`text(H)_1: p > 0,2`
`p` is de kans dat een product niet deugt.
Dat is de kans dat `text(H)_0` verworpen wordt, terwijl hij wel waar is (deze kans is hoogstens `5` %).
`text(P)(X > g | n = 40 text( en ) p = 0,2) le 0,05`
geeft
`g = 12`
.
Bij
`13`
of meer defecte exemplaren moet
`text(H)_0`
verworpen worden.
Toets: `text(H)_0: p = 0,30` tegen `text(H)_1: p < 0,30` met `alpha = 0,05` en een steekproef van `400` Nederlanders.
`text(P)(X lt g | n = 400 text( en ) p = 0,30) le 0,05` geeft `g = 105` .
Dus het kritieke gebied is `0 le X le 104` .
`0 le X le 5893`
`text(P)(G ge 37 | n = 44 text( en ) p = 0,75) ~~ 0,1081` . Dus een betrouwbaarheid van ongeveer `89,2` %.
`text(P)(K le 47 | n = 100 text( en ) p = 0,5) ~~ 0,3086 > 0,005` dus geen reden om aan te nemen dat het geldstuk onzuiver is (tweezijdige toets).
`text(P)(K le g_1 | n = 1000 text( en ) p = 0,5) le 0,005`
geeft
`g_1 = 458`
.
`text(P)(K > g_2 | n = 1000 text( en ) p = 0,5) le 0,005`
geeft
`g_2 = 541`
.
Dus er is reden om aan te nemen dat het geldstuk onzuiver is, als je
`0, 1, ..., 458`
of
`541, 542, ..., 1000`
keer kruis gooit.
`text(H)_0: mu = 12,4` tegen `text(H)_1: p != 12,4`
`sigma ~~ 0,423`
`text(P)(bar(X) < 11,875 | mu = 12,4 text( en ) sigma = (0,423)/(sqrt(20)) )~~ 0,0000 < 0,05` dus de nulhypothese wordt verworpen.
`text(P)(bar(X) le g_1 | mu = 12,4 text( en ) sigma = (0,423)/(sqrt(20))) le 0,05`
geeft
`g_1 ~~ 12,25`
.
`text(P)(bar(X) > g_2 | mu = 12,4 text( en ) sigma = (0,423)/(sqrt(20))) le 0,05`
geeft
`g_2 ~~ 12,55`
.
Dus de nulhypothese wordt verworpen als
`bar(X) le 12,25`
of
`bar(X) ge 12,55`
.
Te Apiti: ongeveer `87` MW, Taranua: ongeveer `65` MW.
Er is een statistisch verband, de datapunten hebben duidelijke positieve samenhang.
Er is waarschijnlijk ook een causaal verband. Nieuw-Zeeland is niet zo groot, dus
als het bij het ene park (hard) waait, waait het bij het andere park meestal ook (hard).
Als er geen of weinig wind is, wat redelijk vaak voorkomt, wordt er door beide parken geen elektriciteit opgewekt.
De lijn is van de vorm
`V_text(tar)=c*V_text(tea)`
.
Lees de coördinaten van een punt op de lijn af, ver van
`(0, 0)`
, bijvoorbeeld:
`(80, 63)`
. Dan geldt:
`c~~63/80~~0,79`
.
Dus:
`V_text(tar)=0,79*V_(tea)`
.
Het aantal geboorten was
`13`
dagen meer en
`7`
dagen minder dan het gemiddelde van
`430`
.
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,5`
tegen
`text(H)_1: p > 0,5`
want je gaat ervan uit dat er dagelijks
`50`
% kans is dat het aantal geboorten bovengemiddeld is.
`text(P)(X > g | n = 20 text( en ) p = 0,5) le 0,05`
geeft
`g = 14`
.
Met een kritiek gebied van
`X = 15, 16, ..., 20`
is het steekproefresultaat geen aanleiding om
`text(H)_0`
te verwerpen.
Op ten minste `15` dagen was het aantal geboorten beneden het jaargemiddelde.
`text(P)(G < 379 | mu = 430 text( en ) sigma = 40) ~~ 0,0999 ~~ 0,10`
`text(P)(A ge 10 | n = 50 text( en ) p = 0,10) ~~ 0,0245 < 0,05` dus is het aantal zondagen met een aantal geboorten kleiner dan `379` significant hoog.
