Verschillen en verbanden > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 8Basketballen
Basketballen

Jaarlijks controleert de materiaalcommissaris of de ballen van Flits voldoen aan de eisen die de basketbalbond stelt. Deze zijn:

De omtrek van de bal mag niet minder bedragen dan `75` cm en niet meer dan `78` cm. Het gewicht mag niet minder zijn dan 600 g en niet meer dan `650` g.

De omtrek van de bal mag niet minder bedragen dan `75` cm en niet meer dan `78` cm. Het gewicht mag niet minder zijn dan `600` g en niet meer dan `650` g.

Bij zo’n controle komt hij tot de ontdekking dat het gewicht van de ballen klopt, maar dat de omtrek van `15` ballen niet in orde is. Omdat hierbij ook een redelijk aantal nieuwe ballen is, stelt hij zich in verbinding met de leverancier: het bedrijf Balfa. Dit bedrijf beweert dat het dagelijk `125` ballen produceert, waarvan de omtrek normaal verdeeld is met een gemiddelde van `76,5` cm en een standaarddeviatie van `0,70` cm. Neem aan dat deze gegevens juist zijn.

a

Toon aan dat men kan verwachten dat `4` ballen in de dagproductie niet voldoen aan de eisen die de bond stelt aan de omtrek.

b

Bereken in procenten nauwkeurig de kans dat in een aselecte steekproef van `5` door Balfa gemaakte ballen, elke bal voldoet aan de eisen die de bond stelt aan de omtrek.

Op grond van de eigen gegevens beweert de verkoper van Balfa dat gemiddeld hoogstens één op de twintig ballen niet aan alle eisen van de bond voldoet. De materiaalcommissaris heeft zo zijn twijfels. Zij spreken met elkaar af de bewering van de verkoper te toetsen door middel van een aselecte steekproef van `15` stuks bij een significantieniveau van `5` %. Indien het resultaat de verkoper in het ongelijk stelt, krijgt Flits de `15` nieuwe ballen uit de steekproef gratis. `X` is het aantal ballen in de steekproef dat niet voldoet aan de eisen van de bond.

c

Bereken de kleinste waarde van `X` waarbij Flits de ballen gratis krijgt.

bron: examen 1990 - II vwo A

Opgave 9Kwaliteitscontrole
Kwaliteitscontrole

In een fabriek worden plastic zakken gevuld met suiker. De vulmachine staat afgesteld op `510` gram. Neem aan dat het gewicht van de zakken suiker normaal verdeeld is met een gemiddelde `µ` van `510` gram en een standaardafwijking `s` van `4` gram.

a

Bereken hoeveel procent van alle zakken een gewicht minder dan `500` gram zal hebben.

Om de kwaliteit van het vulproces te bewaken, wordt elk uur een aselecte steekproef van `5` zakken suiker genomen. Van elke zak noteert men het gewicht. Ook wordt van de steekproef het totale gewicht `T` berekend.

b

Bereken de kans dat het totale gewicht van de steekproef minder is dan `2525` gram.

Verder bepaalt men van elke steekproef het gemiddelde gewicht `bar(x)` en de spreidingsbreedte `R` (dat is het verschil tussen de grootste en de kleinste meting). Men noteert al deze gegevens op een controlekaart, de `bar(x)` / `R` -kaart. Op de `bar(x)` / `R` -kaart hieronder staan de meetresultaten van `10` steekproeven. Iedere steekproef bestaat uit `5` zakken. Op de controlekaart worden de afwijkingen van `500` gram bij ieder van deze `5` zakken genoteerd als `x_1, x_2, x_3, x_4` en `x_5` . Zo heeft de derde zak van de tweede steekproef een gewicht van `509` gram. Dit is genoteerd als `9` . Het gemiddelde van de eerste steekproef is `509,6` gram. Dit wordt dan genoteerd als `9,6` . De spreidingsbreedte van de eerste steekproef is `515–504=11` gram.

Bij steekproef nummer 6 zijn enkele gegevens onleesbaar geworden.

c

Welke getallen kunnen hier bijvoorbeeld gestaan hebben? Licht je antwoord toe.

