Verschillen en verbanden > Binomiale toetsen
123456Binomiale toetsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`text(H)_0: p=0,5` en `text(H)_1: p gt 0,5` .

b

`text(P)(X ge 348 | n=650 text( en ) p=0,5) ~~ 0,0387`

c

De gehele waarden `356` t/m `650` .

Opgave 1
a

Het significantieniveau is de kans dat je ten onrechte `text(H)_0: p = 0,5` verwerpt. Dus de kans dat je toevallig veel meer meisjes dan jongens in je steekproef aantreft, terwijl toch de kans `50` % is.

b

Omdat het gaat om de foutkans als `text(H)_0` waar is.

c

Zie de uitleg.

Opgave 2
a

`text(P)(M gt g | n = 650 text( en ) p = 0,5) le 0,01`
GR: `1-text(binomcdf)(650; 0,5; x)` en bekijk de tabel.
Bij `356` of meer (of meer dan `355` ) meisjes in de steekproef verwerp je de nulhypothese.

b

De grens van het kritieke gebied verschuift dan verder van de verwachte `325` meisjes af.

c

Dan schuift de grens van het kritieke gebied nog verder naar rechts.
Omdat de kans erg klein is dat de nulhypothese onterecht is verworpen, is de kans dat `p` groter is geworden nu heel groot. De betrouwbaarheid van het onderzoek is dus erg groot.

Opgave 3
a

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(30; 0,72; x)` .

Bekijk de tabel. Hieruit blijkt dat de kans kleiner dan `10` % is, zolang `X le 17` .

b

De invoer is hetzelfde als bij a, maar je zoekt nu naar een kans kleiner dan `5` %. Het kritieke gebied wordt nu `X le 16` .

Opgave 4
a

Zoek `g` zo, dat `text(P)(X ge g|n=100 text( en ) p=0,35)le0,05` .

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(100, 0.35, x, 100)` of `y_1=1-text(binomcdf)(100; 0,35; x)` .

Bekijk de tabel. Je vindt dat de kans kleiner dan `0,05` is vanaf `x=43` .

Het kritieke gebied is dus `43 le X le 100` .

b

Zoek `g` zo, dat `text(P)(X>=g|n=1000 text( en ) p=0,35)le0,05` .

Voer in: `y_1=1-text(binomcdf)(1000; 0,35; x)` .

Bekijk de tabel. Je vindt dat de kans kleiner dan 0,05 is vanaf `x=376` .

Het kritieke gebied is dus `376 le X le 1000` .

c

De grenzen worden nauwkeuriger. Ze komen dichter bij de verwachtingswaarde te liggen.

d

Dat kan duur zijn of heel veel tijd kosten.

Opgave 5
a

Omdat een zuivere dobbelsteen niet te vaak, maar ook niet te weinig keer de uitkomst 6 mag geven.

b

Die wordt door twee gedeeld, de helft voor iedere kant.

c

Je zoekt `g_1` en `g_2` zo, dat:
`text(P)(X le g_1 | p=1/6 text( en )n=50) le 0,025`
`text(P)(X ge g_2 | p=1/6 text( en )n=50) le 0,025`

GR: `y_1=text(binomcdf)(50, 1/6, x)` en `y_2=1-text(binomcdf)(50, 1/6, x)` .

Uit de tabel volgt `g_1=3` en `g_2=13` .

De kritieke gebieden zijn `0 le X le 3` en `13 le X le 50` .

Opgave 6

Je kunt deze vraag "vertalen" naar een tweezijdige binomiale toets:

  • `X` is de het aantal keer dat er "acht" wordt gegooid, `X` is binomiaal verdeeld;

  • `text(H)_0: p=1/8` en `text(H)_1: p != 1/8` ;

  • steekproefgrootte is `100` en `alpha=0,025` .

Nu moet `text(P)(X le g_1 text( of ) X gt g_2|p=1/8 text( en ) n=100) le 0,025` .
Je bepaalt de twee grenzen daarom uit:

`text(P)(X le g_1 | p=1/8 text( en ) n=100) le 0,0125` en `text(P)(X ge g_2 | p=1/8 text( en ) n=100) le 0,0125` .

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(100, 1/8, x)` en `y_2=1-text(binomcdf)(100, 1/8, x)` .

Uit de tabel volgt `g_1=5` en `g_2=20` .

Als Manon minder dan `6` keer of vaker dan `19` keer een 8 gooit, mag ze besluiten dat de dobbelsteen niet zuiver is, bij een significantieniveau van `2,5` %.

Opgave 7
a

Je hebt al een steekproefresultaat, dus je kunt de bijbehorende overschrijdingskans nu vergelijken met het significantieniveau.

b

De uitkomst ligt in het kritieke gebied, dus dan moet je `text(H)_0` verwerpen.

c

Dan moet je `text(H)_1` verwerpen.

Opgave 8
a

Je zoekt `g_1` en `g_2` zo, dat:
`text(P)(X le g_1 | p=0,75 text( en ) n=100) le 0,025`
`text(P)(X ge g_2 | p=0,75 text( en ) n=100) le 0,025`

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(100; 0,75; x)` en `y_2=1-text(binomcdf)(100; 0,75; x)` .

