Kansen en tellen > Permutaties en combinatiesVoorbeeld 3
Uit een groepje van vijf meisjes en vier jongens kies je door loting een drietal.
Hoe groot is de kans dat daar minstens twee meisjes bij zijn?
|
|
|
|
|
|
Dit rooster laat het totaal aantal combinaties van
`3`
uit
`9`
zien.
Dat zijn er
`((9),(3)) = (9!)/(3!*6!) = (9*8*7)/(3!) = 84`
.
(Je kunt dit ook uittellen is het rooster.)
Als er precies
`2`
meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst
`2`
van de
`5`
meisjes kiezen en vervolgens
`1`
van de
`4`
jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via
`A`
.
Van
`O`
naar
`A`
zijn er
`((5),(2)) = 10`
mogelijke routes en bij elk van deze routes zijn er van
`A`
naar
`P`
nog eens
`((4),(1)) = 4`
mogelijke routes.
Dat zijn in
`10 *4 =40`
mogelijke routes.
Als er precies
`3`
meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst
`3`
van de
`5`
meisjes kiezen en vervolgens geen van de
`4`
jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via
`B`
.
Van
`O`
naar
`B`
zijn er
`((5),(3)) = 10`
mogelijke routes en bij elk van deze routes is er van
`B`
naar
`P`
nog maar
`1`
mogelijke route.
Dat zijn
`10 *1 =10`
mogelijke routes.
In totaal zijn er
`40 +10 =50`
routes met
`2`
of
`3`
gekozen meisjes van de
`84`
mogelijke routes.
De gevraagde kans is dus
`50/84`
.
Gegeven is een groep van twintig mensen: acht mannen en twaalf vrouwen.
Op hoeveel manieren kun je door loting een groep van vijf samenstellen die bestaat uit drie mannen en twee vrouwen?
Hoe groot is de kans op een groep van vijf, bestaande uit drie mannen en twee vrouwen?
Op hoeveel manieren kun je door loting een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens drie mannen?
Ga uit van een systeem met zeven schakelaars die allemaal "aan" of "uit" kunnen staan. Je ziet hier in een roosterdiagram alle mogelijkheden weergegeven.
Op hoeveel manieren kun je nul van de zeven schakelaars aanzetten?
Op hoeveel manieren kun je één van de zeven schakelaars aanzetten?
Op hoeveel manieren kun je twee van de zeven schakelaars aanzetten?
Het aantal manieren om drie van de zeven schakelaars aan te zetten is gelijk aan het aantal manieren om er vier van de zeven aan te zetten. Leg uit waarom dat zo is.
Hoeveel mogelijkheden om zeven schakelaars aan of uit te zetten zijn er in totaal?
Waarom is `((7),(0)) + ((7),(1)) + ((7),(2)) + ((7),(3)) + ((7),(4)) + ((7),(5)) + ((7),(6)) + ((7),(7)) = 2^7` ?
Gebruik dit roosterdiagram.
Hoeveel kortste routes zijn er van `P` naar `M` ?
Hoeveel kortste routes zijn er van `M` naar `S` ?
Hoeveel kortste routes zijn er van `P` naar `S` via `M` ?