Schotpercentage is: raak `0,15` en mis `0,85` .

Zie figuur.

Je ziet in de kansboom twee routes die hieraan voldoen: raak - mis en mis - raak.

De kans op raak - mis is `0,15 * 0,85 = 0,1275` .

De kans op mis - raak is `0,85 * 0,15 = 0,1275` .

De gevraagde kans is gelijk aan `0,1275 + 0,1275 = 0,255` .

In de kansboom is maar één route te vinden die hieraan voldoet: raak - raak.

De bijbehorende kans is: `0,15 * 0,15 = 0,0225` .

Hoogstens één treffer betekent: nul treffers of één treffer.

Er is één route in de kansboom die hoort bij nul treffers: mis - mis met kans `0,85 * 0,85 = 0,7225` .

De kans op één treffer heb je al berekend bij b: die kans is `0,255` .

De gevraagde kans is `0,7225 + 0,255 = 0,9775` .

Teken een derde laag onder de kansboom.

In deze kansboom zie je drie routes die twee treffers opleveren:

• raak - raak - mis met kans `0,15 * 0,15 * 0,85 = 0,019125` ;

• raak - mis - raak met kans `0,15 * 0,85 * 0,15 = 0,019125` ;

• mis - raak - raak met kans `0,85 * 0,15 * 0,15 = 0,019125` .

De gevraagde kans is `3 * 0,019125 ~~ 0,0574` .

Gebruik de kansboom bij a.

Hoogstens twee treffers betekent nul of één of twee treffers.

Nul treffers:
in de kansboom zie je route mis - mis - mis met kans `0,85 * 0,85 * 0,85 ~~ 0,6141` .

Eén treffer:
in de kansboom zie je drie routes:

• raak - mis - mis met kans `0,15 * 0,85 * 0,85 = 0,108375` ;

• mis - raak - mis met kans `0,85 * 0,15 * 0,85 = 0,108375` ;

• mis - mis - raak met kans `0,85 * 0,85 * 0,15 = 0,108375` .

Dus de kans op één treffer is `3 * 0,108375 ~~ 0,3251` .

Twee treffers:
deze kans heb je bij a berekend en is `0,0574` .

De gevraagde kans is `0,6141 + 0,3251 + 0,0574 ~~ 0,9966` .

Gebruik de kansboom bij a.

Minstens twee treffers betekent twee of drie treffers.

Twee treffers:
deze kans heb je bij a berekend en deze is `0,0574` .

Drie treffers:
alleen route raak - raak - raak hoort hierbij en deze heeft kans `0,15 * 0,15 * 0,15 ~~ 0,0034` .

De gevraagde kans is `0,0574 + 0,0034 = 0,0608` .

Met terugleggen, de kans per schot blijft gelijk.

Na elk schot verandert het schotpercentage, het is een gemiddelde over alle schoten tot dat moment.

Bekijk de figuur.

In de kansboom is dit één route: BR.

`text(P)(text(BR)) = 4/6 * 2/6 = 2/9`

Dit zijn twee routes in de kansboom:

RB met kans `2/6 * 4/6 = 8/36` en BR met kans `4/6 * 2/6 = 8/36` .

`text(P)(text(eenmaal R en eenmaal B)) = 8/36 + 8/36 = 4/9`

Bekijk de figuur.

Dit zijn twee routes in de kansboom:

RB met kans `2/6 * 4/5 = 8/30` en BR met kans `4/6 * 2/5 = 8/30` .

`text(P)(text(eenmaal R en eenmaal B)) = 8/30 + 8/30 = 8/15`

Dit zijn twee routes in de kansboom:

RR met kans `2/6 * 1/5 = 2/30` en BB met kans `4/6 * 3/5 = 12/30` .

`text(P)(text(tweemaal R of tweemaal B)) = 2/30 + 12/30 = 7/15`

Iemand kan meerdere taken uitvoeren. Als een man (groene knikker) gekozen is, moet deze knikker terug in de vaas. De gekozen man kan ook voor de volgende taak gekozen worden.