Bekijk de tabel.
Hieruit volgt `g_1=65` en `g_2=83` .

Het kritieke gebied is dus `0 le X le 65` en `83 le X le 100` .

b

De kans op deze situatie is `text(P)(X >= 80 | n = 100 text( en ) p = 0,75) ~~ 0,1488 ge 0,025` .
Deze kans is dus niet kleiner dan de (gehalveerde) onbetrouwbaarheidsdrempel. Je mag `text(H)_0` niet verwerpen.

Opgave 9
a

`text(H)_0: p = 0,96` en `text(H)_1: p < 0,96` .

b

`text(P)(X < = 92 | n = 107 text( en ) p = 0,96) ~~ 0,000025`

c

De overschrijdingskans uit de vorige vraag is kleiner dan `0,01` , dus mag `text(H)_0` worden verworpen en dus krijgt de geslaagde leerling geen gelijk.

Opgave 10
a

`n = 170510` en `p = 0,5`

b

`M` is het aantal meisjes in de steekproef en is binomiaal verdeeld.
`text(H)_0: p = 0,5` en `text(H)_1: p < 0,5` met `alpha = 0,05` .
`text(P)(M < 83083 | n = 170510 text( en ) p = 0,5) ~~ 3,5*10^(text(-)26)`

Dit is veel kleiner dan de significantie `0,001` , dus de nulhypothese mag worden verworpen.

Opgave 11

Je zoekt `g_1` en `g_2` zo, dat:
`text(P)(K le g_1 | p=2/6 text( en ) n=600) le 0,0005` en `text(P)(K ge g_2 | p=2/6 text( en )n=600) le 0,0005` .

Voer in op de GR: `y_1=text(binomcdf)(600, 2/6, x)` en `y_2=1-text(binomcdf)(600, 2/6, x)` .

Uit de tabel volgt `g_1=162` en `g_2=239` .

Het kritieke gebied wordt `K = 0, 1,..., 162` of `K = 239, 240,..., 600` .

Opgave 12
a

`288 // 5 ~~ 58`

b

`text(H)_0: p = 0,2` en `text(H)_1: p > 0,2` , je toetst enkelzijdig.

c

`X` is het aantal ziekteverzuimdagen op maandag. Veronderstel dat dit binomiaal verdeeld is.
De overschrijdingskans van `X>=95` is: `text(P)(X >=95 | n = 288 text( en ) p = 0,2)~~ 1,6*10^(text(-)7)` .

Dat is veel kleiner dan `0,05` , dus het hoofd van de personeelsadministratie krijgt gelijk.

Opgave 13
a

`3/19 * 2/18 * 16/17 * 3 + 3/19 * 2/18 * 1/17 ~~ 0,050568 ~~ 0,05`

b

`X` is het aantal prijzen, `X` is binomiaal verdeeld.
`text(H)_0: p=0,05` en `text(H)_1: p gt 0,05` .
De steekproefomvang `n=100` en `alpha=0,01` .

`text(P)(X > 11 | n = 100 text( en ) p = 0,05)~~ < = 0,01` geeft `g = 11` .
Hij moet dus minstens `12` prijzen hebben gewonnen.

De deelnemer krijgt geen gelijk.

Opgave 14Onderdelen produceren
Onderdelen produceren
a

GR: `text(normalcdf)(10.3, 1000, 10, 0.2)~~0,0668` .

b

`G` is het aantal prijzen, `G` is binomiaal verdeeld.
`text(H)_0: p=0,0668` en `text(H)_1: p gt 0,0668` .
De steekproefomvang `n=100` en `alpha=0,05` .

De overschrijdingskans: `text(P)(X > N | n = 100 text( en ) p = 0,0668)~~ < = 0,05` geeft `N = 13` .
Er mogen dus maximaal `12` onderdelen niet passen.

Opgave 15Fout van de tweede soort
Fout van de tweede soort
a

`M ge 59`

b

Dit geeft:

`p` `text(P)`
`0,50` `0,96`
`0,52` `0,90`
`0,54` `0,82`
`0,56` `0,69`
`0,58` `0,54`
`0,60` `0,38`
c

Door de steekproefomvang te vergroten.

d

Het kritieke gebied is nu: `M ge 527` .

Dit geeft:

`p` `text(P)`
0,50 0,95
0,52 0,66
0,54 0,20
0,56 0,02
0,58 0,00
0,60 0,00

De kans op een fout van de tweede orde is sterk gedaald.

Opgave 16
a

`n = 40` en `p = 1/3` .

b

`~~ 0,061`

c

`~~ 0,0096`

d

`text(P)(X >= 18 | n = 40 text( en ) p = 1/3) ~~ 0,0832 > 0,05` dus de "helderziende" wordt niet helderziend verklaard.

Opgave 17

Omdat `33` in het kritieke gebied ligt moet hij de nulhypothese verwerpen. Dus hij mag niet aannemen dat `25` % van de bessenstruiken gevoelig is voor meeldauw, dat percentage zal hoger liggen.

verder | terug