Statistiek > Gegevens samenvatten
123456Gegevens samenvatten

Uitleg

Jouw klas heeft een toets gehad. Je docent doet de mededeling dat de toets goed is gemaakt met een gemiddelde van . Ben je blij met deze informatie of hoor je liever dat het modale cijfer is? Of dat de mediaan is?

Met deze mededeling probeert je docent een frequentieverdeling met één getal te karakteriseren.

  • Het modale cijfer is het cijfer dat het vaakst voorkomt. Hier zegt het niet veel, want misschien komt twee keer voor en zijn alle andere cijfers heel verschillend.

  • Ook een mediaan (middelste cijfer) van zegt niet veel, hoewel je dan zeker weet dat de helft van de cijfers hoger dan of gelijk aan is (en de andere helft lager dan of gelijk aan ).

  • Het gemiddelde krijg je door alle cijfers op te tellen en te delen door het totale aantal leerlingen. Maar ben jij een gemiddelde of bovengemiddelde leerling?

Deze getallen zeggen op zichzelf weinig. Het wordt al beter als je er een mededeling over de spreiding van de cijfers bij krijgt. Het gemiddelde cijfer is een en de cijfers hebben een spreiding van bijvoorbeeld.

Maar wat wordt onder de spreiding verstaan? Het verschil tussen het hoogste en het laagste cijfer, de spreidingsbreedte, is bijvoorbeeld zo'n spreidingsmaat. Maar er zijn ook andere spreidingsmaten.
Een boxplot, waarin onder andere mediaan en spreiding zijn verwerkt, kan je meer duidelijkheid verschaffen.

Opgave 1

In een eetcafé komen op een dag tachtig mensen eten. Ze besteden gemiddeld € 22,00. Studenten betalen € 15,00 voor het studentenmenu, dagjesmensen betalen € 25,00 voor het toeristenmenu. Hoeveel studenten waren er die dag?

Opgave 2

Bekijk de uitleg. In de tabel zie je de cijfers van een wiskundetoets van twee parallelklassen.

cijfers klas A   cijfers klas B
6,7 6,4 4,9 3,8 4,0   4,0 6,2 4,9 3,9 5,9
5,6 5,8 6,8 8,2 4,7   7,3 4,7 6,7 7,6 9,4
3,4 8,5 4,1 6,9 7,3   8,3 5,7 7,2 8,7 7,1
6,1 7,5 6,7 6,2 3,4   7,0 6,5 7,4 5,0 4,8
7,9 4,5 8,3       7,7 6,5 4,9 8,8 6,3
a

Waarom heeft het geen zin om van beide klassen het modale cijfer te vergelijken?

b

Bepaal van beide klassen de mediaan.

c

Zegt de mediaan iets over welke klas beter heeft gescoord?

d

Bereken van beide klassen het gemiddelde cijfer.

e

Welke van beide klassen heeft het hoogste gemiddelde? Kun je nu zonder meer zeggen dat die klas ook beter heeft gescoord?

Opgave 3

Men neemt aan dat de leerlingen van groep 8 van de basisscholen in Nederland elk jaar ongeveer even goed presteren op de Cito-toets. Het is moeilijk om elk jaar een toets te maken die even moeilijk is als die van het jaar daarvoor. Een leerling die een moeilijke toets maakt, zal slechter scoren dan een even slimme leerling die een makkelijke toets maakt. Daarom vergelijkt men de resultaten van een toets met die van alle andere kinderen in datzelfde jaar. Jouw score is dan het percentage van alle leerlingen die slechter gepresteerd hebben dan jij. Deze score noem je percentielscore. Je krijgt bijvoorbeeld een percentielscore van als % van de Nederlandse leerlingen lager scoorde dan jij.

a

Stel dat je dit per klas zou doen. Waarom zou dat niet eerlijk zijn?

b

Welke centrummaat is gelijk aan een percentielscore van ?

c

Kunnen alle leerlingen van een school een hogere score hebben dan ?

Omdat een score van 0 frustrerend is, heeft men de Cito-scores opgeschaald met een minimale score van 500 en een maximale score van 550. Om toegelaten te worden tot de havo houden veel scholen de grens van 537 punten aan.

d

Welke percentielscores horen hierbij?

Opgave 4

Je ziet de SE-cijfers (schoolexamen) van enkele leerlingen aan het eind van havo 5. Hun eindcijfer is het gemiddelde van deze cijfers.

leerling SE 1 SE 2 SE 3 SE 4 SE 5 SE 6 SE 7
A
B
C
D
a

Elk SE-cijfer telt even zwaar mee voor het eindcijfer. Welk eindcijfer krijgen de leerlingen A, B, C en D?

b

De laatste drie cijfers zijn gehaald in de vijfde klas. Deze tellen twee keer zo zwaar als de cijfers gehaald in klas 4. Wat wordt nu het gemiddelde cijfer van elke leerling?

Alle SE-cijfers tellen even zwaar mee. In de figuur is voor elke leerling elk SE-cijfer aangegeven door een bolletje op een getallenlijn (de komma in het cijfer is weggelaten).

c

De leerlingen A en B hebben hetzelfde gemiddelde. Toch is hun cijferbeeld nogal verschillend. Hoe komt dat?

d

De spreiding van de cijfers van leerling A en C is vrijwel hetzelfde. Waarin verschilt hun cijferbeeld vooral?

e

De cijfers van de leerlingen B en D hebben dezelfde spreidingsbreedte. Is de spreiding van hun cijfers ook hetzelfde?

Opgave 5

Je ziet de SE-cijfers (schoolexamen) van enkele leerlingen aan het eind van havo 5. Hun eindcijfer is het gemiddelde van deze cijfers.

leerling SE 1 SE 2 SE 3 SE 4 SE 5 SE 6 SE 7 eindcijfer
A
B
C
D
a

Een maat voor de spreiding vind je door te kijken hoe ver elk cijfer van het gemiddelde af ligt. Bereken van elk cijfer het verschil met het gemiddelde. Je ziet die verschillen voor leerling A.

leerling SE 1 SE 2 SE 3 SE 4 SE 5 SE 6 SE 7
A
verschil met gemiddelde

Bereken het gemiddelde van deze verschillen. Verbaast het antwoord je? Licht je antwoord toe.

b

Het gemiddelde van deze verschillen is geen goede spreidingsmaat. Dat zit hem in de mintekens. Door te kwadrateren vallen die mintekens weg. Maak voor leerling A een lijst van de kwadraten van de verschillen, en bereken daarvan het gemiddelde. Heb je nu een goede spreidingsmaat?

c

Door het kwadrateren wordt het getal dat je zojuist bij d hebt gevonden, nogal groot. Dat los je op door de wortel uit dit getal te nemen. Je krijgt dan de "standaardafwijking" van de set cijfers. Ga na dat de standaardafwijking voor leerling A ongeveer is.

d

Bereken ook voor leerling B de verschillen van de cijfers met het gemiddelde. Bereken vervolgens het gemiddelde van de kwadraten van die verschillen en de standaardafwijking.

e

Bereken de standaardafwijking van de cijfers van leerling D. Vind je verschillende standaardafwijkingen voor de cijfers van de leerlingen B en D?

verder | terug