`f'(x)=20 x^4-24 x+60`

`E'(t)=1 +t+1/2t^2+1/6t^3`

`g(x)=3ax^2+4`

`h'(x)=20(2x+5)^9`

`f'(x) = text(-)35(3,5x - 6)^4`

`P'(x) = 24x - 0,75(0,25x - 4)^2`

`f'(x)=6 x^2-4 x^3=0` geeft `x=0 ∨x=1,5` . Aan de grafiek zie je dat er in `(0,0 )` wel een horizontale raaklijn maar geen extreme waarde is. De enige extreme waarde is bij `x=1,5` . Dit is een maximum.

Bij `x=0` is er sprake van een buigpunt.

`f'(1) = 2` en `f(1) = 1` geeft `y = 2x - 1` .

Omdat de grafiek de `x` -as snijdt, moet gelden dat `2x-1=0` en dit geeft `x=1/2` .

De coördinaten van `A` zijn `(1/2; 0)` .

De richtingscoëfficiënt van die raaklijn is `text(-)0,5` .

`f'(x) =6x^2-4x^3 =text(-)0,5` oplossen met de GR. Voer beide functies in en bepaal het snijpunt. Je vindt `x ~~ 1,55` en `y ~~ 1,68` . Dit invullen in `y=text(-)0,5x+b` geeft `y = text(-)0,5x + 2,45` .

`q=12-0,1p` levert op `0,1p=12-q` en `p=10(12-q)=120-10q` .

`0 ≤q≤12` want `p` kan niet negatief zijn.

`TO=120 q-10 q^2`

`W=text(-)1,5 q^3+12,5 q^2`

`W'(q)=text(-)4,5 q^2+25 q=0` geeft `q=0 ∨q=50/9~~5,556` .

Omdat `q` het aantal producten in duizendtallen is, is er maximale winst bij `q=5,556` (bij `q=5,555` is `W` iets lager).

`W` is maximaal bij `q=5,556` en dan is de prijs € 64,44.

`GTK=(TK)/q=1,5 q^2-22,5 q+120` en `GTK'(q)=3 q-22,5 =0` als `q=7,5` . `GTK` is minimaal bij een afzet van `7500` stuks.

`f(x)=0` geeft `x=text(-)1/2∨x=text(-)2 ∨x=2` .

`f(x)=2x^3+x^2-8x-4` .

`f'(x)=6 x^2+2 x-8 =0` geeft `x=text(-) 1 1/3∨x=1` en max. `f(text(-) 1 1/3)=3 19/27` en min. `f(1 )=text(-)9` .

`f(x)=g(x)` geeft `x=0 ∨ x=2 vv x=text(-)2` . Schets of plot de grafieken van `f` en `g` .

Oplossing: `text(-)2 < x < 0 ∨x>2` .

Translatie van `1` ten opzichte van de `y` -as en daarna met `1/2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `y` -as.

`g'(x) = 3x^2 - 4` en `f(x) = g(2x - 1)` dus `f'(x) = 2 * g'(2x - 1) = 2 * (3(2x - 1)^2 - 4) = 6(2x - 1)^2 - 8`

`f'(x) = 6(2x - 1)^2 - 8 = 0` geeft `x = 1/2 + 1/3 sqrt(3) vv x = 1/2 - 1/3 sqrt(3)` .

Dus maximum `f(text(-)0,08) ~~ 3,08` en minimum `f(1,08) ~~ text(-)3,08` .

Nulpunten: `x=0, x=text(-)6` en `x=10` .

`f(x)=60 x+4 x^2-x^3` geeft `f'(x)=60 +8 x-3 x^2` .
`f'(x)=0` als `x= (text(-)8 ±sqrt(784 )) /(text(-)6)` en dit geeft `x=6 ∨x=text(-)10/3` .
Toppen: `(6 ;288 )` en `(text(-) 10/3; text(-)3200/27)` .

Als `text(-)3200/27 < p < 288` dan heeft de lijn `y=p` precies drie punten met de grafiek van `f` gemeen.

`f(0 )=0` en `f'(0 )=60` , dus de raaklijn is `y=60 x` .

`f(x)=60 x` geeft `4 x^2-x^3=0` en dus `x=0 ∨x=4` . Het gevraagde punt is `(4 , 240 )` .

Lengte = `l` , breedte = `2 h` en hoogte = `h` . `l+8 h=120` en `I=l*2 h^2` geeft `I=2 h^2(120 -8 h)=240 h^2-16 h^3` . `I'(x)=480 h-48 h^2=0` geeft `h=0 ∨h=10` , alleen `h=10` levert een maximum op. `h=10` betekent `b=20` en `l=40` , dus `I=8000` cm³.

Zelfde procedure als bij a, maar nu met `l+8 h=p` geeft: `h=1/12p` , `b=1/6p` en `l=1/3p` . Inderdaad is dan `b=2 h` en `l=4 h` .

`x = (2 v_0) / (g*) sin(α)cos(α)`

`x` is maximaal als `sin(α)cos(α)` zo groot mogelijk is. Maak hiervan een grafiek ( `α` in graden) voor `0 ≤α≤90` . Bij `45^@` vind je het maximum.

De bijbehorende grootste hoogte is `(v_0) / (4 g)` .

Voor `x≤3` is `f'(x)=text(-) x+2` , dus voor `x≥3` is de grafiek van `f'` een lijn met richtingscoëfficiënt `1` die door het punt `(3 , text(-)1 )` gaat. De formule voor `f'` als `x≥3` wordt daarom `f'(x)=x-4` .

Voor `x≥3` geldt `f'(x)=2 ax+b=x-4` , dus `a=0,5` en `b=text(-)4` . Dit betekent voor `x≥3` : `f(x)=0,5 x^2-4 x+c` en dus `f(3 )=text(-)7,5 +c` . Omdat voor `x≤3` geldt `f(3 )=2,5` moet `text(-)7,5 +c=2,5` en dus `c=10` . Voor `x≥3` wordt de formule daarom `f(x)=0,5 x^2-4 x+10` .

Voor `x≤3` geldt `f'(x)=text(-)x+2 =0` als `x=2` en is er een maximum `f(2 )=3` . Voor `x≥3` geldt `f'(x)=x-4 =0` als `x=4` en is er een minimum `f(4 )=2` .

Maak de tekening, je hebt nu beide formules.

Als `v=17` dan `h=text(-)0,0185 a^2+0,27 a+2,50` . `h'(a)=text(-)0,037 a+0,27 =0` geeft `a≈7,3` . Daarbij hoort een maximale hoogte van `h≈3,5` m.

`150` km/u komt overeen met `41,67` m/s. Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer `text(-)5^@` .

Bij de netsituatie: als `a=12` dan `h=1` . Dit geeft: `(text(-) 5,16)/v^2*12^2+0,18 *12 +2,50 =1` en dus `(743,04)/v^2=3,66` en `v≈14,25` .
Conclusie: `v≤14,2` (m/s) of `v < 14,3` (m/s).

`7` meter voorbij het net betekent `a=19` en de grond raken betekent `h=0` .

`f'(x)=300-3x^2`

De coördinaten van de toppen zijn `(text(-)10, text(-)2000)` en `(10, 2000)` .

`f'(a)=300-3a^2` en `f'(text(-)a)=300-3(text(-)a)^2=300-3a^2`

Dus `f'(a)=f'(text(-)a)` en dit betekent dat de raaklijnen aan de grafiek van `f` in de punten `P` en `Q` evenwijdig zijn.