Discrete kansmodellen > Niet binomiaal
123456Niet binomiaal

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Omdat je niet teruglegt is de verdeling van dit kansproces niet binomiaal. Je moet het dus anders beredeneren.

De kans om één van de kleurenblinden uit de groep van te kiezen is . Er is daarna nog een groep van over, waaronder nog kleurenblinde (en dus mensen die niet kleurenblind zijn). Om dan nog mannen te kiezen die niet kleurenblind zijn heeft achtereenvolgens de kans , en . Wat je tot nu toe hebt is dus een kans .

Om rekening te houden met het feit dat je de kleurenblinde man als eerste, tweede, derde of vierde kan kiezen komt daar een factor bij. De gevraagde kans is dus .

b

De gevraagde kans is .

Opgave 1
a

b

Maak een kanstabel en voer die in je GR in.

Met "1-Var Stats L1,L2" vind je en .

c

Omdat er geen sprake is van trekking met teruglegging.

Opgave 2
a

is uitgewerkt met behulp van de kansboommethode en met behulp van combinaties:

Berekend als een binomiale stochast met en krijg je:

b

GR: en

c

Een kleine steekproef zal de kans op "succes" niet erg sterk veranderen. Bijvoorbeeld en na één minder:

Bij een heel kleine steekproef uit een heel grote populatie waarbij het gaat om het wel of niet hebben van een bepaalde eigenschap, wordt het binomiale kansmodel gebruikt.

Bij het antwoord van a zie je ook dat beide kansverdelingen bij benadering hetzelfde zijn.

Opgave 3
a

Bij een steekproef gaat het altijd om trekking zonder terugleggen. En bij zo'n kleine populatie veranderen de kansen behoorlijk als er telkens één minder is.

b

De kans op bijvoorbeeld is:

Op deze manier kun je een kansverdeling opstellen.

c

GR: en

d

Opgave 4

Noem het aantal benodigde trekkingen tot er een wit balletje wordt getrokken.

Achtereenvolgens vind je:

  • Bij de eerste trekking zijn er twee witte en drie rode balletjes, dus (dus de kans dat je als eerste een rood balletje trekt, is ).

  • Als de eerste trekking een rood balletje is, zijn er nog twee witte en twee rode balletjes over, dus .

  • Enzovoort.

Als je zo doorgaat, krijg je de volgende kansverdeling:

Hiermee krijg je en .

Opgave 5
a

Bij een steekproef gaat het altijd om trekking zonder terugleggen en bij zo'n kleine populatie veranderen de kansen behoorlijk als er telkens eentje minder is.

b

Doen.

c

Doen.

d

.

Opgave 6
a

Het hypergeometrische kansmodel, want de steekproef wordt uit een kleine populatie getrokken. De verandering van de slagingskansen per trekking is hier te groot.

b

c

De gevraagde kans is gelijk aan , ofwel:

d

e

De verwachtingswaarde van een hypergeometrische stochast is , ofwel hier dus .

Opgave 7
a

b

Omdat de steekproef ten opzichte van de hele populatie klein is.

c

Voer in: binompdf(50,0.23,15)

De kans is ongeveer .

d

Voer in: 1-binomcdf(50,0.23,14)

Je vindt dan dat .

Opgave 8

Je mag nu het aantal rechtshandigen benaderen met een binomiale stochast. Voer in: binomcdf(20,0.9,15)

De kans is ongeveer .

Opgave 9
a

b

GR: en

Opgave 10
a

De verwachting is % van . Dus .

b

Van de personen zijn er jonger dan 28 jaar.
De gevraagde kans is dus .

c

Binomiaal benaderd is de kans ongeveer en dat is een afwijking van ongeveer .

d

In deze groep zijn leden jonger dan 35 jaar.
De gevraagde kans is dus .

e

Binomiaal benaderd is de kans nog steeds ; nu is het verschil ongeveer . Dat is kleiner omdat de populatie veel groter is dan de steekproef.

Opgave 11
a

b

Hier is . Nu is de kans op nul bonbons met roomvulling en de kans op één zo'n bonbon weet je uit a.

De gevraagde kans is ongeveer .

c

Dit is gewoonweg de kans op drie bonbons met roomvulling: .

Opgave 12
a

Dit maakt de gevraagde kans: .

b

De kans is afgerond . Het verschil is klein, namelijk ongeveer .

c

Met een binomiale benadering is die kans afgerond .

Opgave 13
a

Het aantal flessen met een gebrek is een binomiaal verdeelde stochast met steekproefgrootte en slagingskans . De partij wordt goedgekeurd als . Voer in: binomcdf(20,0.05,1)

De kans is ongeveer .

b

De stochast is bijna hetzelfde als bij a, maar dan met slagingskans . Voer in: binomcdf(20,0.2,1)

De kans is ongeveer .

c

Van de flessen hebben er gebreken. De gevraagde kans is dus .

d

Van de wijnflessen hebben er dus gebreken. Dit geeft een kans van op een fles met gebreken.

De binomiale benadering van de gevraagde kans is dus .

Als je dat vergelijkt met de eigenlijke kans (berekend bij c) is het verschil ongeveer . Dat correspondeert met een kansverschil van % en dat is onder de gestelde norm.

Opgave 14Steekproefgrootte berekenen
Steekproefgrootte berekenen
a

. Tabel op je GR: of minder.

b

. Tabel op je GR: .

Opgave 15Steaks
Steaks

Noem de grootte van de lading steaks .

Hypergeometrisch gezien is de uitdrukking van de besproken kans: . Noem deze uitdrukking .

De binomiale kansbenadering is: . Noem deze uitdrukking .

Het verschil tussen en mag hooguit zijn:

Met behulp van de GR vind je dat het aantal steaks minimaal moet zijn. (Bij steaks is het verschil ook kleiner dan . Aangezien valt deze echter buiten de oplossing.)

Opgave 16
a
b

, en

Opgave 17
a

Hypergeometrisch kansmodel: ongeveer .
Binomiaal kansmodel: .

b

De hypergeometrische kans. Het verschil zit in het trekken met of zonder terugleggen.

Opgave 18
a

Ongeveer .

b

Ongeveer .

c

Ongeveer .

d

Ongeveer .

verder | terug