Afgeleide functies > Transformaties en afgeleiden
12345Transformaties en afgeleiden

Uitleg

Bekijk de grafiek van de functie `f(x)= x^3-4 x` (rood) samen met de afgeleide `f'(x)=3 x^2-4` (blauw).

Onderzoek wat er met de afgeleide gebeurt als je op de gegeven functie een verschuiving of een vermenigvuldiging toepast. Ga met de applet de volgende stappen na.

  • Als je de grafiek van `f` met `2` ten opzichte van de `x` -as transleert, ontstaat de grafiek van `f_1 (x)=f(x)+2` . Omdat de grafiek omhoogschuift, veranderen de `x` -waarden van de punten niet en de hellingen ook niet. De afgeleide van `f(x)+2` is dus dezelfde als die van `f` .
    Kortweg: als `f_1 (x)=f(x)+2` dan is `f_1 '(x)=f'(x)` .

  • Als je de grafiek van `f` met `2` vermenigvuldigt ten opzichte van de `x` -as, worden alle functiewaarden `2` keer zo groot en krijg je `f_2 (x)=2 *f(x)` . Alle hellingsgetallen worden ook `2` keer zo groot.
    Kortweg: als `f_2 (x)=2 *f(x)` dan is `f_2 '(x)=2 *f'(x)` .

  • Als je de grafiek van `f` met `text(-)2` ten opzichte van de `y` -as transleert, ontstaat de grafiek van `f_3 (x)=f(x+2 )` . Omdat de grafiek naar links verschuift, veranderen de hellingen niet, maar de punten worden wel `2` naar links geschoven. De afgeleide wordt dus `f'(x+2)` .
    Kortweg: als `f_3 (x)=f(x+2 )` dan is `f_3 '(x)=f'(x+2 )` .

  • Als je de grafiek van `f` met `1/2` vermenigvuldigt ten opzichte van de `y` -as, krijg je de grafiek van `f_4 (x)=f(2 x)` . De hellingswaarden worden niet alleen `2` keer zo groot, maar ze horen bij `x` -waarden die de helft kleiner zijn.
    Kortweg: als `f_4 (x)=f(2 x)` dan is `f_4 '(x)=2 *f'(2 x)` .

Opgave 1

Voer de transformaties die in de Uitleg staan beschreven uit op de grafiek van `f(x)=x^3-4 x` en haar afgeleide. Ga na dat je de resultaten vindt die daar zijn aangegeven.

Toon aan dat je op dezelfde resultaten komt wanneer je de functies van `f_1` , `f_2` , `f_3` en `f_4` uitschrijft en vervolgens differentieert.

Opgave 2

Bekijk de grafiek van de functie `f(x)=0,25 x^4-4 x^2` samen met de grafiek van de afgeleide.

a

Maak de grafieken van `f` en `g_1 (x)=f(x)+3` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_1` ?

`g_1 '(x)=f'(x)`

`g_1 '(x)=f'(x)+3`

b

Maak de grafieken van `f` en `g_2 (x)=3 *f(x)` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_2` ?

`g_2 '(x)=f'(x)`

`g_2 '(x)=3 *(f'(x))`

c

Maak de grafieken van `f` en `g_3 (x)=f(x+3 )` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_3` ?

`g_3 '(x)=f'(x)`

`g_3 '(x)=f'(x+3 )`

d

Maak de grafieken van `f` en `g_4 (x)=f(3 *x)` met de grafische rekenmachine.
Welke afgeleide heeft `g_4` ?

`g_4 '(x)=f'(3 *x)`

`g_4 '(x)=3 *(f'(3 *x))`

verder | terug