Bijvoorbeeld `text(P)(X+Y=2)=text(P)(X=2 text( en ) Y=0)=0,20*0,40=0,08` enzovoort.

Dat `X` en `Y` voor alle gevallen onafhankelijk zijn. Anders geldt de productregel niet op de bij a beschreven manier.

`text(E)(X)=0,2*2+0,3*4+0,5*6=4,6`

`text(E)(Y)=0,4*0+0,6*10=6`

`text(E)(X+Y)=0,08*2+0,12*4+0,2*6+0,12*12+0,18*14+0,3*16=10,6`

`text(Var)(X)=(2-4,6)^2*0,2+(4-4,6)^2*0,3+(6-4,6)^2*0,5=2,44`
`text(Var)(Y)=(0-6)^2*0,4+(10-6)^2*0,6=24`
`text(Var)(X+Y)=(2-10,6)^2*0,08+(4-10,6)^2*0,12+(6-10,6)^2*0,2+`
`(12-10,6)^2*0,12+(14-10,6)^2*0,18+(16-10,6)^2*0,3=26,44`
Hieruit volgt `sigma(X)=sqrt(2,44)` ; `sigma(Y)=sqrt(24)` en `sigma(X+Y)=sqrt(26,44)`

Omdat deze manier van optellen sterk lijkt op het toepassen van de stelling van Pythagoras.

Voer de waarden in op de GR. Zo kun je `text(E)(X)=6,39` en `text(E)(Y)=7,69` direct aflezen. Je ziet zo ook dat `text(E)(X+Y)=6,39+7,69=14,08` .

Je ziet dat `sigma(X)=2,564...` en `sigma(Y)=2,274...` en dus `sigma(X+Y)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(Y))^2) approx 3,42` .

De berekeningen van de eerste paar kansen zitten als volgt in elkaar:

`text(P)(X+Y=0)=text(P)(X=0)*text(P)(Y=0)`

`text(P)(X+Y=1)=text(P)(X=0)*text(P)(Y=1)+text(P)(X=1)*text(P)(Y=0)`

`text(P)(X+Y=2)=text(P)(X=0)*text(P)(Y=2)+text(P)(X=1)*text(P)(Y=1)+text(P)(X=2)*text(P)(Y=0)`

Op deze manier duurt het verschrikkelijk lang om de kansverdelingstabel in te vullen. De manier bij a is duidelijk een stuk sneller.

Een schotbeurt heeft stochast `3X` . Nu heeft `3X` de waarden `0` , `1` , `2` , `3` , `4` , ..., `29` , `30` . Je moet de bijbehorende kansen uitrekenen, dat is weer flink wat werk. Bijvoorbeeld `text(P)(3X=2)=text(P)(X=0 text( en ) Y=2)+text(P)(X=1 text( en ) Y=1)+text(P)(X=2 text( en ) Y=1)` enzovoort.

Je moet dan de kansverdeling voor `3X` echt helemaal maken en `text(E)(3X)` en `σ(3X)` daarmee berekenen.

`X+2`

Je telt een constante bij de stochast op: de verwachtingswaarde van de nieuwe stochast `X+2` bestaat uit twee onderling onafhankelijke delen (ongeacht `X` wordt er altijd `2` bij opgeteld), dus `text(E)(X+2)=text(E)(X)+text(E)(2)` . De verwachtingswaarde van een constante is die constante zelf.

`text(E)(X+2)=text(E)(X)+text(E)(2)=text(E)(X)+2=6,22+2=8,22`

De standaardafwijking van een constante is `0` (iets wat altijd hetzelfde is, heeft geen mate van spreiding). Je schuift als het ware alle uitkomsten `2` naar rechts. De standaardafwijking "schuift" mee en verandert dus niet.

`sigma(X+2)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(2))^2)=sigma(X) approx 2,56`

Hier geldt:

• `text(P)(Y-X=text(-)1)=text(P)(Y=1)*text(P)(X=2)`

• `text(P)(Y-X=0)=text(P)(Y=1)*text(P)(X=1)+text(P)(Y=2)*text(P)(X=2)`

• `text(P)(Y-X=1)=text(P)(Y=1)*text(P)(X=0)+text(P)(Y=2)*text(P)(X=1)`

• `text(P)(Y-X=2)=text(P)(Y=2)*text(P)(X=0)`

Je ziet de kansverdeling voor `Y - X` :

`y-x`	`text(-)1`	`0`	`1`	`2`
`text(P)(Y-X=y-x)`	`0,1925`	`0,4625`	`0,2475`	`0,0975`

GR: `text(E)(X)=1,4` , `text(E)(Y)=1,65` en `text(E)(Y-X)=0,25` .
Je ziet: `1,65-1,4=0,25` .