De kans dat een bal niet voldoet is `text(P)(X < 75 text( of ) X > 78 | mu = 76,5 text( en ) sigma = 0,70) ~~ 0,0324` . Bij een dagproductie van `125` ballen: `0,0324 * 125 ~~ 4` . Dus ongeveer `4` ballen per dag.
`text(P)(A = 5 | n = 5 text( en ) p = 0,9676) ~~ 0,8481` , dus ongeveer `85` %.
`text(P)(X > g | n = 15 text( en ) p = 0,05) le 0,05`
geeft
`g = 2`
.
Het kritieke gebied is
`X = 3, 4, ..., 15`
.
(bron: examen vwo wiskunde A in 1990, tweede tijdvak)
`text(P)(X < 500 | mu = 510 text( en ) sigma = 4) = 0,0062` dus ongeveer `0,62` % (of `1` %)
`text(P)(T < 2525 | mu = 2550 text( en ) sigma = 4 sqrt(5)) = 0,0026` .
De drie getallen moeten samen `30` zijn. Bijvoorbeeld `5` , `9` en `16` .
Vijf getallen met de gevraagde eigenschappen zijn bijvoorbeeld `500, 500, 500, 530` en `530` (of `0, 0, 0, 30` en `30` ). Je moet aantonen dat het gemiddelde ( `512` ) binnen de aangegeven grenzen ligt en dat de spreidingsbreedte ( `30` ) boven de aangegeven grens ligt.
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,05`
tegen
`text(H)_1: p > 0,05`
met
`alpha = 0,025`
.
`text(P)(X > 6 | n = 50 text( en ) p = 0,05) ~~ 0,0378 > 0,025`
dus de werknemer krijgt geen gelijk.
(bron: examen vwo wiskunde A in 2001, eerste tijdvak)
`47,9` % van `493` is `236` meisjes en `60,2` % van `344` is `207` jongens doen economie.
Het totaal van de percentages in de kolom meisjes is `519,2` . Als alle meisjes naast Nederlands precies 5 andere vakken hadden, zou dit totaal `500` zijn, dus `19,2` % van de meisjes deed een extra vak.
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,5`
tegen
`text(H)_1: p < 0,5`
met
`alpha = 0,01`
.
`text(P)(X le 359 | n = 837 text( en ) p = 0,5) ~~ 0,0000 < 0,01`
.
Conclusie: het onderzoeksresultaat geeft voldoende aanleiding om de onderwijsdeskundige
gelijk te geven.
(bron: examen vwo wiskunde A in 2001, tweede tijdvak)
`16,0 * 0,333 * 4526 ~~ 24115`
dus in 2001 werden
`24115`
miljoen sigaretten gerookt.
`16,3 * 0,295 * 4271 ~~ 20537`
dus in 2005 werden
`20537`
miljoen sigaretten gerookt.
Dat is een afname van (ongeveer)
`(3578)/(24115) * 100 ~~ 15`
%.
`5/10 * 5/9 * 4/8 * 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2 * 1 * 2 = 1/252 * 2 ~~ 0,008` .
`text(P)(X ge 6| n = 18 text( en ) p = 0,2) = 1 - text(P)(X le 5) ~~ 0,1` .
Je toetst
`text(H)_0: p = 0,5`
en
`text(H)_1: p > 0,5`
met
`alpha = 0,05`
.
`text(P)(X ge 14 | n = 18 text( en ) p = 0,5) ~~ 0,015 < 0,05`
dus er is voldoende aanleiding om het vermoeden van de onderzoekers te bevestigen.
Als dit aantal normaal verdeeld zou zijn, dan zou gelden:
`text(P)(X > 19,5 | mu = 11,4 text( en ) sigma = a) = 0,245`
. Dit geeft met de GR
`sigma ~~ 11,7`
.
Uitgaand van een normale verdeling zou men (circa)
`16`
% van de rokers
`1`
standaardafwijking (
`11,7`
) onder het gemiddelde (
`11,4`
) moeten aantreffen (dus een aanzienlijk deel van de rokers zou geen sigaretten roken,
en dat kan natuurlijk niet).
(bron: examen vwo wiskunde A in 2010, eerste tijdvak)