Discrete kansmodellen > Binomiale stochastenUitleg
Kleurenblindheid komt voor bij
`8`
% van de westerse mannen.
Of iemand kleurenblind is, kun je niet aan zijn uiterlijk zien. Dus iedere westerse
man die je tegenkomt, en verder niet kent, heeft voor jou een kans van
`0,08`
om kleurenblind te zijn. Vraag je een willekeurige westerse man of hij kleurenblind
is of niet, dan doe je een kansexperiment met precies twee uitkomsten:
`X`
is
`0`
als hij niet kleurenblind is en
`1`
als dit wel het geval is. Zo'n kansexperiment heet een Bernoulli-experiment naar
de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654–1705).
De bijbehorende kansverdeling is:
| `x` | `0` | `1` |
| `text(P)(X=x)` | `0,92` | `0,08` |
Je kunt nagaan dat `text(E)(X)=0,08` en `sigma(X) approx 0,271` .
Vraag je tien westerse mannen naar kleurenblindheid, dan voer je het Bernoulli-experiment tien keer uit: je herhaalt tien keer hetzelfde experiment. De bijbehorende stochast is `K=10X` en de kans dat er twee kleurenblinden bij zijn, is:
`text(P)(K=2)=0,08^2·0,92^8·((10),(2))`
waarin
`((10),(2))`
het aantal mogelijke combinaties van twee uit tien voorstelt.
Dit getal is het aantal mogelijke takken in de bijbehorende kansboom van tien lagen
met twee kleurenblinden en acht niet-kleurenblinden.
De kansverdeling voor `K` kun je als volgt berekenen:
-
`text(P)(K=0)=0,08^0·0,92^10·((10),(0))`
-
`text(P)(K=1)=0,08^1·0,92^9·((10),(1))`
-
`text(P)(K=2)=0,08^2·0,92^8·((10),(2))`
-
...
-
`text(P)(K=10)=0,08^(10)·0,92^0·((10),(10))`
Bij deze kansverdeling kun je snel de verwachting en de standaardafwijking berekenen:
`text(E)(K)=text(E)(10X)=10text(E)(X)=10·0,08=0,8`
en
`σ(K)=σ(10X)=sqrt(10) * σ(X) approx sqrt(10) * 0,271 approx 0,86`
.
Bekijk de stochast
`X`
in de
Laat zien dat `text(E)(X)=0,08` en `σ(X)≈0,27` .
Leg uit waarom `K=10X` de som van `10` onafhankelijke Bernoulli-experimenten is.
Bereken `text(P)(K=4 )` .
Leg uit waarom `sigma(K) = sqrt(10)*sigma(X)` .
Onder de westerse vrouwen is `0,4` % kleurenblind. De stochast `Y` hoort bij de kleurenblindheid van één westerse vrouw.
Bereken de verwachtingswaarde en standaardafwijking van `Y` in drie decimalen nauwkeurig.
Je vraagt aan `100` westerse vrouwen of ze kleurenblind zijn of niet. Hierbij hoort de stochast `L=100Y` .
Bereken `text(E)(L)` en `sigma(L)` . Rond indien nodig af op twee decimalen.
Je werpt met twee dobbelstenen en bepaalt na de worp de som van het aantal bovenliggende ogen. De stochast `X` geeft aan of het aantal ogen zeven is of niet:
-
`X=0` betekent dat je geen zeven ogen gooit.
-
`X=1` betekent dat je zeven ogen gooit.
Stel een kansverdeling voor `X` op.
Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `X` exact.
Je gooit nu twaalf keer met twee dobbelstenen. Je let op het aantal keren `A` dat je zeven ogen gooit.
Hoe groot is de kans dat je drie keer zeven ogen gooit, dus hoe groot is `text(P)(A=3)` ? Rond af op vier decimalen.
Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `A` . Rond af op twee decimalen.