Je laat de boogschutter een (groot) aantal keren schieten, en je houdt bij in welke ringen de schoten terechtkomen. Hieruit kun je voor elke ring een percentage berekenen: dit correspondeert met de kans dat de boogschutter die ring raakt.

`0·0,02+1·0,02+2·0,04+3·0,10+4·0,09+5·0,11+6·0,12+7·0,12+8·0,15+9·0,15+10·0,08=6,22`

Dit getal representeert de gemiddelde score die een schot met de boog aanneemt, naargelang er vaker geschoten wordt.

`93,3` punten

De variantie is `(0-6,22)^2*0,02 + (1-6,22)^2*0,02 + ... + (10-6,22)^2*0,08≈6,5316` en dus is de standaardafwijking ongeveer `2,56` .

Een goede boogschutter zit relatief vaak in de buurt van de `10` punten.

`text(E)(Y) = 0 * 0,01 + 1 * 0,02 + … + 9 * 0,21 + 10 * 0,24 = 7,59`

`text(Var)(Y) ≈ (0-7,59)^2 * 0,01 + (1-7,59)^2*0,02 + ...+ (10-7,59)^2*0,24 ≈ 5,9419`

`sigma (Y) = sqrt(5,9419) ≈ 2,44`

B is de betere schutter: een hogere verwachtingswaarde met een kleinere standaardafwijking.

Je kunt het overigens ook al zien aan de verdelingen zelf: bij B zitten de hoogste kansen in de kansverdeling allemaal bij de hoge scores.

Voer de uitkomsten ( `1` tot en met `6` ) in onder L1, en de bijbehorende kans (telkens `1/6` ) onder L2.

`text(E)(X)=3,5` en `sigma(X) approx 1,71`

Met behulp van een rooster is dit snel in te zien:

`+`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`
`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`
`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`
`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`
`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`
`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`
`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`

In totaal zijn er `6*6` mogelijke uitkomsten, die een waarde hebben van `2` tot en met `12` ogen, dus `2` en `12` doen zelf ook mee.

Het aantal manieren om `2` ogen te gooien is `1` ; dit correspondeert met een kans `1/36` .

Het aantal manieren om `3` ogen te gooien is `2` ; dit heeft dus kans `2/36` .

Op deze manier kun je snel alle kansen bepalen.

GR: `text(E)(X)=7` en `sigma(X) approx 2,42`

De verwachtingswaarde bij het werpen met twee dobbelstenen is twee keer de verwachtingswaarde van één dobbelsteen. Bij de standaarddeviatie is dit wat moeilijker omdat het dan de wortel uit de variantie betreft. Als je de laatste variantie deelt door de eerste vind je een uitkomst die een vermoeden van `sqrt(2)` geeft. Door het worteltrekken wordt nu de standaarddeviatie `sqrt(2)` keer zo groot. Je gaat dit in de volgende paragraaf beter bekijken.

De kansverdeling voor `A` is:

`a`	`0`	`1`	`2`	`3`
`text(P)(A=a)`	`125/216`	`75/216`	`15/216`	`1/216`

Voer in op de GR: onder L1 de mogelijke uitkomsten ( `0` , `1` , `2` en `3` ) en onder L2 de bijbehorende kansen: `125/216` , `75/216` , `15/216` en `1/216` .

De optie "1-Var Stats L1, L2" geeft `text(E)(A) = 0,5` en `sigma(U) approx 0,65` .

Deze situatie is uniform verdeeld. De stochast `S` omschrijft eigenlijk de vraag welk sleutelnummer (van `1` tot en met `6` ) de juiste is. `text(P)(S=6)` is in wezen dus ook gelijk aan de kans dat er bij een dobbelsteen `6` gegooid wordt, en die kans is `1/6` .

`s`	1	2	3	4	5	6
`text(P)(S=s)`	`1/6`	`1/6`	`1/6`	`1/6`	`1/6`	`1/6`

De verwachtingswaarde van een dobbelsteenworp is ook `3,5` . De berekening is `1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5` .

`text(E)(S) = 3,5` dus `3` of `4` sleutels.

Je kunt direct aflezen dat `text(P)(T=3)=0,15` en `text(P)(T>3)=0,28+0,25+0,17+0,02+0,01=0,73` .

Voer in op de GR: onder L1 de tijd ( `1` tot en met `8` ) en onder L2 de bijbehorende kansen.

Met 1-Var Stats L1, L2 krijg je `text(E)(T)=4,26` en `σ(T)≈1,43` .

Een afwijking van meer dan één standaardafwijking wil zeggen: `T lt text(E)(U)-sigma(U) approx 2,83` , ofwel `T le 2` , of `T gt text(E)(U)+sigma(U) approx 5,69` , ofwel `T ge 6` .

Nu kun je direct aflezen dat `text(P)(T le 2 vv T ge 6)=0,04+0,08+0,17+0,02+0,01=0,32` .

Als de kans op een mooie dag is `0,3` , dan is de kans op een minder mooie dag `1-0,3=0,7` .

`text(E)(text(winst))=0,3*300+0,7*60=48` euro.

Je hebt `text(Var)(text(winst))=(300-48)^2*0,3+(60-48)^2*0,7=19152` , dus `sigma(text(winst))=sqrt(19152) approx 138,39` euro.