Gebruik de kansboom uit het voorbeeld: bij deze kans horen drie routes.

`text(P)(text(tweemaal een vrouw, eenmaal een man)) = 3 * 5/9 * 5/9 * 4/9 = 100/243`

Bij deze kans hoort één route uit de kansboom:

`text(P)(text(driemaal man)) = 4/9 * 4/9 * 4/9 = 64/729`

Hoogstens twee vrouwen betekent: nul of één of twee vrouwen.

nul vrouwen: zie c; deze kans is `64/729` .

Eén vrouw: is in het voorbeeld berekend; deze kans is `240/729` .

Twee vrouwen: is berekend bij b; deze kans is `300/729` .

De gevraagde kans is `64/729 + 240/729 + 300/729 = 604/729` .

Als je deze kansen nog niet berekend had, was het handiger om `text(P)=1-text(P)(text(vvv))` te berekenen.

`text(P)(text(rood en groen)) = text(P)(text(GR en RG)) = 2/6*4/5 + 4/6*2/5 = 8/30 + 8/30 = 8/15` .

Het aantal tweetallen uit `6` is `((6 ),(2 )) = \ _6 C_2 = 15` .

Verschillende kleur: `((2 ),(1 )) * ((4 ),(1 )) = 8` tweetallen.

Dus `text(P)(text(rood en groen)) = = 8/15`

Niemand mag meerdere taken uitvoeren. Als een blauwe knikker gekozen wordt, krijgt een man één taak. Deze man krijgt geen tweede taak. De getrokken blauwe knikker gaat niet terug in de pot. Er zijn nu minder mannen over (minder blauwe knikkers in de vaas) om een volgende taak te geven.

Gebruik de kansboom uit het voorbeeld: bij deze kans horen drie routes.

`text(P)(text(tweemaal een vrouw, eenmaal een man)) = 5/9 * 4/8 * 4/7 + 5/9 * 4/8 * 4/7 + 4/9 * 5/8 * 4/7 = 3 * 80/504 = 240/504=10/21`

Bij deze kans hoort één route uit de kansboom:

`text(P)(text(driemaal man)) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 24/504=1/21`

Hoogstens twee vrouwen betekent: nul of één of twee vrouwen.

Nul vrouwen: zie c; deze kans is `24/504 `

Eén vrouw: is in het voorbeeld berekend; deze kans is `180/504` .

Twee vrouwen: is berekend bij b; deze kans is `240/504` .

De gevraagde kans is `24/504 + 180/504 + 240/504 = 444/504=37/42` .

Als je deze kansen nog niet berekend had, was het handiger geweest om te berekenen: `text(P)=1-text(P)(text(vvv))=1-5/9*4/8*3/7=444/504=37/42` .

Er is één route in de kansboom uit het voorbeeld die hieraan voldoet.

Als `X` het aantal treffers is, dan is de gevraagde kans:
`text(P)(X=2) = 0,25 * 0,16 =0,04`

Er is één route in de kansboom uit het voorbeeld die hieraan voldoet.

Als `X` het aantal treffers is, dan is de gevraagde kans:

`text(P)(X=0) = 0,75 * 0,84 =0,63`

Minstens één treffer betekent één of twee treffers.

Er zijn drie routes in de kansboom uit het voorbeeld die hieraan voldoen.

Maar beide afzonderlijke kansen zijn al berekend:

• in het voorbeeld staat dat `text(P)(X=1) = 0,33` ;

• in a heb je berekend dat `text(P)(X=2) = 0,04` .

De gevraagde kans `text(P)(X ge 1)` is dan `0,33 + 0,04 = 0,37` .

Zie de figuur.

