Discrete kansmodellen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 10Verscheidenheid van achternamen
Verscheidenheid van achternamen

In Engeland krijgen kinderen die uit een huwelijk worden geboren van oudsher de achternaam van de vader. Dit betekent dat in een gezin zonder trouwende zoons de achternaam niet aan een volgende generatie wordt doorgegeven. Dit kan tot gevolg hebben dat een achternaam uitsterft.
Men wil de invloed van het bovenstaande op de verscheidenheid van achternamen nagaan door middel van een computersimulatie. Omdat vooral de effecten op de langere termijn van belang zijn, besluit men te kijken naar het aantal getrouwde zoons per gezin.
Indien bijvoorbeeld Henry Streamer en Jane Woolf drie getrouwde zoons krijgen, rekent de computer in de volgende generatie verder met drie gezinnen onder de naam Streamer.
De kansen op 0, 1, 2, ... trouwende zoons ontleent men aan een uitgebreid onderzoek naar de stambomen van Engelse families. Men komt tot de conclusie dat de kans op of meer trouwende zoons per gezin verwaarloosbaar klein is.
In de tabel zijn de overige kansen af te lezen. Hierbij is het aantal trouwende zoons per gezin:

x 0 1 2 3 4 5 6
P ( X = x ) 0,3172 0,3643 0,2093 0,0801 0,0234 0,0048 0,0009

Een programmeur maakt een computerprogramma waarin hij deze kansverdeling verwerkt en wel zo dat voor elk gezin de kans op bijvoorbeeld drie trouwende zoons gelijk is aan . Men maakt verder gebruik van de onderstaande symbolen met de daarbij vermelde betekenis.

man trouwt en krijgt trouwende zoons ().
man krijgt geen trouwende zoons.

In de linkerfiguur hieronder zie je dat man twee trouwende zonen krijgt: en ; (de oudste van de twee) krijgt één trouwende zoon en geen trouwende zoon.

a

Toon aan dat de kans op het optreden van de situatie van de linkerfiguur ongeveer gelijk is aan .

b

Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans op het optreden van de situatie van de rechterfiguur.

Neem aan dat tijdens de simulatie een zekere generatie precies twee gezinnen voorkomen met de naam "Wendling".

c

Bereken in procenten nauwkeurig de kans dat de naam "Wendling" in de volgende generatie als gezinsnaam verdwenen zal zijn.

d

Bereken in procenten nauwkeurig de kans dat in de volgende generatie meer dan één gezin met de naam "Wendling" voorkomt.

Als proef start men de computersimulatie met een beginpopulatie van gezinnen met allemaal verschillende namen en stopt men zodra de eerstvolgende generatie gevonden is. is het aantal namen dat in de eerstvolgende generatie niet terug komt.

e

Bereken in procenten nauwkeurig de kans dat dan in de eerstvolgende generatie precies verschillende gezinsnamen zullen voorkomen.

f

Bereken in drie decimalen nauwkeurig de verwachtingswaarde van .

(bron: examen wiskunde A vwo 1989, tweede tijdvak, opgave 3)

verder | terug