Continue kansmodellen > Normaalkromme
12345Normaalkromme

Uitleg

Bekijk het histogram van de verdeling van de lichaamslengte van een groep soldaten.

De lichaamslengte `L` lijkt discreet door de indeling in klassen.
In werkelijkheid is de lichaamslengte een continue toevalsvariabele. In de figuur is een passende kromme getekend die de continue verdeling van de lichaamslengte `L` benadert. De benadering wordt beter als je meer klassen maakt.

De grafiek heeft een klokvormige frequentieverdeling die wordt bepaald door gemiddelde ( `mu` ) van `L` en standaardafwijking (ook wel standaarddeviatie genoemd) `sigma` , waar je al enkele uitspraken over weet. Je zegt ook wel dat `L` normaal verdeeld is. De grafiek wordt ook wel de normaalkromme genoemd. Het gemiddelde van een normale verdeling wordt `mu` genoemd. Er geldt:

  • het hoogste punt van de normale verdeling zit bij `mu` .

  • een maat voor de spreiding is de standaardafwijking `sigma` .

  • de normale verdeling is symmetrisch ten opzichte van `mu` in het midden.

  • hoe verder je bij `mu` vandaan gaat (naar links of naar rechts), hoe dichter de hoogte van de normale verdeling bij `0` komt.

Kansen bepaal je door de bijpassende oppervlakte onder de grafiek te schatten. De totale oppervlakte onder deze kromme is altijd `1` of `100` %.
Soms kun je ook de vuistregels voor klokvormige frequentieverdelingen gebruiken om kansen te benaderen. Van de oppervlakte onder de normaalkromme ligt:

  • ongeveer `68` % tussen `X=μ-σ ` en `X=μ+σ` .

  • ongeveer `95` % tussen `X=μ-2σ ` en `X=μ+2σ` .

  • ongeveer `100` % tussen `X=μ-3σ ` en `X=μ+3σ` .

Opgave 3

Bekijk de verdeling van de lichaamslengte `L` in Uitleg 2.

Waarom is `L` een continue stochast?

Opgave 4

Bekijk nogmaals het histogram van de lengtes van een groep soldaten.

a

Waarom ligt een symmetrische verdeling van de frequenties van de lengtes hier wel voor de hand?

b

Waarom volgt uit die symmetrie dat `text(P)(L≤182)=0,5` ?

c

Maak met behulp van het histogram een schatting van `text(P)(L≤174)` .

d

Welk percentage hoort bij het hele gebied onder de normaalkromme?

Opgave 5

`X` is een normaal verdeelde variabele met `mu(X) =100` en `sigma(X)=2,5` . Welke beweringen zijn waar?

De normaalkromme van `X` is symmetrisch.

`text(P)(X>102)=text(P)(X < 102)`

`68` % van de oppervlakte onder de normaalkromme ligt tussen `X=97,5` en `X=102,5` .

Het hoogste punt van de normaalkromme van `X` ligt bij `X=105` .

verder | terug