Voer in: `text(normalcdf)(text(-)10^(99), 998, 1002, 3)` .

Dit geeft ongeveer `0,091` .

Voer in: `text(normalcdf)(text(-)10^(99), 997, 1002, 3)` .

Dit geeft ongeveer `0,048` .

Er wordt maar één pak gewogen en aan de hand daarvan worden conclusies getrokken.

Er is sprake van een normale kansverdeling en er wordt alleen gekeken naar de situatie dat het gemiddelde in een steekproef lager is dan de opgegeven (of eerder gemeten) waarde voor de populatie.

De consumentenorganisatie is voornamelijk geïnteresseerd in het belang van consumenten en wil daarom niet dat een verpakking te weinig suiker bevat. De fabrikant daarentegen wil niet te veel suiker in een pak stoppen, want dat kost hem geld. Dus zal de fabrikant waarschijnlijk tweezijdig toetsen.

In dit geval mag de nulhypothese niet worden verworpen, omdat `0,091 > 0,05` het afgesproken significantieniveau is.

`text(P)(G le g | mu = 1002 text( en ) sigma = 3) le 0,05`

Voer in: `text(invNorm)(0,05; 1002; 3)` .

Je krijgt `g ~~ 997,065` .
Het kritieke gebied is dan `997` gram of minder.

`text(P)(bar(G) lt 998| mu(G) =1002 text( en ) sigma(bar(G)) =3/sqrt(100))~~ 0` .

De kans is op een foute beslissing is dus nagenoeg `0` .

Voer in: `text(normalcdf)(text(-)10^(99); 1000; 1002; 0,3)` .

Dus `text(P)(bar(text(G)) < 1000 | mu(bar(G)) = 1002 text( en ) sigma(bar(G)) = 0,3) ~~ 0,000 < 0,01` .
`text(H)_0` kan met meer dan `99` % betrouwbaarheid verworpen worden.

Gebruik de wortel-n-wet: `mu(bar(G))=1002` en `sigma(bar(G))=3/sqrt(8)` .

Voer in: `text(normalcdf)(text(-)10^(99); 1000; 1002; 3/sqrt(8))` .

Dus `text(P)(bar(text(G)) < 1000 | mu(G) = 1002 text( en ) sigma(bar(G)) = 3/sqrt(10)) ~~ 0,0297 > 0,01` .
`text(H)_0` wordt nu niet verworpen.

Voer in: `text(normalcdf)(text(-)10^(99), 999, 1002, 3/sqrt(10))` .

`text(P)(bar(G) lt 999| mu =1002 text( en ) sigma =3/sqrt(10)) ~~ 0,0008`

Voer in: `text(invNorm)(0,01; 1002; 3/sqrt(10))` .

Je krijgt `g~~999,79` .

`text(P)(bar(G) le g | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) le 0,005` geeft `g ~~ 999,55` .
Er is nog steeds een significante afwijking.

`text(P)(bar(G) le g | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,42) le 0,01`

Voer in: `text(invNorm)(0,01; 1002; 3/sqrt(50))` .

Je krijgt `g~~1001,01` .

De consumentenorganisatie krijgt met 99% betrouwbaarheid gelijk als het gemiddelde minder dan `1001` is.

`text(H)_0: mu = 0,200` en `text(H)_1: mu > 0,200` met `mu = (0,041)/(sqrt(80)) ~~ 0,0046` .

`text(H)_0: mu = 0,200` en `text(H)_1: mu > 0,200` met `mu = (0,041)/(sqrt(80))` .

`text(P)(bar(K) > 0,213 | mu = 0,200 text( en ) sigma ~~ 0,0046) ~~ 0,0024 < 0,01`

`text(H)_0` wordt verworpen.

Er wordt naar een afwijking van het gemiddelde zowel naar boven als naar beneden gezocht. De onbetrouwbaarheidsdrempel wordt verdeeld over beide ongelijkheden. Als er geen duidelijke reden is om dat anders te doen, wordt `alpha` gewoon in twee gelijke delen verdeeld.

`text(P)(bar(G) le g_1 | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) le 0,025` geeft `g_1 ~~ 1000,14` .
`text(P)(bar(G) ge g_2 | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) le 0,025` geeft `g_2 ~~ 1003,86` .
Het kritieke gebied is `bar(G) le 1000,1` en `bar(G) ge 1003,9` .