Er is één route in de kansboom die hieraan voldoet:

`text(P)(text(Joes en Wieke hebben beiden een klein cadeautje)) = 3/11 * 2/10 = 3/55`

Er is één route in de kansboom die hieraan voldoet:

`text(P)(text(Wieke een groot cadeau, Joes een klein cadeau)) = 8/11*3/10 = 12/55`

Nu zijn er twee routes die voldoen:

• klein - groot met kans `3/11 * 8/10 = 24/110`

• groot - klein met kans `8/11 * 3/10 = 24/110`

`text(P)(text(Joes en Wieke hebben samen een groot en een klein cadeau gepakt)) = 2 * 24/110 = 48/110=24/55`

De kansboom heeft twee lagen, één voor elke wedstrijd.

Bovenste laag heeft drie takken: winst voor Arsenal (kans `1/2` ), winst voor Juventus (kans `1/3` ) en gelijkspel (kans `1/6` ).

In de onderste laag hebben alle drie de takken kans `1/3` .

In de kansboom zie je twee routes die bij deze kans horen.

`text(P)(text(elk team wint 1 wedstrijd)) = text(P)(text(AJ of JA)) = 1/2 * 1/3 + 1/3 * 1/3 = 1/6 + 1/9 = 5/18`

Denk aan een kansboom van drie lagen diep met elke keer zes takken.

Kans om achttien te gooien: route 6 - 6 - 6 geeft kans `1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216` .

Kans om zeventien te gooien: drie mogelijke routes, alle met één vijf en twee zessen geeft kans `3 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 3/216` .

`text(P)(17 text( of )18) = 1/216 + 3/216 = 1/54` .

Een rood balletje voor geen zes. Daarvan heb je er vijf nodig. En één wit balletje voor zes. Nu drie keer trekken met terugleggen.

Maak eventueel eerst de bijbehorende kansboom.

Hierbij hoort kansboomroute Rh - Bp:

`text(P)(text(eerste rood hout en tweede blauw plastic)) = 4/10 * 1/10 = 0,04`

Twee kansboomroutes horen hierbij: Rh - Bp en Bp - Rh:

`text(P)(text(rood hout, blauw plastic)) = 4/10 * 1/10 + 1/10 * 4/10 = 0,04 + 0,04 = 0,08`

Hierbij hoort kansboomroute Rh - Bp:

`text(P)(text(eerste rood hout en tweede blauw plastic)) = 4/10 * 1/9 = 4/90=2/45`

Twee kansboomroutes horen hierbij: Rh - Bp en Bp - Rh:
`text(P)(text(rood hout, blauw plastic)) = 4/10 * 1/9 + 1/10 * 4/9 = 8/90=4/45`

Hier horen twee routes uit de kansbomen van e bij:

met terugleggen: `text(P)(text(RB of BR)) = 7/10 * 3/10 + 3/10 * 7/10 = 21/50` ;

zonder terugleggen: `text(P)(text(RB of BR)) = 7/10 * 3/9 + 3/10 * 7/9 = 21/45` .

Als je er een rood (of blauw) balletje uit haalt, wordt daarna de kans op een blauw (of rood) balletje iets groter.

Er zijn evenveel zakjes met `9` rode en `7` gele als er zakjes zijn met `7` rode en `9` gele: over het totaal gezien zijn er dus evenveel rode als gele gomballen in omloop.

Je kunt ook een kansboom maken.

Ja, want deze kans is `6,25` %

In het eerste geval: de kans is dan ongeveer `7,2` % terwijl dat in het tweede geval ongeveer `6,7` % is.

Dat is ook logisch: in het eerste geval heb je zowel voor de tweede als de derde gombal meer kans op een gele bal terwijl in het tweede geval alleen de derde gombal meer kans op geel heeft.

`125/3375 ~~ 0,0370`

`750/3375 ~~ 0,2222`

`720/3375 ~~ 0,2133`

`60/2730 ~~ 0,0220`

`240/2730 ~~ 0,0879`

`720/2730 ~~ 0,2637`

Gebruik voor ieder van de vier mannen een laag in de kansboom, met telkens takken voor wel of niet kleurenblind.

Gevraagde kans: `6 * 121/20736 = 726/20736 ~~ 0,0350` .