GR: `σ(X)≈0,735` , `σ(Y)≈0,477` en `σ(Y-X)≈0,876` .
Je ziet: `0,876^2≈0,735^2+0,477^2` .

Je mag aannemen dat voor elk lot de kans op een prijs `0,14` is en dat de trekkingen onafhankelijk van elkaar zijn. Noem een lot met een prijs `1` en een lot zonder prijs `0` . De kansverdeling `L` per lot is dan:

`l`	`0`	`1`
`text(P)(L=l)`	`0,86`	`0,14`

En dus is per lot `text(E)(L) =0*0,86+1*0,14=0,14` .
Voor `10` loten is daarom de verwachting `10 * 0,14 = 1,4` loten met prijs.

Per lot is `text(Var)(L)=(0-0,14)^2*0,86+(1-0,14)^2*0,14=0,1204` . Voor `10` loten is de standaarddeviatie dus `sqrt(10)*sqrt(0,1204) approx 1,10` .

Per geldstuk geldt deze kansverdeling voor het aantal keren munt `M` dat boven komt:

`m`	`0`	`1`
`text(P)(M=m)`	`2/3`	`1/3`

En dus is `text(E)(M) =0*2/3+1*1/3=1/3` .
Werp je `100` keer met dit geldstuk, dan mag je `100 * 1/3 approx 33` keer munt verwachten.

Je ziet dat `text(Var)(M)=(0-1/3)^2*2/3+(1-1/3)^2*1/3=2/9` en dus: `sigma(100M)=sqrt(100)*sqrt(2/9)=(10sqrt(2))/3` .

Noem `Z=X+Y` . Dan is de kansverdeling als volgt:

`z`	3	5	7	9	11
`text(P)(Z=z)`	`1/6`	`1/6`	`2/6`	`1/6`	`1/6`

`text(E)(X+Y)=3*1/6+5*1/6+7*2/6+9*1/6+11*1/6=7` .

`text(Var)(X+Y)=(3-7)^2*1/6+(5-7)^2*1/6+(7-7)^2*2/6+(9-7)^2*1/6+(11-7)^2*1/6=6 2/3` dus `sigma(X+Y) approx 2,58` .

`X` en `Y` zijn afhankelijk.

`text(P)(X=1)=1/3` , dus `text(P)(X=0)=2/3` .
Zo is `text(E)(X)=0*2/3+1*1/3=1/3` en `sigma(X)=sqrt((0-1/3)^2*2/3+(1-1/3)^2*1/3)=sqrt(2/9)` .

De stochast is `X+X+X+X+X=5X` , dus `text(E)(5X)=5*text(E)(X)=5/3` en `sigma(5X)=sqrt(5)*sigma(X)=sqrt(10/9)` .

Je zoekt `text(P)(5X ge 4)=text(P)(5X=4vv5X=5)=text(P)(5X=4)+text(P)(5X=5)` , ofwel de kans dat Charlotte `4` keer wint plus de kans dat ze `5` keer wint.

• De kans dat ze `4` keer wint, is de kans op `4` keer succes en `1` keer geen succes maal het aantal volgordes waarin dit rijtje kan: `((5),(1))*(1/3)^4*2/3`

• De kans dat ze `5` keer wint, is `(1/3)^5` .

De gevraagde kans is dus `((5),(1))*(1/3)^4*2/3+(1/3)^5 approx 0,0453` .

Noem het aantal rondes `n` , dan geldt `sigma(nX)=sqrt(32)` .

`sigma(nX)=sqrt(n)*sigma(X)=sqrt(n)*sqrt(2/9)=sqrt(32)` en dit geeft `n=144` .

De kansverdeling van `A` is:

`a`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`
`text(P)(A=a)`	`0,15`	`0,18`	`0,29`	`0,28`	`0,10`

De kansverdeling van `B` is:

`b`	`5`	`6`	`7`
`text(P)(B=b)`	`0,32`	`0,41`	`0,27`

`C` is het gemiddelde cijfer van de twee practicumtoetsen.

`text(E)(A)=6` en `text(E)(B)=5,95` . Dus: `text(E)(C)=1/2(6+5,95) approx 6,0`

Kansverdeling van stochast `C` :

`c`	`4,5`	`5`	`5,5`	`6`	`6,5`	`7`	`7,5`
`text(P)(C=c)`	`0,10`	`0,16`	`0,13`	`0,19`	`0,20`	`0,16`	`0,06`

De correcte standaardafwijking voor `C` is afgerond `0,87` .

De somregel voor twee stochasten geldt alleen als de beide stochasten onafhankelijk van elkaar zijn. Dat is nu niet zo.

De kansverdeling voor het aantal keren kop `K` is:

`k`	`0`	`1`	`2`
`text(P)(K=k)`	`0,25`	`0,50`	`0,25`

`1` keer kop.

`0,71`

`10` keer kop.

`2,24`