Bij de controle van het vulproces met behulp van de `bar(x)` / `R` -kaart let men erop of `bar(x)` of `R` de zogeheten controlegrenzen overschrijden. Deze controlegrenzen zijn in de grafieken met stippellijnen aangegeven. Zodra bij een steekproef een van deze grenzen overschreden wordt, slaat men alarm. Op een gegeven moment slaat men alarm bij een steekproef, terwijl met de waarde van `bar(x)` niets mis is.

d

Wat zouden de vijf gewichten in deze steekproef bijvoorbeeld kunnen zijn? Licht je antwoord toe.

De zakken zijn bedrukt met het bedrijfslogo. Soms is dit logo onscherp afgedrukt. Volgens de afdeling Verpakkingen heeft `5` % van de zakken een onscherp logo. Een werknemer van die afdeling vermoedt echter dat dit percentage hoger is dan `5` %. Er wordt een steekproef getrokken van `50` zakken. Op `6` van de `50` zakken is het bedrijfslogo onscherp.

e

Onderzoek of de `6` zakken met het onscherpe bedrijfslogo voldoende aanleiding zijn om de werknemer in het gelijk te stellen. Neem als significantieniveau `α=0,025` .

bron: examen 2001 - I vwo A

Opgave 10Vakkenkeuze
Vakkenkeuze

In het voorjaar van 1994 zijn bij een onderzoek naar vakkenkeuze `344` jongens en `493` meisjes ondervraagd die toen eindexamen havo deden. Nederlands was voor iedereen verplicht. Havo-leerlingen moesten naast Nederlands nog ten minste `5` andere vakken kiezen. In deze tabel is te zien door hoeveel procent van de ondervraagden de andere vakken zijn gekozen.

Vakkenkeuze van jongens en meisjes op havo
vak jongens (in %) meisjes (in %)
Duits `31,1` `46,7`
Engels `98,8` `97,6`
Frans `10,2` `38,5`
Aardrijkskunde `19,2` `28,2`
Geschiedenis `25,3` `30,2`
Economie `60,2` `47,9`
Handelswetenschappen `43,0` `29,8`
Wiskunde A `43,3` `62,3`
Wiskunde B `54,7` `22,3`
Biologie `23,5` `45,2`
Natuurkunde `57,6` `17,0`
Scheikunde `42,2` `24,5`
Tekenen `7,0` `15,2`
Maatschappijleer `2,9` `4,5`
Muziek `0,9` `3,4`
Handenarbeid `2,3` `4,9`
Textiele werkvormen `0,0` `0,4`
Spaans `0,0` `0,6`
a

Toon aan dat van de ondervraagde leerlingen meer meisjes dan jongens economie deden.

De meeste leerlingen hadden naast Nederlands 5 vakken gekozen. Sommige leerlingen hadden naast Nederlands 6 vakken gekozen. Geen van de leerlingen had naast Nederlands meer dan 6 vakken gekozen.

b

Bereken hoeveel procent van de ondervraagde meisjes een extra vak deed.

Bij het onderzoek werd ook gevraagd of je, als je opnieuw zou mogen kiezen, weer precies hetzelfde vakkenpakket gekozen zou hebben. De onderzoekers vermoedden dat ten minste de helft van de kandidaten ontevreden was over hun huidige pakket. Een onderwijsdeskundige was het daar niet mee eens. Kort voor het onderzoek beweerde hij dat minder dan de helft van alle havo-eindexamenkandidaten achteraf liever een ander pakket gekozen zou hebben.
Neem aan dat de groep van `837` ondervraagde leerlingen een aselecte steekproef vormt uit alle havo-eindexamenkandidaten. Van deze groep zouden `359` leerlingen een ander pakket gekozen hebben, zo bleek uit het onderzoek.

c

Onderzoek of bij een significantieniveau van `1` % het onderzoeksresultaat voldoende aanleiding geeft om de onderwijsdeskundige gelijk te geven.

Opgave 11Stoppen met roken
Stoppen met roken

Veel mensen beginnen op jonge leeftijd met roken en proberen daar op latere leeftijd weer mee op te houden. Dat lukt niet altijd. Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig cijfers waarmee het rookgedrag van Nederlanders kan worden bestudeerd. In de tabel vind je enkele getallen.

rokers en aantallen sigaretten
jaar `2001` `2005`
aantal Nederlanders, in miljoenen `16,0` `16,3`
percentage rokers `33,3%` `29,5%`
gemiddeld aantal sigaretten per roker per jaar `4526` `4271`
a

Bereken met hoeveel procent het totale aantal gerookte sigaretten in 2005 is afgenomen ten opzichte van 2001.

