Kansen en tellen > Permutaties en combinaties
123456Permutaties en combinaties

Voorbeeld 3

Uit een groepje van vijf meisjes en vier jongens kies je door loting een drietal.
Hoe groot is de kans dat daar minstens twee meisjes bij zijn?

> antwoord

Dit rooster laat het totaal aantal combinaties van uit zien.
Dat zijn er .

(Je kunt dit ook uittellen met de driehoek van Pascal.)

Als er precies meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst van de  meisjes kiezen en vervolgens van de jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via .
Van naar zijn er mogelijke routes en bij elk van deze routes zijn er van naar nog eens mogelijke routes.
Dat zijn in mogelijke routes.

Als er precies meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst van de  meisjes kiezen en vervolgens geen van de jongens.
Het aantal (kortste) routes gaat dan via .
Van naar zijn er mogelijke routes en bij elk van deze routes is er van naar nog maar mogelijke route.
Dat zijn mogelijke routes.

In totaal zijn er routes met of gekozen meisjes van de mogelijke routes.
De gevraagde kans is dus .

Opgave 5

Gegeven is een groep van twintig mensen: acht mannen en twaalf vrouwen.

a

Op hoeveel manieren kun je door loting een groep van vijf samenstellen die bestaat uit drie mannen en twee vrouwen?

b

Wat is de kans op een groep van vijf, bestaande uit drie mannen en twee vrouwen?

c

Op hoeveel manieren kun je door loting een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens drie mannen?

Opgave 6

Ga uit van een systeem met zeven schakelaars die allemaal "aan" of "uit" kunnen staan.

a

Geef in een roosterdiagram alle mogelijkheden weer.

b

Zet bij elk punt van het rooster hoeveel kortste routes er naar toe leiden. Gebruik de driehoek van Pascal.

c

Op hoeveel manieren kun je nul van de zeven schakelaars aanzetten?

d

Op hoeveel manieren kun je één van de zeven schakelaars aanzetten?

e

Op hoeveel manieren kun je twee van de zeven schakelaars aanzetten?

f

Het aantal manieren om drie van de zeven schakelaars aan te zetten is gelijk aan het aantal manieren om er vier van de zeven aan te zetten. Leg uit waarom dat zo is.

Opgave 7

Stel je voor dat er dertig schakelaars zijn (die dertig toneellampen bedienen), waarmee je de belichting op een podium kunt regelen. Voor een bepaalde scène moeten er vier van de dertig worden aangezet. Neem eerst aan dat de volgorde waarin ze worden aangezet van belang is.

a

Op hoeveel manieren kun je de eerste schakelaar kiezen?

b

Op hoeveel manieren kun je vier schakelaars kiezen?

c

Je moet voor een bepaalde scène de schakelaars , , en gebruiken. Op hoeveel verschillende volgorden kun je die schakelaars nog "aan" zetten?

d

Hoe kun je met behulp van de antwoorden op de vragen bij b en c berekenen op hoeveel manieren je vier schakelaars uit de dertig kunt kiezen als de volgorde niet belangrijk is?

e

Op hoeveel manieren kun je zes schakelaars kiezen uit de dertig als de volgorde niet belangrijk is?

Opgave 8

Gebruik de driehoek van Pascal in dit roosterdiagram.

a

Hoeveel kortste routes zijn er van naar ?

b

Hoeveel kortste routes zijn er van naar ?

c

Hoeveel kortste routes zijn er van naar via ?

verder | terug