De kans op nul meisjes is gelijk aan die op twee jongens: `1/2*1/2=1/4` . De kans op één jongen en één meisje is `2*1/2*1/2=1/2` , omdat het eerste of tweede kind het meisje zou kunnen zijn.

Op deze manier is de kansverdeling voor het aantal meisjes `M` :

`m`	`0`	`1`	`2`
`text(P)(M=m)`	`1/4`	`1/2`	`1/4`

Je verwacht daarom `text(E)(M) =1/4*0+1/2*1+1/4*2= 1` meisje per gezin met twee kinderen.

De kans op nul meisjes is gelijk aan die op drie jongens: `1/2*1/2*1/2=1/8` . De kans op twee jongens en één meisje is `3*1/2*1/2*1/2=3/8` , omdat het eerste, tweede of derde kind het meisje zou kunnen zijn.

Op deze manier is de kansverdeling voor het aantal meisjes `M` :

`m`	`0`	`1`	`2`	`3`
`text(P)(M=m)`	`1/8`	`3/8`	`3/8`	`1/8`

Je verwacht daarom `text(E)(M) =1/8*0+3/8*1+3/8*2+1/8*3= 1,5` meisjes per gezin met drie kinderen.

De verwachtingswaarde van een stochast zegt niet verschrikkelijk veel over de uitkomst van één enkel kansexperiment. Dat een gezin met drie kinderen een verwachte `1,5` meisjes heeft, betekent eigenlijk dat alle gezinnen met drie kinderen bij elkaar gemiddeld `1,5` meisjes hebben.

`text(P)(A = 0) = (5 / 6)^3 = 125 / 216`

`text(P)(A = 1) = 3 * (1 / 6) * (5 / 6)^ 2 = 75 / 216`

`text(P)(A = 2) = 3 * (1 / 6)^ 2 * (5 / 6) = 15 / 216 `

`text(P)(A = 3) = (1 / 6)^ 3 = 1 / 216`

De kansverdeling van `A` is:

`a`	`0`	`1`	`2`	`3`
`text(P)(A=a)`	`125/216`	`75/216`	`15/216`	`1/216`

Als `A = 0` dan verlies je je inleg en verdien je `text(-)1` maal je inleg: `U = text(-)1` .

Als `A = 1` dan krijg je je inleg terug en verdien je `0` maal je inleg: `U = 0` .

Als `A = 2` dan krijg je je inleg dubbel terug en verdien je `1` maal je inleg: `U = 1` .

Als `A = 3` dan krijg je je inleg `10` maal terug en verdien je `9` maal je inleg: `U = 9` .

Voor de berekening van de bijbehorende kansen: zie a.

`u`	`text(-)1`	`0`	`1`	`9`
`text(P)(U=u)`	`125/216`	`72/216`	`15/216`	`1/216`

`text(E)(U)≈text(-)0,47` en `σ(U)≈0,90`

Nee, je verliest per ingelegde euro gemiddeld ongeveer € 0,47.

(Door toeval kun je toch een keer iets verdienen.)

`text(E)(X)=1/6*(1+2+3+4+5+6)=3,5` ; `sigma(X)=sqrt(1/6*((1-3,5)^2+(2-3,5)^2+(3-3,5)^2+(4-3,5)^2+(5-3,5)^2+(6-3,5)^2))=` ` sqrt(35/12)` ; `text(E)(Y)=1/4*(1+2+3+4)=2,5` ; `sigma(Y)=sqrt(1/4*((1-2,5)^2+(2-2,5)^2+(3-2,5)^2+(4-2,5)^2))=sqrt(1,25)`

`x+y`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`
`text(P)(X+Y=x+y)`	`1/24`	`1/12`	`1/8`	`1/6`	`1/6`	`1/6`	`1/8`	`1/12`	`1/24`

GR: `text(E)(X+Y)=6` en `sigma(X+Y)=sqrt(25/6)` .
Je ziet dat `text(E)(X+Y)=text(E)(X)+text(E)(Y)` en `text(Var)(X+Y)=text(Var)(X)+text(Var)(Y)` , dus `sigma(X+Y)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(Y))^2)`

De gebeurtenis dat `X+Y` even is heeft een kans van `1/24+1/8+1/6+1/8+1/24=1/2` . Dit geeft voor `Z` :

`z`	`0`	`1`
`text(P)(Z=z)`	`1/2`	`1/2`

Dit geeft `text(E)(Z)=0*1/2+1*1/2=1/2` en `sigma(Z)=sqrt((0-1/2)^2*1/2+(1-1/2)^2*1/2)=sqrt(1/4)=1/2` .

De kansverdeling voor `T` is:

`t`	`3`	`4`	`5`
`text(P)(T=t)`	`1/4`	`3/8`	`3/8`

`text(E)(T) = 4,125` en `sigma (T) ~~ 0,78` . Gemiddeld zal een wedstrijd ongeveer vier sets duren met een standaardafwijking van ongeveer `0,78` .

De kansverdeling van `X` is:

`x`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(X=x)`	`625/1296`	`500/1296`	`150/1296`	`20/1296`	`1/1296`

`text(E)(X) approx 0,667` en `sigma(X) approx 0,745` .