Er zijn veel hulpmiddelen om minder te gaan roken of er zelfs helemaal mee te stoppen. Eén daarvan is het gebruik van tabletten van het merk Fumostop. Om na te gaan of Fumostop een middel is dat inderdaad helpt, wordt het volgende onderzoek uitgevoerd. Uit alle zware rokers wordt aselect een groep van `18` proefpersonen gekozen. Elke proefpersoon krijgt `10` tabletten die uiterlijk niet van elkaar verschillen. De tabletten zijn verpakt in doordrukstrips met bij elk tablet een nummer. Zie figuur.

Elke proefpersoon moet `10` dagen lang iedere dag bij het opstaan één willekeurig gekozen tablet innemen, het nummer van dat tablet noteren en bijhouden hoeveel sigaretten hij die dag rookt. Wat de proefpersonen niet weten maar de onderzoekers wel, is dat `5` van de tabletten inderdaad van het merk Fumostop zijn. De andere `5` tabletten bevatten geen enkele werkzame stof. We geven de "echte" tabletten aan met F en de andere tabletten met NF. Aan de genoteerde tabletnummers kunnen de onderzoekers zien wanneer de F- en de NF-tabletten ingenomen zijn. Nico is één van de `18` proefpersonen. De mogelijkheid bestaat dat hij om de dag een F-tablet inneemt, waarmee bedoeld wordt dat hij de ene dag een F-tablet en de andere dag een NF-tablet inneemt.

b

Bereken de kans dat hij om de dag een F-tablet inneemt.

De proefpersonen kiezen hun tabletten iedere dag dus volledig aselect. Het kan dus gebeuren dat een proefpersoon de eerste dag een van de tabletten met nummer 1 of nummer 2 kiest.

c

Bereken hoe groot de kans is dat `6` of meer proefpersonen op de eerste dag van het onderzoek een van de tabletten met nummer 1 of 2 kiezen.

De onderzoekers vermoeden dat het gebruik van F-tabletten leidt tot het roken van minder sigaretten. Om dat na te gaan, wordt van elke proefpersoon bijgehouden hoeveel sigaretten hij in totaal heeft gerookt op de vijf dagen met een F-tablet en op de vijf dagen met een NF-tablet. Het resultaat vind je in de tabel hieronder.

aantal sigaretten
proefpersoon `1` `2` `3` `4` `5` `6` `7` `8` `9`
bij gebruik van F-tabletten `106` `90` `109` `72` `103` `118` `124` `103` `89`
bij gebruik van NF-tabletten `112` `108` `132` `92` `96` `120` `145` `129` `101`
proefpersoon `10` `11` `12` `13` `14` `15` `16` `17` `18`
bij gebruik van F-tabletten `87` `92` `145` `101` `100` `97` `112` `104` `101`
bij gebruik van NF-tabletten `104` `127` `138` `124` `121` `139` `100` `93` `118`
d

Onderzoek met behulp van een tekentoets of er voldoende aanleiding is om het vermoeden van de onderzoekers te bevestigen. Neem hierbij als significantieniveau `5` %.

Van de mensen die in 2006 rookten, rookte `24,5` % per dag `20` sigaretten of meer. Rokers rookten toen gemiddeld `11,4` sigaretten per dag. Tine wil onderzoeken of het aantal sigaretten per dag normaal verdeeld zou kunnen zijn. Ze bedenkt de volgende aanpak: "Als er sprake is van een normale verdeling, dan kan ik de bijbehorende standaardafwijking berekenen. Daarna kan ik nagaan of die waarde – in combinatie met dat gemiddelde 11,4 – tot een conclusie leidt."

e

Bereken die standaardafwijking en toon daarmee aan dat het aantal sigaretten dat een roker per dag in 2006 rookte, niet normaal verdeeld kan zijn.

bron: examen 2010 - I vwo A

verder | terug