Een maaltijdmix moet een precieze hoeveelheid bevatten: "goed verpakt" betekent hier, niet te veel en niet te weinig. Dus de toets is tweezijdig.

`text(P)(bar(G) < = g_1 | mu = 50 text( en ) sigma=2/sqrt(100)) < = 0,005`
Voer in: `text(invNorm)(0,005; 50; 0,2)` .
Je krijgt `g_1 ~~ 49,48` .

. `text(P)(bar(G) >= g_2 | mu = 50 text( en ) sigma=2/sqrt(100)) < = 0,005`
Voer in: `text(invNorm)(0,995; 50; 0,2)` .
Je krijgt `g_2 ~~ 50,52` .

Het kritieke gebied is `bar(G) < = 49,48` en `bar(G) >= 50,52` .

`text(P)(bar(G) lt 53,3 | mu = 54,2 text( en ) sigma = (4,7)/(sqrt(200))) ~~ 0,0034 lt 0,0125` , dus `text(H)_0` wordt verworpen. Het tijdschrift heeft niet gelijk.

Bij een significantieniveau van ongeveer `0,34` % of meer.

Bij een significantieniveau van ongeveer `27,24` % of meer. De betrouwbaarheid wordt kleiner als de steekproef kleiner wordt. Of: de foutkans wordt groter als de steekproef kleiner wordt.

Je toetst `text(H)_0: mu = 0,022` tegen `text(H)_1: mu > 0,022` .

Zie a. Het wordt een enkelzijdige toets, want kleinere hoeveelheden natriumnitriet zijn acceptabel, grotere niet.

Steekproefgemiddelde `bar(N) ~~ 0,022128` en `sigma(N) ~~ 0,000458` .
`text(P)(bar(N) > 0,022128 | mu = 0,022 text( en ) sigma = (0,000458)/(sqrt(25))) ~~ 0,0811 > 0,05` , dus `text(H)_0` wordt niet verworpen. Er is geen reden tot bezorgdheid.

`sigma ~~ 0,026` en `bar(V) = 3,49`

`text(P)(bar(V) lt 3,49 | mu = 3,50 text( en ) sigma = (0,026)/(sqrt(20))) ~~ 0,0427 lt 0,05` , dus `text(H)_0` wordt verworpen. De consumentenorganisatie kan de bewering van de fabrikant verwerpen.

Er moet gelden `text(P)(I < 100|mu=100,5 text( en ) sigma=1/sqrt(n)) < 0,01` .

In de GR invoeren van `y_1=text(normalcdf)(0,100,100.5, 1/x)` en `y_2=0.01` en dan snijpunt of tabel geeft `n~~21,6` . Dus de steekproefomvang moet minstens `22` zijn.

Probeer met een tabel:

`100,5` liter: `22` tests `220` euro testkosten (zie a).

`100,6` liter: `16` tests `160` euro kosten, maar `150` euro extra vloeistof dus `310` euro totaal.

`100,4` liter: `34` tests, `340` euro kosten, maar `150` euro minder vloeistofkosten dus `190` euro totaal.

`100,3` liter `61` tests, `610` euro kosten, maar `300` euro minder vloeistof kosten dus `310` euro totaal.

Bij ongeveer `100,4` liter zijn de kosten van vloeistof en testen samen minimaal.

Normale verdeling: `y_1=text(normalpdf)(x,0,1)`
Studentverdeling: `y_2=text(tpdf)(x, 1)` (dus een steekproef met omvang `2` )
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[0; 0,5]` .

Uit de figuur blijkt dat de Studentverdeling "breder" is. Bij gelijke significantie zal de grens van het kritieke gebied bij de Studentverdeling dus verder van het gemiddelde af liggen. Het gemiddelde van de steekproef moet bij de Studentverdeling dus verder van het gemiddelde van de nulhypothese af liggen om de nulhypothese te kunnen verwerpen, dan bij de normale verdeling.

Dat hangt natuurlijk af van wat je "op elkaar lijken" vindt. Maar vrij algemeen wordt `n ge 25` geaccepteerd als grens.