Discrete kansmodellen > Wortel-n-wet
123456Wortel-n-wet

Uitleg

Een boogschieter schiet `20` keer op een rond bord ( `0` , `1` , `2` , ..., `10` punten te behalen).
Zijn kansverdeling per schot is:

`x` `0` `1` `2` `3` `4` `5` `6` `7` `8` `9` `10`
`text(P)(X=x)` `0,02` `0,02` `0,04` `0,10` `0,09` `0,11` `0,12` `0,12` `0,15` `0,15` `0,08`

De verwachting per schot is `6,22` punten met een standaardafwijking van ongeveer `2,56` punten.

De stochast `X` is het aantal punten dat de boogschutter behaalt met één keer schieten. De stochast `T` is het totaal aantal punten bij `20` herhalingen. Omdat elk schot onafhankelijk is van het voorgaande, kun je zowel de optelregel voor verwachtingswaarden als die voor varianties toepassen:
`text(E)(T)=text(E)(X+X+...+X)=text(E)(X)+text(E)(X)+...+text(E)(X)=20·text(E)(X)`
en
`text(Var)(T)=text(Var)(X+X+...+X)=text(Var)(X)+text(Var)(X)+...+text(Var)(X)=20·text(Var)(X)`

Dus bij het totaal van `20` schoten is:

  • de verwachtingswaarde `text(E)(T)=20·6,22=124,4` punten

  • de standaardafwijking `σ(T)=sqrt(20*text(Var)(X))=sqrt(20)*sqrt((σ(X))^2)=sqrt(20)*σ(X)≈11,45` punten

Opgave 1

In de Uitleg zie je de stochast `X` , die staat voor het aantal punten dat de boogschutter haalt per schot op een rond bord. Schiet hij twaalf keer op dit bord, dan heb je het over de stochast `12X` .

a

Controleer dat `text(E)(X)=6,22` en `σ(X)≈2,56` .

b

Hoeveel punten verwacht je dat de boogschutter haalt als hij twaalf keer op dit bord schiet? En wat is dan de standaardafwijking?

c

Hoeveel punten verwacht je dat de boogschutter gemiddeld per schot haalt als hij twaalf keer op het bord schiet? En welke standaardafwijking hoort daarbij?

d

Ligt het voor de hand dat de standaardafwijking kleiner wordt naarmate de boogschutter vaker op dit bord schiet?

Opgave 2

In een doos zitten vijf balletjes met daarop de getallen `2` , `3` , `5` , `7` en `12` .

a

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van het getal dat je krijgt bij het aselect trekken van één balletje.

b

Je trekt twee balletjes met teruglegging. Bepaal van de gemiddelden van de tweetallen de verwachtingswaarde en de standaardafwijking.

c

Welk verband bestaat er tussen de verwachtingswaarden die je bij a en b hebt berekend?

d

Laat zien dat je de standaardafwijking bij b ook had kunnen vinden door de standaardafwijking van a te delen door `sqrt(2)` . Geef hiervoor een verklaring.

Opgave 3

`X` stelt het aantal ogen op een dobbelsteen voor.

a

`T` stelt het aantal ogen voor als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(T)` en `σ(T)` .

b

Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(T)` en tussen `σ(X)` en `σ(T)` ?

c

`bar(X)` is het gemiddelde aantal ogen per worp als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(bar(X))` en `σ(bar(X))` .

d

Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(bar(X))` en tussen `σ(X)` en `σ(bar(X))` ?

verder | terug