g_3 '(x)=f'(x+3 )`
Maak de grafieken van
`f`
en
`g_4 (x)=f(3 *x)`
met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft
`g_4`
?
`g_4 '(x)=f'(3 *x)`
`g_4 '(x)=3 *(f'(3 *x))`